Atrodiet nejauša lieluma sadalījuma funkciju X, ievērojot parastās izplatīšanas likumu:
mēs veicam izmaiņas integrālī un ievietojam to formā:
.
Integrāls netiek izteikts ar elementārfunkcijām, bet to var aprēķināt, izmantojot īpašu funkciju, kas izsaka izteiksmes vai noteiktu integrāli. Mēs izsakām funkciju izmantojot Laplasa funkciju Ф(х):
.
Varbūtību trāpīt nejaušam mainīgajam X vietnē (α, β) izsaka ar formulu:
.
Izmantojot pēdējo formulu, var novērtēt normāla gadījuma lieluma novirzes varbūtību no tā matemātiskās cerības par iepriekš noteiktu, patvaļīgi mazu pozitīvu vērtību ε:
.
Ļaujiet , tad un . Plkst t=3 iegūstam , t.i. notikums, ka normāli sadalīta gadījuma lieluma novirze no matemātiskās cerības būs mazāka par , ir praktiski droša.
Tas ir kas trīs sigmu noteikums: ja gadījuma lielums ir normāli sadalīts, tad tā vērtību novirzes no matemātiskās cerības absolūtā vērtība nepārsniedz standartnovirzi trīs reizes.
Uzdevums. Lai darbnīcā ražotās daļas diametrs ir nejaušs lielums, kas sadalīts normāli, m = 4,5 cm, cm Atrodiet varbūtību, ka nejauši ņemtas detaļas diametra izmērs atšķiras no matemātiskās cerības ne vairāk kā par 1 mm.
Risinājums. Šo problēmu raksturo šādas parametru vērtības, kas nosaka vēlamo varbūtību: , 
, F(0,2)=0,0793,
testa jautājumi
1. Kādu varbūtības sadalījumu sauc par vienmērīgu?
2. Kāda ir sadalījuma funkcijas forma nejaušam mainīgajam, kas vienmērīgi sadalīts intervālā [ bet; b]?
3. Kā aprēķināt varbūtību sasniegt vienmērīgi sadalīta gadījuma lieluma vērtības noteiktā intervālā?
4. Kā tiek noteikts nejauša lieluma eksponenciālais sadalījums?
5. Kāda ir gadījuma lieluma sadalījuma funkcija, kas sadalīta pēc eksponenciāla likuma?
6. Kādu varbūtības sadalījumu sauc par normālu?
7. Kādas īpašības piemīt normālā sadalījuma blīvumam? Kā normālā sadalījuma parametri ietekmē normālā sadalījuma blīvuma grafika izskatu?
8. Kā aprēķināt varbūtību, ka normāli sadalīta gadījuma lieluma vērtības iekritīs noteiktā intervālā?
9. Kā aprēķināt normāli sadalīta gadījuma lieluma vērtību novirzes varbūtību no tā matemātiskās cerības?
10. Noformulēt "trīs sigmu" likumu?
11. Kādas ir gadījuma lieluma, kas sadalīts saskaņā ar vienotu likumu par intervālu [ bet; b]?
12. Kādas ir gadījuma lieluma, kas sadalīts pēc eksponenciāla likuma ar parametru λ, matemātiskās cerības, dispersija un standartnovirze?
13. Kādas ir gadījuma lieluma, kas sadalīts pēc parastā likuma ar parametriem, matemātiskās cerības, dispersija un standartnovirze m Un ?
Kontroles uzdevumi
1. Nejaušs mainīgais X vienmērīgi sadalīti intervālā [−3, 5]. Atrodiet sadalījuma blīvumu un sadalījuma funkciju X. Uzzīmējiet grafikus abām funkcijām. Atrodiet varbūtības un . Aprēķiniet matemātisko cerību, dispersiju un standarta novirzi X.
2. Maršruta Nr.21 autobusi kursē regulāri ar 10 minūšu intervālu. Pasažieris izbrauc pieturā nejaušā laikā. Mēs uzskatām nejaušu mainīgo X− autobusa pasažiera gaidīšanas laiks (minūtēs). Atrodiet sadalījuma blīvumu un sadalījuma funkciju X. Uzzīmējiet grafikus abām funkcijām. Atrodiet varbūtību, ka pasažierim būs jāgaida autobuss ne vairāk kā piecas minūtes. Atrodiet vidējo autobusa gaidīšanas laiku un autobusa gaidīšanas laika dispersiju.
3. Konstatēts, ka VCR remonta laiks (dienās) ir nejaušs lielums X, sadalīts saskaņā ar eksponenciālo likumu. Vidējais VCR remonta laiks ir 10 dienas. Atrodiet sadalījuma blīvumu un sadalījuma funkciju X. Uzzīmējiet grafikus abām funkcijām. Atrodiet varbūtību, ka videomagnetofona remonts prasīs vismaz 11 dienas.
4. Uzzīmējiet gadījuma lieluma blīvuma un sadalījuma funkcijas X, sadalīts saskaņā ar parasto likumu ar parametriem m= = − 2 un = 0,2.
NEPĀRTRAUKTA NEJAUŠAJĀM MAINĪGĀM IZPLATĪŠANAS LIKUMU IESTATĪŠANAS VEIDA
DISKRĒTO NEJAUŠU MAINĪGO IZDALĪŠANAS LIKUMU IESTATĪŠANAS FORMAS
1). Sadalījuma tabula (rinda). - vienkāršākā forma diskrēto gadījuma lielumu sadalījuma likuma noteikšana.
Tā kā tabulā ir uzskaitītas visas iespējamās nejaušā mainīgā vērtības.
2). Izplatības daudzstūris . Grafiskā sadalījuma sērijas attēlojumā taisnstūrveida koordinātu sistēmā visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības tiek attēlotas pa abscisu asi, un atbilstošās varbūtības tiek attēlotas pa ordinātu asi. Pēc tam tiek pielietoti punkti un tie savienoti ar taisnu līniju segmentiem. Rezultātā iegūtais skaitlis - sadalījuma daudzstūris - ir arī diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likuma precizēšanas forma.
3). sadales funkcija - varbūtība, ka gadījuma lielums X iegūs vērtību, kas ir mazāka par noteiktu x, t.i.
| . |
No ģeometriskā viedokļa to var uzskatīt par iespējamību trāpīt nejaušā punktā X uz skaitliskās ass sekciju, kas atrodas pa kreisi no fiksētā punkta X.
2) ; ;
Uzdevums 2.1. Izlases vērtība X- sitienu skaits mērķī ar 3 šāvieniem (skat. 1.5. uzdevumu). Izveidojiet sadalījuma sēriju, sadalījuma daudzstūri, aprēķiniet sadalījuma funkcijas vērtības un izveidojiet tās grafiku.
Risinājums:
1) Gadījuma lieluma sadalījuma virkne X tabulā
| Plkst | , |
| Plkst | , |
| Plkst | , |
| Plkst | |
| plkst | . |
Uzzīmējot gar vērtības abscisu X, un pa y asi - vērtības un izvēloties noteiktu skalu, iegūstam sadalījuma funkcijas grafiku (2.2. att.). Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma funkcijai ir lēcieni (pārtraukumi) tajos punktos, kur nejaušais mainīgais X iegūst noteiktas vērtības, kas norādītas sadalījuma tabulā. Visu sadalījuma funkcijas lēcienu summa ir vienāda ar vienu.
Rīsi. 2.2 - Diskrētās vērtības sadalījuma funkcija
1). sadales funkcija .
Nepārtrauktam gadījuma lielumam sadalījuma funkcijas grafikam (2.3. att.) ir gludas līknes forma.
Sadales funkcijas īpašības:
c) ja .
Rīsi. 2.3. Nepārtrauktas vērtības sadalījuma funkcija
2). Izplatības blīvums definēts kā sadales funkcijas atvasinājums, t.i.
| . |
Līkne, kas attēlo nejauša lieluma sadalījuma blīvumu, tiek saukts sadalījuma līkne (2.4. att.).
Blīvuma īpašības:
un tie. blīvums ir nenegatīva funkcija;
b), t.i. platība ierobežota sadalījuma līkne un x ass vienmēr ir 1.
Ja visas iespējamās nejaušā lieluma vērtības X slēgta iekšpusē a pirms tam b, tad otrā blīvuma īpašība iegūst šādu formu:
Rīsi. 2.4 - Sadales līkne
Praksē bieži vien ir jāzina varbūtība, ka gadījuma lielums X iegūs vērtību kādā diapazonā, piemēram, no a līdz b. Vēlamā varbūtība par diskrētais gadījuma mainīgais X tiek noteikts pēc formulas
jo nepārtraukta gadījuma lieluma jebkuras atsevišķas vērtības varbūtība ir vienāda ar nulli: .
Nepārtraukta gadījuma mainīgā trāpījuma varbūtība X uz intervālu (a, b) nosaka arī izteiksme:
Uzdevums 2.3. Izlases vērtība X ko nosaka sadales funkcija
Atrodiet blīvumu , kā arī varbūtību, ka testa rezultātā nejaušais mainīgais Xņems vērtību, kas ietverta intervālā .
Risinājums:
2. Varbūtība trāpīt nejaušam mainīgajam X intervālā nosaka pēc formulas. Ņemot un, mēs atrodam
Daudzās problēmās, kas saistītas ar normāli sadalītiem gadījuma lielumiem, ir jānosaka varbūtība, ka gadījuma lielums , ievērojot parasto likumu ar parametriem , iekrīt intervālā no līdz . Lai aprēķinātu šo varbūtību, mēs izmantojam vispārīgo formulu
kur ir daudzuma sadalījuma funkcija .
Atradīsim sadalījuma funkciju gadījuma mainīgajam, kas sadalīts pēc parastā likuma ar parametriem . Vērtības sadalījuma blīvums ir:
.
(6.3.2)
Šeit mēs atrodam sadales funkciju
. (6.3.3)
Izdarīsim mainīgā lieluma maiņu integrālī (6.3.3.)
un izveidojiet to formā:
(6.3.4)
Integrāli (6.3.4.) neizsaka ar elementārfunkcijām, bet to var aprēķināt ar speciālu funkciju, kas izsaka izteiksmes noteiktu integrāli vai (tā saukto varbūtības integrāli), kurai tiek sastādītas tabulas. . Ir daudz šādu funkciju šķirņu, piemēram:
;
utt. Kuru no šīm funkcijām izmantot, ir gaumes jautājums. Mēs izvēlēsimies kā šādu funkciju
. (6.3.5)
Ir viegli saprast, ka šī funkcija nav nekas cits kā sadalījuma funkcija normāli sadalītam nejaušam mainīgajam ar parametriem.
Mēs piekrītam saukt funkciju par normālā sadalījuma funkciju. Pielikumā (1. tabula) ir parādītas funkciju vērtību tabulas.
Izteiksim lieluma sadalījuma funkciju (6.3.3) ar parametriem un normālā sadalījuma funkcijas izteiksmē. Acīmredzot
.
(6.3.6)
Tagad noskaidrosim varbūtību trāpīt nejaušam mainīgajam segmentā no līdz . Saskaņā ar formulu (6.3.1.)
Tādējādi esam izteikuši varbūtību, ka gadījuma lielums , kas sadalīts saskaņā ar normālu likumu ar jebkuriem parametriem, iekritīs diagrammā standarta sadalījuma funkcijas izteiksmē, kas atbilst vienkāršākajam normāllikumam ar parametriem 0.1. Ņemiet vērā, ka funkcijas argumentiem formulā (6.3.7) ir ļoti vienkārša nozīme: ir attālums no sadaļas labā gala līdz dispersijas centram, kas izteikts standartnovirzēs; - vienāds attālums sekcijas kreisajam galam, un šis attālums tiek uzskatīts par pozitīvu, ja gals atrodas pa labi no izkliedes centra, un par negatīvu, ja pa kreisi.
Tāpat kā jebkurai sadales funkcijai, šai funkcijai ir šādas īpašības:
3. - nesamazinoša funkcija.
Turklāt no normālā sadalījuma simetrijas ar parametriem par izcelsmi izriet, ka
Izmantojot šo īpašību, faktiski būtu iespējams ierobežot funkcijas tabulas tikai ar argumenta pozitīvām vērtībām, bet, lai izvairītos no nevajadzīgas darbības (atņemšanas no viena), pielikuma 1. tabulā ir norādītas vērtības. gan par pozitīviem, gan negatīviem argumentiem.
Praksē bieži rodas problēma, kā aprēķināt varbūtību, ka normāli sadalīts gadījuma lielums iekritīs apgabalā, kas ir simetrisks pret izkliedes centru. Aplūkosim šādu garuma posmu (6.3.1. att.). Aprēķināsim varbūtību nokļūt šajā vietnē, izmantojot formulu (6.3.7):
Ņemot vērā funkcijas īpašību (6.3.8.) un formulas (6.3.9.) kreisajai pusei piešķirot kompaktāku formu, iegūstam formulu varbūtībai, ka gadījuma lielums, kas sadalīts saskaņā ar normālu likumu, nonāks a. sekcija simetriska attiecībā pret izkliedes centru:
.
(6.3.10)
Atrisināsim šādu problēmu. Atcelsim secīgus garuma segmentus no izkliedes centra (6.3.2. att.) un aprēķināsim varbūtību, ka katrā no tiem iekritīs nejaušs lielums. Tā kā normālā likuma līkne ir simetriska, pietiek ar šādu segmentu atlikšanu tikai vienā virzienā.
Saskaņā ar formulu (6.3.7) mēs atrodam:
(6.3.11)
Kā redzams no šiem datiem, varbūtība trāpīt katru no šiem segmentiem (piektā, sestā utt.) ar precizitāti 0,001 ir vienāda ar nulli.
Noapaļojot segmentu trāpījuma varbūtību līdz 0,01 (līdz 1%), mēs iegūstam trīs skaitļus, kurus ir viegli atcerēties:
0,34; 0,14; 0,02.
Šo trīs vērtību summa ir 0,5. Tas nozīmē, ka normāli sadalītam gadījuma mainīgajam visas dispersijas (līdz procenta daļām) iekļaujas sadaļā .
Tas ļauj, zinot nejaušā lieluma standartnovirzi un matemātisko cerību, aptuveni norādīt tā praktiski iespējamo vērtību diapazonu. Šī nejaušā lieluma iespējamo vērtību diapazona novērtēšanas metode matemātiskajā statistikā ir pazīstama kā "trīs sigmas likums". Trīs sigmu noteikums ietver arī aptuvenu metodi nejauša lieluma standartnovirzes noteikšanai: tie ņem maksimālo praktiski iespējamo novirzi no vidējā un dala to ar trīs. Protams, šo aptuveno metodi var ieteikt tikai tad, ja nav citu, precīzāku veidu, kā noteikt .
1. piemērs. Gadījuma lielums , kas sadalīts saskaņā ar parasto likumu, ir kļūda noteikta attāluma mērīšanā. Veicot mērījumus, pieļaujama sistemātiska kļūda pārvērtēšanas virzienā par 1,2 (m); mērījuma kļūdas standartnovirze ir 0,8 (m). Atrodiet varbūtību, ka izmērītās vērtības novirze no patiesās vērtības nepārsniedz 1,6 (m) absolūtā vērtībā.
Risinājums. Mērījumu kļūda ir nejaušs lielums, kas atbilst parastajam likumam ar parametriem un . Mums jāatrod iespējamība, ka šis lielums ietilpst intervālā no līdz . Pēc formulas (6.3.7) mums ir:
Izmantojot funkciju tabulas (pielikums, 1. tabula), mēs atrodam:
;
,
2. piemērs. Atrodiet tādu pašu varbūtību kā iepriekšējā piemērā, bet ar nosacījumu, ka nav sistemātiskas kļūdas.
Risinājums. Pēc formulas (6.3.10.), pieņemot , mēs atrodam:
.
Piemērs 3. Uz mērķi, kas izskatās kā josla (automaģistrāle), kuras platums ir 20 m, šaušana tiek veikta virzienā, kas ir perpendikulārs automaģistrālei. Mērķēšana tiek veikta pa šosejas centra līniju. Standartnovirze šaušanas virzienā ir vienāda ar m. Šaušanas virzienā ir sistemātiska kļūda: zemšāva ir 3 m. Atrodi iespējamību ar vienu šāvienu trāpīt uz automaģistrāles.
Parasta gadījuma lieluma izkliede.
Izkliede gadījuma lielums ir atbilstošā centrētā nejaušā mainīgā kvadrāta matemātiskā sagaidāmais lielums.
Tas raksturo gadījuma lieluma vērtību izplatības pakāpi attiecībā pret tā matemātisko cerību, t.i. vērtību diapazona platums.
Aprēķinu formulas:
Izkliedi var aprēķināt otrā sākuma momenta izteiksmē:
(6.10)
Gadījuma lieluma izkliede raksturo gadījuma lieluma vērtību izkliedes (izkliedes) pakāpi attiecībā pret tā matemātisko cerību. SW izkliede (gan diskrēta, gan nepārtraukta) ir nejaušs (konstants) lielums.
SW dispersijai ir nejauša lieluma kvadrāta izmērs. Skaidrības labad izkliedes raksturlielumos tiek izmantots daudzums, kura izmērs sakrīt ar SW izmēru.
Standarta novirze (RMS) SW X sauc par raksturīgu
. (6.11)
RMS mēra tajās pašās fiziskajās vienībās kā SW un raksturo SW vērtību diapazona platumu.
Izkliedes īpašības
Dispersijas konstante no vienāds ar nulli.
Pierādījums: pēc dispersijas definīcijas
Pievienojot nejaušam mainīgajam X negadījuma vērtība no tā dispersija nemainās.
D[X+c] = D[X].
Pierādījums: pēc dispersijas definīcijas
(6.12)
3. Reizinot gadījuma lielumu X pēc nejaušības principa no tā dispersija tiek reizināta ar kopš 2.
Pierādījums: pēc dispersijas definīcijas
. (6.13)
Standarta novirzei šim īpašumam ir šāda forma:
(6.14)
Patiešām, ja ½C½>1, cX vērtībai ir iespējamās vērtības (absolūtā vērtībā), kas ir lielākas par X vērtību. Tāpēc šīs vērtības ir izkliedētas ap matemātisko cerību. M[cX] ir lielāka par iespējamām vērtībām X apkārt M[X], t.i. 
. Ja 0<½с½<1, то 
.
3. noteikums. Lielākajai daļai nejaušā lieluma vērtību tā novirzes absolūtā vērtība no matemātiskās cerības nepārsniedz standartnovirzi trīs reizes vai, citiem vārdiem sakot, gandrīz visas CV vērtības atrodas intervālā:
[ m - 3s; m + 3 s; ].(6.15)
Varbūtība iekrist noteiktā parastā gadījuma lieluma intervālā
Kā jau noteikts, varbūtība, ka nepārtraukts gadījuma mainīgais pieņems vērtību, kas pieder intervālam, ir vienāda ar noteiktu sadalījuma blīvuma integrāli, kas ņemts atbilstošās robežās: 
.
Attiecīgi normāli sadalītam gadījuma mainīgajam mēs iegūstam: 
.
Pārveidosim pēdējo izteiksmi, ieviešot jaunu mainīgo 
. Tāpēc izteiksmes eksponents zem integrāļa tiek pārveidots par: 
.
Lai aizstātu mainīgo noteiktā integrālī, joprojām ir jāaizstāj diferenciālis un integrācijas robežas, iepriekš izsakot mainīgo no aizstāšanas formulas: 
;
;
ir integrācijas apakšējā robeža;
ir integrācijas augšējā robeža;
(lai atrastu integrācijas robežas attiecībā pret jauno mainīgo, un vai integrācijas robežas attiecībā pret veco mainīgo tika aizstātas mainīgā formulas maiņā).
Aizvietojiet visu, kas norādīts pēdējā no varbūtības noteikšanas formulām: 
kur 
ir Laplasa funkcija.
Secinājums: varbūtība, ka normāli sadalīts gadījuma mainīgais iegūs vērtību, kas pieder intervālam, ir vienāda ar: 
,
kur ir matemātiskā cerība, ir dotā gadījuma lieluma standartnovirze.
23. Hī kvadrāta sadalījumi, Students un Fišers
Normālais sadalījums definē trīs sadalījumus, kurus tagad bieži izmanto statistikas datu apstrādē. Nākamajās grāmatas sadaļās šīs izplatīšanas ir sastopamas daudzas reizes.
Pīrsona sadalījums (chi - kvadrāts) - nejauša lieluma sadalījums
kur nejaušie mainīgie X 1 , X 2 ,…, X n ir neatkarīgi un tiem ir vienāds sadalījums N(0,1). Šajā gadījumā terminu skaits, t.i. n, sauc par hī kvadrāta sadalījuma "brīvības pakāpju skaitu".
Hī kvadrāta sadalījumu izmanto, lai novērtētu dispersiju (izmantojot ticamības intervālu), pārbaudot hipotēzes par vienošanos, viendabīgumu, neatkarību, galvenokārt kvalitatīviem (kategorizētiem) mainīgajiem, kas iegūst ierobežotu skaitu vērtību, un daudzos citos statistikas uzdevumos. datu analīze.
Izplatīšana t Students ir gadījuma lieluma sadalījums
kur nejaušie mainīgie U Un X neatkarīgs, U ir standarta normālais sadalījums N(0,1) un X– sadalījums chi – kvadrāts ar n brīvības pakāpes. Kurā n sauc par Studenta sadalījuma "brīvības pakāpju skaitu".
Studentu izplatīšanu 1908. gadā ieviesa angļu statistiķis V. Gosets, kurš strādāja alus rūpnīcā. Šajā rūpnīcā ekonomisku un tehnisku lēmumu pieņemšanai tika izmantotas varbūtības-statistiskās metodes, tāpēc tās vadība aizliedza V. Gosetam publicēt zinātniskus rakstus ar savu vārdu. Tādā veidā tika aizsargāts komercnoslēpums, "know-how" V. Goseta izstrādāto varbūtības-statistisko metožu veidā. Tomēr viņš varēja publicēties ar pseidonīmu "Students". Gosset-Student vēsture liecina, ka pirms simts gadiem Lielbritānijas vadītājiem bija acīmredzama varbūtības-statistisko metožu lielā ekonomiskā efektivitāte.
Pašlaik Studenta sadalījums ir viens no pazīstamākajiem sadalījumiem starp tiem, kas tiek izmantoti reālo datu analīzē. To izmanto, lai novērtētu matemātisko cerību, paredzamo vērtību un citus raksturlielumus, izmantojot ticamības intervālus, pārbaudot hipotēzes par matemātisko gaidu vērtībām, regresijas koeficientiem, parauga viendabīguma hipotēzēm utt. .
Kur 
- neatņemama Laplasa funkcija, ir norādīts tabulā.
No noteikta integrāļa Ф (- X)= - F( X), t.i. funkcija Ф( X) ir nepāra.
No tā tiek iegūtas šādas (atvasinātas) formulas:
Pieņemot: a) d=s
Trīs sigmas noteikums (3 s): ir gandrīz droši, ka vienā testā normāli sadalīta gadījuma lieluma novirze no tā matemātiskās cerības nepārsniedz standartnovirzi trīs reizes.
Uzdevums: Pieņemts, ka dīķī noķerto spoguļkarpu masa ir nejaušs lielums X, kam ir normāls sadalījums ar matemātisko cerību a\u003d 375 g. un standartnovirze s \u003d 25 g. Ir jānosaka:
A) Varbūtība, ka nejauši noķertas karpas masa būs vismaz a=300 g un ne lielāka par b=425 g.
B) Varbūtība, ka noteiktās masas novirze no vidējās vērtības (matemātiskās cerības) absolūtā vērtībā būs mazāka par d = 40 g.
C) Izmantojot trīs sigmu likumu, atrodiet spoguļkarpu paredzamās masas minimālo un maksimālo robežu.
Risinājums:
BET) 
Izvade: Apmēram 98% dīķī peldošo karpu sver vismaz 300 g un ne vairāk kā 425 g.
B) 
Izvade: aptuveni 89% masa ir a-d= 375-40 = 335 līdz a+ d \u003d 375 + 40 \u003d 415 g.
C) Saskaņā ar trīs sigmu likumu:
Izvade: Gandrīz visu karpu masa (apmēram 100%) ir robežās no 300 līdz 450 gramiem.
Uzdevumi patstāvīgam risinājumam
1. Šāvējs trāpa mērķī ar varbūtību 0,8. Kāda ir iespējamība, ka ar trim šāvieniem mērķī tiks trāpīts tieši divas reizes? Vismaz divas reizes?
2. Ģimenē ir četri bērni. Ņemot vērā zēna un meitenes dzimšanu kā vienlīdz iespējamus notikumus, novērtējiet varbūtību, ka ģimenē ir divas meitenes. Trīs meitenes un viens zēns. Izveidojiet sadalījuma likumu nejaušam mainīgajam X kas atbilst iespējamajam meiteņu skaitam ģimenē. Aprēķināt raksturlielumus: M(X), s.
3. Trīs reizes met kauliņu. Kāda ir varbūtība, ka vienreiz parādīsies "6"? Ne vairāk kā vienu reizi?
4. Izlases vērtība X vienmērīgi sadalīts pa intervālu. Kāda ir varbūtība, ka gadījuma lielums X ietilpst intervālā?
5. Tiek pieņemts, ka noteiktā apvidū dzīvojošo cilvēku augums (noteikti - pieaugušie, vīrieši) pakļaujas normālā sadalījuma likumam ar matemātisko cerību. bet\u003d 170 cm un standarta novirze s \u003d 5 cm. Kāda ir varbūtība, ka nejauši izvēlētas personas augums:
A) būs ne vairāk kā 180 cm un ne mazāks par 165 cm?
B) absolūtā vērtībā atšķiras no vidējā ne vairāk kā par 10 cm?
C) pēc "trīs sigmu" likuma aprēķiniet cilvēka minimālo un maksimālo iespējamo augumu.
testa jautājumi
1. Kā tiek uzrakstīta Bernulli formula? Kad tas tiek piemērots?
2. Kas ir binomiālā sadalījuma likums?
3. Kādu gadījuma lielumu sauc par vienmērīgi sadalītu?
4. Kāda forma ir integrālā un diferenciālā sadalījuma funkcijām nejaušam mainīgajam, kas vienmērīgi sadalīts intervālā [ a, b]?
5. Kādam nejaušam mainīgajam ir normālā sadalījuma likums?
6. Kā izskatās zvana līkne?
7. Kā atrast varbūtību, ka normāli sadalīts gadījuma lielums iekrīt noteiktā intervālā?
8. Kā tiek formulēts Trīs sigmu likums?
Ievads nejaušo procesu teorijā
izlases funkcija izsauc funkciju, kuras vērtība katrai neatkarīgā mainīgā vērtībai ir nejaušs mainīgais.
Nejaušs (vai stohastisks) process sauc par nejaušu funkciju, kuras neatkarīgais mainīgais ir laiks t.
Citiem vārdiem sakot, nejaušs process ir nejaušs mainīgais, kas laika gaitā mainās. nejaušs process X(t) on ir noteikta līkne, tā ir noteiktu līkņu kopa vai saime x i (t) (i= 1, 2, …, n), kas iegūts atsevišķu eksperimentu rezultātā. Katra līkne šajā kopā tiek saukta īstenošana (vai trajektorija) nejaušs process.
Nejauša procesa šķērsgriezums sauc par nejaušu mainīgo X(t 0), kas atbilst nejaušā procesa vērtībai noteiktā laikā t = t0.