एक यादृच्छिक चर के अंतराल में गिरने की प्रायिकता। किसी दिए गए अंतराल के भीतर एक यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता। स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

यादृच्छिक चर का वितरण फलन ज्ञात कीजिए एक्स, सामान्य वितरण कानून के अधीन:

हम इंटीग्रल में बदलाव करते हैं और इसे फॉर्म में लाते हैं:

.

अभिन्न प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जाता है, लेकिन इसकी गणना एक विशेष फ़ंक्शन के माध्यम से की जा सकती है जो अभिव्यक्ति के एक निश्चित अभिन्न अंग को व्यक्त करता है या। हम फ़ंक्शन व्यक्त करते हैं लाप्लास फ़ंक्शन के माध्यम से (х):

.

साइट (α, β) पर एक यादृच्छिक चर X से टकराने की संभावना सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:

.

अंतिम सूत्र का उपयोग करके, एक पूर्व निर्धारित, मनमाने ढंग से छोटे सकारात्मक मूल्य द्वारा गणितीय अपेक्षा से एक सामान्य यादृच्छिक चर के विचलन की संभावना का अनुमान लगाया जा सकता है:

.

चलो, फिर और। पर टी=3 हमें प्राप्त होता है, अर्थात्। घटना है कि गणितीय अपेक्षा से सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का विचलन कम होगा, व्यावहारिक रूप से निश्चित है।

यह क्या है तीन सिग्मा नियम: यदि एक यादृच्छिक चर सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो गणितीय अपेक्षा से इसके मूल्यों के विचलन का निरपेक्ष मान मानक विचलन के तीन गुना से अधिक नहीं होता है।

एक कार्य।कार्यशाला द्वारा निर्मित भाग का व्यास सामान्य रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर होने दें, एम = 4.5 सेमी, सेमी। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से लिए गए भाग के व्यास का आकार इसकी गणितीय अपेक्षा से 1 मिमी से अधिक नहीं है।

फेसला. इस समस्या को पैरामीटर के निम्नलिखित मानों की विशेषता है जो वांछित संभावना निर्धारित करते हैं: , , एफ(0.2)=0.0793,

परीक्षण प्रश्न

1. किस प्रायिकता बंटन को एकसमान कहा जाता है?

2. अंतराल पर समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के वितरण फलन का रूप क्या है [ ए; बी]?

3. किसी दिए गए अंतराल में समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के मानों को हिट करने की संभावना की गणना कैसे करें?

4. यादृच्छिक चर का घातांकीय वितरण कैसे निर्धारित किया जाता है?

5. एक घातांकीय नियम के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर का वितरण फलन क्या है?

6. किस प्रायिकता बंटन को सामान्य कहा जाता है?

7. सामान्य वितरण के घनत्व में क्या गुण होते हैं? सामान्य वितरण के पैरामीटर सामान्य वितरण घनत्व ग्राफ की उपस्थिति को कैसे प्रभावित करते हैं?

8. इस संभावना की गणना कैसे करें कि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के मान किसी दिए गए अंतराल के भीतर गिरेंगे?

9. गणितीय अपेक्षा से सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के मूल्यों के विचलन की संभावना की गणना कैसे करें?

10. "थ्री सिग्मा" का नियम बनाइए?

11. अंतराल पर एक समान नियम के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन क्या हैं [ ए; बी]?

12. पैरामीटर के साथ एक घातीय कानून के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, भिन्नता और मानक विचलन क्या हैं?

13. मापदंडों के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन क्या हैं? एमऔर ?

नियंत्रण कार्य

1. यादृच्छिक चर एक्सअंतराल [−3, 5] पर समान रूप से वितरित। वितरण घनत्व और वितरण फ़ंक्शन खोजें एक्स. दोनों कार्यों के लिए प्लॉट ग्राफ। संभावनाओं का पता लगाएं और . गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना करें एक्स.

2. मार्ग क्रमांक 21 की बसें 10 मिनट के अन्तराल पर नियमित रूप से चलती हैं। यात्री एक स्टॉप पर यादृच्छिक समय पर निकलता है। हम एक यादृच्छिक चर पर विचार करते हैं एक्स- बस यात्री के लिए प्रतीक्षा समय (मिनटों में)। वितरण घनत्व और वितरण फ़ंक्शन खोजें एक्स. दोनों कार्यों के लिए प्लॉट ग्राफ। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यात्री को बस के लिए पाँच मिनट से अधिक प्रतीक्षा नहीं करनी पड़ेगी। औसत बस प्रतीक्षा समय और बस प्रतीक्षा समय के विचरण का पता लगाएं।

3. यह स्थापित किया गया है कि वीसीआर की मरम्मत का समय (दिनों में) एक यादृच्छिक चर है एक्स, घातीय कानून के अनुसार वितरित। एक वीसीआर के लिए औसत मरम्मत का समय 10 दिन है। वितरण घनत्व और वितरण फ़ंक्शन खोजें एक्स. दोनों कार्यों के लिए प्लॉट ग्राफ। वीसीआर को ठीक करने में कम से कम 11 दिन लगने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

4. एक यादृच्छिक चर के घनत्व और वितरण कार्यों को प्लॉट करें एक्स, मापदंडों के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित एम= = - 2 और = 0.2।

सतत यादृच्छिक चर के लिए वितरण के कानून की स्थापना के रूप

असतत यादृच्छिक चर के वितरण के कानून की स्थापना के रूप

1). वितरण की तालिका (पंक्ति) - सबसे सरल रूपअसतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम की स्थापना।

चूंकि तालिका एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों को सूचीबद्ध करती है।

2). वितरण बहुभुज . एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक वितरण श्रृंखला के चित्रमय प्रतिनिधित्व में, एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और संबंधित संभावनाओं को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है। फिर डॉट्स लगाए जाते हैं और सीधी रेखा के खंडों से जुड़े होते हैं। परिणामी आंकड़ा - वितरण बहुभुज - एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को निर्दिष्ट करने का एक रूप भी है।

3). वितरण समारोह - संभावना है कि एक यादृच्छिक चर एक्स कुछ दिए गए x . से कम मान लेगा, अर्थात।

.

ज्यामितीय दृष्टिकोण से, इसे एक यादृच्छिक बिंदु से टकराने की संभावना के रूप में माना जा सकता है एक्सनिश्चित बिंदु के बाईं ओर स्थित संख्यात्मक अक्ष के अनुभाग में एक्स।

2) ; ;

कार्य 2.1.यादृच्छिक मूल्य एक्स- 3 शॉट्स के साथ लक्ष्य पर हिट की संख्या (कार्य 1.5 देखें)। एक वितरण श्रृंखला, एक वितरण बहुभुज बनाएं, वितरण फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें और इसका ग्राफ बनाएं।

फेसला:

1) यादृच्छिक चर के वितरण की श्रृंखला एक्सतालिका में प्रस्तुत किया गया है

पर	,
पर	,
पर	,
पर
पर	.

मूल्य के भुज के साथ प्लॉटिंग एक्स,और y- अक्ष के साथ - मान और एक निश्चित पैमाने का चयन करते हुए, हमें वितरण फ़ंक्शन का एक ग्राफ मिलता है (चित्र। 2.2)। एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण समारोह में उन बिंदुओं पर कूद (असंतोष) होता है जहां यादृच्छिक चर एक्सवितरण तालिका में निर्दिष्ट विशिष्ट मान लेता है। वितरण फलन में सभी छलांगों का योग एक के बराबर होता है।

चावल। 2.2 - असतत मूल्य वितरण समारोह

1). वितरण समारोह .

एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, वितरण फलन ग्राफ (चित्र 2.3) में एक चिकने वक्र का रूप होता है।

वितरण समारोह गुण:

ग) अगर।

चावल। 2.3 - एक सतत मूल्य का वितरण फलन

2). वितरण घनत्व के रूप में परिभाषित किया गया है वितरण समारोह का व्युत्पन्न, अर्थात्।

.

एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व को दर्शाने वाला वक्र, कहा जाता है वितरण वक्र (चित्र। 2.4)।

घनत्व गुण:

और वो। घनत्व एक गैर-नकारात्मक कार्य है;

बी), यानी क्षेत्र सीमित वितरण वक्र और x-अक्ष हमेशा 1 होता है।

यदि यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान एक्सके भीतर संलग्न एइससे पहले बी, तो दूसरा घनत्व गुण रूप लेता है:

चावल। 2.4 - वितरण वक्र

व्यवहार में, यह प्रायिकता जानना आवश्यक है कि एक यादृच्छिक चर एक्सकुछ सीमा के भीतर मान लेगा, जैसे कि a से b तक। के लिए वांछित संभावना असतत यादृच्छिक चर एक्ससूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

चूँकि एक सतत यादृच्छिक चर के किसी एकल मान की प्रायिकता शून्य के बराबर होती है: .

एक सतत यादृच्छिक चर से टकराने की प्रायिकता एक्सअंतराल पर (ए, बी) भी अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

कार्य 2.3.यादृच्छिक मूल्य एक्सवितरण समारोह द्वारा दिया गया

घनत्व का पता लगाएं, साथ ही संभावना है कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर एक्सअंतराल में संलग्न मान लेगा।

फेसला:

2. यादृच्छिक चर से टकराने की प्रायिकता एक्सअंतराल में सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है। लेना और , हम पाते हैं

सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर से संबंधित कई समस्याओं में, इस संभावना को निर्धारित करना आवश्यक है कि एक यादृच्छिक चर, मापदंडों के साथ सामान्य कानून का पालन करते हुए, से अंतराल में आता है। इस संभावना की गणना करने के लिए, हम सामान्य सूत्र का उपयोग करते हैं

मात्रा का वितरण कार्य कहाँ है।

आइए हम मापदंडों के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर के वितरण समारोह का पता लगाएं। मूल्य का वितरण घनत्व है:

. (6.3.2)

यहाँ से हम वितरण फलन पाते हैं

. (6.3.3)

आइए हम चर के परिवर्तन को समाकलन (6.3.3) में करें।

और इसे फॉर्म में लाएं:

(6.3.4)

अभिन्न (6.3.4) प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जाता है, लेकिन इसकी गणना एक विशेष फ़ंक्शन के रूप में की जा सकती है जो अभिव्यक्ति के एक निश्चित अभिन्न या (तथाकथित संभाव्यता अभिन्न) को व्यक्त करता है, जिसके लिए तालिकाओं को संकलित किया जाता है . ऐसे कार्यों की कई किस्में हैं, उदाहरण के लिए:

;

आदि। इनमें से किस फ़ंक्शन का उपयोग करना स्वाद का विषय है। हम इस तरह के एक समारोह के रूप में चुनेंगे

. (6.3.5)

यह देखना आसान है कि यह फ़ंक्शन पैरामीटर के साथ सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए वितरण फ़ंक्शन के अलावा और कुछ नहीं है।

हम फ़ंक्शन को सामान्य वितरण फ़ंक्शन कहने के लिए सहमत हैं। परिशिष्ट (तालिका 1) फ़ंक्शन मानों की तालिकाएँ दिखाता है।

आइए हम मात्रा के वितरण फलन (6.3.3) को मापदंडों के साथ और सामान्य वितरण फलन के रूप में व्यक्त करें। स्पष्टतः,

. (6.3.6)

अब से खंड पर एक यादृच्छिक चर के टकराने की प्रायिकता ज्ञात करते हैं। सूत्र के अनुसार (6.3.1)

इस प्रकार, हमने संभावना व्यक्त की है कि किसी भी पैरामीटर के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर, मानक वितरण फ़ंक्शन के संदर्भ में प्लॉट पर गिर जाएगा, पैरामीटर 0.1 के साथ सबसे सरल सामान्य कानून के अनुरूप। ध्यान दें कि सूत्र (6.3.7) में फ़ंक्शन तर्कों का एक बहुत ही सरल अर्थ है: मानक विचलन में व्यक्त खंड के दाहिने छोर से फैलाव के केंद्र तक की दूरी है; - खंड के बाएं छोर के लिए समान दूरी, और यह दूरी सकारात्मक मानी जाती है यदि अंत फैलाव केंद्र के दाईं ओर स्थित है, और यदि बाईं ओर नकारात्मक है।

किसी भी वितरण फ़ंक्शन की तरह, फ़ंक्शन में निम्नलिखित गुण होते हैं:

3. - गैर-घटता कार्य।

इसके अलावा, मूल के बारे में मापदंडों के साथ सामान्य वितरण की समरूपता से, यह निम्नानुसार है

इस संपत्ति का उपयोग करना, वास्तव में, फ़ंक्शन तालिकाओं को तर्क के केवल सकारात्मक मूल्यों तक सीमित करना संभव होगा, लेकिन अनावश्यक संचालन (एक से घटाव) से बचने के लिए, परिशिष्ट की तालिका 1 के लिए मान प्रदान करती है सकारात्मक और नकारात्मक दोनों तर्क।

व्यवहार में, किसी को अक्सर संभावना की गणना करने की समस्या का सामना करना पड़ता है कि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर एक ऐसे क्षेत्र में गिर जाएगा जो फैलाव के केंद्र के बारे में सममित है। लंबाई के ऐसे भाग पर विचार करें (चित्र 6.3.1)। आइए हम सूत्र (6.3.7) का उपयोग करके इस साइट से टकराने की संभावना की गणना करें:

फ़ंक्शन की संपत्ति (6.3.8) को ध्यान में रखते हुए और सूत्र के बाईं ओर (6.3.9) को अधिक कॉम्पैक्ट रूप देते हुए, हम सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर की संभावना के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं। प्रकीर्णन केंद्र के संबंध में खंड सममित:

. (6.3.10)

आइए निम्नलिखित समस्या को हल करें। आइए हम प्रकीर्णन केंद्र से लंबाई के क्रमिक खंडों को अलग रखें (चित्र 6.3.2) और इस संभावना की गणना करें कि उनमें से प्रत्येक में एक यादृच्छिक चर गिर जाएगा। चूँकि सामान्य नियम का वक्र सममित होता है, ऐसे खंडों को केवल एक दिशा में स्थगित करने के लिए पर्याप्त है।

सूत्र (6.3.7) के अनुसार हम पाते हैं:

(6.3.11)

जैसा कि इन आंकड़ों से देखा जा सकता है, निम्न में से प्रत्येक खंड (पांचवें, छठे, आदि) को 0.001 की सटीकता के साथ हिट करने की संभावनाएं शून्य के बराबर हैं।

खंडों को 0.01 (1% तक) तक मारने की संभावनाओं को गोल करते हुए, हमें तीन नंबर मिलते हैं जिन्हें याद रखना आसान होता है:

0,34; 0,14; 0,02.

इन तीनों मानों का योग 0.5 है। इसका मतलब यह है कि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए, सभी फैलाव (प्रतिशत के अंश तक) अनुभाग में फिट होते हैं।

यह अनुमति देता है, मानक विचलन और एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा को जानने के लिए, इसके व्यावहारिक रूप से संभव मूल्यों की सीमा को इंगित करने के लिए। एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की सीमा का अनुमान लगाने की इस पद्धति को गणितीय आंकड़ों में "तीन सिग्मा के नियम" के रूप में जाना जाता है। थ्री सिग्मा का नियम एक यादृच्छिक चर के मानक विचलन को निर्धारित करने के लिए एक अनुमानित विधि का भी अर्थ है: वे औसत से अधिकतम व्यावहारिक रूप से संभव विचलन लेते हैं और इसे तीन से विभाजित करते हैं। बेशक, इस मोटे तरीके की सिफारिश केवल तभी की जा सकती है जब निर्धारित करने के लिए कोई अन्य, अधिक सटीक तरीके न हों।

उदाहरण 1. सामान्य नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर, एक निश्चित दूरी को मापने में एक त्रुटि है। मापते समय, 1.2 (एम) द्वारा overestimation की दिशा में एक व्यवस्थित त्रुटि की अनुमति है; माप त्रुटि का मानक विचलन 0.8 (एम) है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि मापे गए मान का वास्तविक मान से विचलन निरपेक्ष मान में 1.6 (m) से अधिक नहीं है।

फेसला। माप त्रुटि एक यादृच्छिक चर है जो मापदंडों के साथ सामान्य कानून का पालन करता है और . हमें प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता है कि यह मात्रा से के अंतराल पर आती है। सूत्र (6.3.7) से हमारे पास है:

फ़ंक्शन टेबल (परिशिष्ट, तालिका 1) का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

; ,

उदाहरण 2. पिछले उदाहरण की तरह ही प्रायिकता ज्ञात कीजिए, लेकिन इस शर्त पर कि कोई व्यवस्थित त्रुटि नहीं है।

फेसला। सूत्र (6.3.10) से, यह मानते हुए, हम पाते हैं:

.

उदाहरण 3. एक पट्टी (फ्रीवे) की तरह दिखने वाले लक्ष्य पर, जिसकी चौड़ाई 20 मीटर है, शूटिंग फ्रीवे के लंबवत दिशा में की जाती है। लक्ष्य राजमार्ग की मध्य रेखा के साथ किया जाता है। फायरिंग दिशा में मानक विचलन मी के बराबर है। फायरिंग दिशा में एक व्यवस्थित त्रुटि है: अंडरशूट 3 मीटर है। फ्रीवे को एक शॉट से मारने की संभावना का पता लगाएं।

एक सामान्य यादृच्छिक चर का फैलाव।

फैलावयादृच्छिक चर संगत केंद्रित यादृच्छिक चर के वर्ग की गणितीय अपेक्षा है।

यह अपनी गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के प्रसार की डिग्री की विशेषता है, अर्थात। मूल्य सीमा चौड़ाई।

गणना सूत्र:

फैलाव की गणना दूसरे प्रारंभिक क्षण के रूप में की जा सकती है:

(6.10)

एक यादृच्छिक चर का फैलाव इसकी गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के फैलाव (बिखरने) की डिग्री की विशेषता है। SW का फैलाव (असतत और निरंतर दोनों) एक गैर-यादृच्छिक (स्थिर) मात्रा है।

SW के प्रसरण में एक यादृच्छिक चर के वर्ग का आयाम होता है। स्पष्टता के लिए, प्रकीर्णन विशेषताएँ एक मात्रा का उपयोग करती हैं जिसका आयाम SW के साथ मेल खाता है।

मानक विचलन (आरएमएस)दप एक्सविशेषता कहा जाता है

. (6.11)

RMS को SW के समान भौतिक इकाइयों में मापा जाता है और SW मानों की सीमा की चौड़ाई को दर्शाता है।

फैलाव गुण

फैलाव स्थिरांक साथशून्य के बराबर।

प्रमाण: भिन्नता की परिभाषा के अनुसार

जब एक यादृच्छिक चर में जोड़ा जाता है एक्सगैर-यादृच्छिक मूल्य साथइसकी भिन्नता नहीं बदलती।

डी[एक्स+सी] = डी[एक्स].

प्रमाण: भिन्नता की परिभाषा के अनुसार

(6.12)

3. यादृच्छिक चर को गुणा करते समय एक्सएक यादृच्छिक राशि से साथइसका प्रसरण से गुणा किया जाता है 2 . से.

प्रमाण: भिन्नता की परिभाषा के अनुसार

. (6.13)

मानक विचलन के लिए, इस संपत्ति का रूप है:

(6.14)

दरअसल, जब ½C½>1, cX के मान का संभावित मान (निरपेक्ष मान में) X के मान से अधिक होता है। इसलिए, ये मान गणितीय अपेक्षा के आसपास बिखरे हुए हैं एम[सीएक्स] संभावित मानों से अधिक है एक्सचारों ओर एम[एक्स], अर्थात। . अगर 0<½с½<1, то .

नियम 3.एक यादृच्छिक चर के अधिकांश मूल्यों के लिए, गणितीय अपेक्षा से इसके विचलन का निरपेक्ष मान मानक विचलन के तीन गुना से अधिक नहीं है, या, दूसरे शब्दों में, लगभग सभी CV मान अंतराल में हैं:

[ एम - 3एस; एम + 3 एस; ].(6.15)

एक सामान्य यादृच्छिक चर के दिए गए अंतराल में गिरने की प्रायिकता

जैसा कि पहले ही स्थापित किया जा चुका है, एक सतत यादृच्छिक चर के अंतराल से संबंधित मान लेने की संभावना वितरण घनत्व के एक निश्चित अभिन्न के बराबर है, जिसे उचित सीमा के भीतर लिया गया है:
.
क्रमशः सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए, हम प्राप्त करते हैं:
.
आइए एक नया वेरिएबल पेश करके अंतिम व्यंजक को रूपांतरित करें . इसलिए, समाकल के अंतर्गत व्यंजक के घातांक को परिवर्तित किया जाता है:
.
एक चर को एक निश्चित अभिन्न में बदलने के लिए, अंतर और एकीकरण की सीमाओं को प्रतिस्थापित करना अभी भी आवश्यक है, पहले प्रतिस्थापन सूत्र से चर को व्यक्त किया है:
;
;
एकीकरण की निचली सीमा है;
एकीकरण की ऊपरी सीमा है;
(नए चर के संबंध में एकीकरण की सीमा का पता लगाने के लिए, और पुराने चर के संबंध में एकीकरण की सीमा को चर सूत्र के परिवर्तन में प्रतिस्थापित किया गया था)।
प्रायिकता ज्ञात करने के लिए अंतिम सूत्र में सब कुछ रखें:


कहाँ पे लाप्लास फ़ंक्शन है।
निष्कर्ष: एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अंतराल से संबंधित मान लेने की प्रायिकता इसके बराबर है:
,
गणितीय अपेक्षा कहाँ है, दिए गए यादृच्छिक चर का मानक विचलन है।

23. ची-स्क्वायर वितरण, छात्र और फिशर

सामान्य वितरण तीन वितरणों को परिभाषित करता है जो अब अक्सर सांख्यिकीय डेटा प्रोसेसिंग में उपयोग किए जाते हैं। पुस्तक के निम्नलिखित खंडों में, इन वितरणों का कई बार सामना करना पड़ता है।

पियर्सन वितरण (ची - वर्ग) - एक यादृच्छिक चर का वितरण

जहां यादृच्छिक चर एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एनस्वतंत्र हैं और उनका वितरण समान है एन(0.1)। इस मामले में, पदों की संख्या, अर्थात्। एन, को ची-स्क्वायर वितरण की "स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या" कहा जाता है।

ची-स्क्वायर वितरण का उपयोग भिन्नता (विश्वास अंतराल का उपयोग करके), समझौते, एकरूपता, स्वतंत्रता की परिकल्पना के परीक्षण में, मुख्य रूप से गुणात्मक (वर्गीकृत) चर के लिए किया जाता है जो मूल्यों की एक सीमित संख्या में होते हैं, और सांख्यिकीय के कई अन्य कार्यों में डेटा विश्लेषण।

वितरण टीविद्यार्थी एक यादृच्छिक चर का वितरण है

जहां यादृच्छिक चर यूऔर एक्सस्वतंत्र, यूएक मानक सामान्य वितरण है एन(0,1) और एक्स- वितरण ची - वर्ग के साथ एनस्वतंत्रता का दर्जा। जिसमें एनछात्र के वितरण की "स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या" कहा जाता है।

छात्र वितरण की शुरुआत 1908 में अंग्रेजी सांख्यिकीविद् डब्ल्यू. गोसेट द्वारा की गई थी, जो एक बियर कारखाने में काम करते थे। इस कारखाने में आर्थिक और तकनीकी निर्णय लेने के लिए संभाव्य-सांख्यिकीय तरीकों का इस्तेमाल किया गया था, इसलिए इसके प्रबंधन ने वी। गोसेट को अपने नाम से वैज्ञानिक लेख प्रकाशित करने से मना किया। इस तरह, डब्ल्यू गोसेट द्वारा विकसित संभाव्य-सांख्यिकीय विधियों के रूप में एक व्यापार रहस्य की रक्षा की गई, "पता है"। हालांकि, वह छद्म नाम "छात्र" के तहत प्रकाशित करने में सक्षम था। गॉसेट-स्टूडेंट का इतिहास बताता है कि सौ साल पहले, संभाव्य-सांख्यिकीय तरीकों की महान आर्थिक दक्षता ब्रिटिश प्रबंधकों के लिए स्पष्ट थी।

वर्तमान में, छात्र का वितरण वास्तविक डेटा के विश्लेषण में उपयोग किए जाने वाले सबसे प्रसिद्ध वितरणों में से एक है। इसका उपयोग गणितीय अपेक्षा, भविष्य कहनेवाला मूल्य और अन्य विशेषताओं का अनुमान लगाने में आत्मविश्वास अंतराल का उपयोग करते हुए, गणितीय अपेक्षाओं के मूल्यों, प्रतिगमन गुणांक, नमूना समरूपता की परिकल्पना आदि के बारे में परिकल्पनाओं का परीक्षण करने में किया जाता है। .

कहाँ - इंटीग्रल लैपलेस फंक्शन, तालिका में दिया गया है।

एक निश्चित समाकल के गुणों से (- एक्स)= - एफ( एक्स), अर्थात। समारोह ( एक्स) अजीब है।

इससे निम्नलिखित (व्युत्पन्न) सूत्र प्राप्त होते हैं:

मान लें: ए) डी = एस

तीन सिग्मा नियम (3s):यह लगभग निश्चित है कि एक परीक्षण में, सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का अपनी गणितीय अपेक्षा से विचलन मानक विचलन के तीन गुना से अधिक नहीं होता है।

काम: यह माना जाता है कि तालाब में पकड़े गए मिरर कार्प का द्रव्यमान एक यादृच्छिक चर है एक्स, जिसका गणितीय अपेक्षा के साथ सामान्य वितरण है ए\u003d 375 ग्राम और मानक विचलन s \u003d 25 ग्राम। यह निर्धारित करना आवश्यक है:

ए) संभावना है कि बेतरतीब ढंग से पकड़े गए कार्प का द्रव्यमान कम से कम ए = 300 ग्राम होगा और बी = 425 ग्राम से अधिक नहीं होगा।

बी) प्रायिकता कि निरपेक्ष मान में निर्दिष्ट द्रव्यमान का औसत मान (गणितीय अपेक्षा) से विचलन d = 40 g से कम होगा।

सी) थ्री सिग्मा के नियम का उपयोग करते हुए, मिरर कार्प्स के अनुमानित द्रव्यमान की न्यूनतम और अधिकतम सीमाएं पाएं।

फेसला:

लेकिन)

निष्कर्ष: तालाब में तैरने वाले लगभग 98% कार्प का वजन कम से कम 300 ग्राम और 425 ग्राम से अधिक नहीं होता है।

बी)

निष्कर्ष: लगभग 89% का द्रव्यमान होता है ए-डी= 375- 40 = 335 से ए+ डी \u003d 375 + 40 \u003d 415 ग्राम।

सी) तीन सिग्मा के नियम के अनुसार:

निष्कर्ष: लगभग सभी कार्पों का द्रव्यमान (लगभग 100%) 300 से 450 ग्राम की सीमा में होता है।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1. निशानेबाज 0.8 की संभावना के साथ लक्ष्य को हिट करता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि तीन शॉट से लक्ष्य ठीक दो बार मारा जाएगा? कम से कम दो बार?

2. परिवार में चार बच्चे हैं। लड़के और लड़की के जन्म को समान रूप से संभावित घटनाओं के रूप में लेते हुए, इस संभावना का अनुमान लगाएं कि परिवार में दो लड़कियां हैं। तीन लड़कियां और एक लड़का। एक यादृच्छिक चर के लिए एक वितरण कानून लिखें एक्सपरिवार में लड़कियों की संभावित संख्या के अनुरूप। विशेषताओं की गणना करें: एम(एक्स), एस।

3. एक पासे को तीन बार उछाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक "6" एक बार आएगा? एक से अधिक बार नहीं?

4. यादृच्छिक मूल्य एक्सअंतराल पर समान रूप से वितरित। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक यादृच्छिक चर X अंतराल के भीतर आता है?

5. यह माना जाता है कि एक निश्चित क्षेत्र में रहने वाले लोगों की वृद्धि (निश्चितता के लिए - वयस्क, पुरुष) गणितीय अपेक्षा के साथ सामान्य वितरण कानून का पालन करती है ए\u003d 170 सेमी और मानक विचलन s \u003d 5 सेमी। क्या संभावना है कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित व्यक्ति की ऊंचाई:

ए) 180 सेमी से अधिक और 165 सेमी से कम नहीं होगा?

बी) निरपेक्ष मूल्य में औसत से 10 सेमी से अधिक नहीं भटकता है?

सी) "थ्री सिग्मा" नियम के अनुसार, किसी व्यक्ति की न्यूनतम और अधिकतम संभव ऊंचाई का अनुमान लगाएं।

परीक्षण प्रश्न

1. बर्नौली सूत्र कैसे लिखा जाता है? इसे कब लागू किया जाता है?

2. द्विपद बंटन नियम क्या है?

3. किस यादृच्छिक चर को समान रूप से वितरित कहा जाता है?

4. अंतराल पर समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर के लिए अभिन्न और अंतर वितरण कार्यों का क्या रूप है [ ए, बी]?

5. किस यादृच्छिक चर का सामान्य वितरण नियम है?

6. बेल कर्व कैसा दिखता है?

7. किसी दिए गए अंतराल में सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता कैसे ज्ञात करें?

8. थ्री सिग्मा नियम कैसे तैयार किया जाता है?

यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत का परिचय

यादृच्छिक कार्यएक फ़ंक्शन को कॉल करें जिसका स्वतंत्र चर के प्रत्येक मान के लिए मान एक यादृच्छिक चर है।

यादृच्छिक (या स्टोकेस्टिक) प्रक्रियाएक यादृच्छिक फलन कहलाता है जिसके लिए स्वतंत्र चर समय होता है टी.

दूसरे शब्दों में, एक यादृच्छिक प्रक्रिया एक यादृच्छिक चर है जो समय के साथ बदलती है। यादृच्छिक प्रक्रिया एक्स(टी) पर एक निश्चित वक्र है, यह निश्चित वक्रों का एक समुच्चय या परिवार है एक्स मैं (टी) (मैं= 1, 2, …, एन) व्यक्तिगत प्रयोगों के परिणामस्वरूप प्राप्त किया। इस समुच्चय के प्रत्येक वक्र को कहते हैं कार्यान्वयन (या प्रक्षेपवक्र)यादृच्छिक प्रक्रिया।

एक यादृच्छिक प्रक्रिया का क्रॉस सेक्शनएक यादृच्छिक चर कहा जाता है एक्स(टी 0) कुछ निश्चित समय पर यादृच्छिक प्रक्रिया के मूल्य के अनुरूप टी = टी0।