वैज्ञानिक आश्वस्त हैं कि प्रकृति एक आदर्श रचना है, जो मानव शरीर की संरचना में सुनहरे खंड के अनुपात और फूलगोभी के सिर में भग्न आकृतियों की खोज करते हैं।

"प्रकृति के अध्ययन और अवलोकन ने विज्ञान को जन्म दिया," सिसरो ने पहली शताब्दी ईसा पूर्व में लिखा था। बाद के समय में, विज्ञान के विकास और प्रकृति के अध्ययन से इसकी दूरी के साथ, वैज्ञानिकों को यह जानकर आश्चर्य हुआ कि हमारे पूर्वजों को क्या पता था, लेकिन वैज्ञानिक तरीकों से इसकी पुष्टि नहीं की गई थी।

सूक्ष्म और स्थूल जगत में समान संरचनाओं को खोजना दिलचस्प है; यह प्रेरणादायक भी हो सकता है कि विज्ञान इन संरचनाओं की ज्यामिति का वर्णन कर सकता है। परिसंचरण तंत्र, एक नदी, बिजली, पेड़ की शाखाएँ... ये सभी समान प्रणालियाँ हैं, जिनमें विभिन्न कण और अलग-अलग पैमाने शामिल हैं।

"स्वर्णिम अनुपात" का अनुपात

यहां तक ​​कि प्राचीन यूनानी और संभवतः मिस्रवासी भी "स्वर्ण खंड" के अनुपात को जानते थे। पुनर्जागरण गणितज्ञ लुका पैसिओली ने इस अनुपात को "दिव्य अनुपात" कहा। बाद में, वैज्ञानिकों ने पता लगाया कि सुनहरा अनुपात, जो मानव आंखों को बहुत भाता है और जो अक्सर शास्त्रीय वास्तुकला, कला और यहां तक ​​कि कविता में पाया जाता है, प्रकृति में हर जगह पाया जा सकता है।

सुनहरा अनुपात एक खंड का दो असमान भागों में विभाजन है, जिसमें छोटा हिस्सा लंबे हिस्से से संबंधित होता है और लंबा हिस्सा पूरे खंड से संबंधित होता है। पूरे खंड के लंबे भाग का अनुपात एक अनंत संख्या है, एक अपरिमेय अंश 0.618... है, छोटे भाग का अनुपात 0.382 है...

यदि आप भुजाओं वाला एक आयत बनाते हैं जिसका अनुपात "स्वर्ण अनुपात" के अनुपात के बराबर है, और उसमें एक और "सुनहरा आयत" अंकित करते हैं, उस एक में एक और, और इसी तरह अंदर और बाहर अनंत काल तक, तो एक सर्पिल बन सकता है आयतों के कोने बिंदुओं के अनुदिश खींचे जाएं। यह दिलचस्प है कि ऐसा सर्पिल नॉटिलस शेल के कट के साथ-साथ प्रकृति में पाए जाने वाले अन्य सर्पिलों के साथ मेल खाएगा।

चित्रण: Homk/wikipedia.org

नॉटिलस जीवाश्म.
फ़ोटो: Studio-Annika/Photos.com

नॉटिलस शैल।
फोटो: क्रिस 73/en.wikipedia.org

सुनहरे अनुपात का अनुपात मानव आँख द्वारा सुंदर और सामंजस्यपूर्ण माना जाता है। और अनुपात 0.618... फाइबोनैचि श्रृंखला में पिछली संख्या से अगली संख्या के अनुपात के बराबर है। फाइबोनैचि संख्याएं प्रकृति में हर जगह दिखाई देती हैं: यह वह सर्पिल है जिसके साथ पौधे की शाखाएं तने से जुड़ी होती हैं, वह सर्पिल जिसके साथ पाइन शंकु पर तराजू बढ़ते हैं या सूरजमुखी पर दाने होते हैं। दिलचस्प बात यह है कि वामावर्त और दक्षिणावर्त घूमने वाली पंक्तियों की संख्या फाइबोनैचि श्रृंखला में आसन्न संख्याएँ हैं।

ब्रोकोली गोभी का सिर और एक मेढ़े का सींग एक सर्पिल में घूमता है... और मानव शरीर में ही, निश्चित रूप से, स्वस्थ और सामान्य अनुपात में, सुनहरे अनुपात अनुपात पाए जाते हैं।

विट्रुवियन पुरुष। लियोनार्डो दा विंची द्वारा चित्रण।

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... फाइबोनैचि श्रृंखला की संख्याएँ हैं, जिनमें प्रत्येक अगला पद पिछले दो के योग से प्राप्त होता है। उपग्रहों द्वारा खींची गई दूर की सर्पिल आकाशगंगाएँ भी फाइबोनैचि सर्पिल में घूमती हैं।

सर्पिल आकाशगंगा.
फोटो: नासा

तीन उष्णकटिबंधीय चक्रवात.
फोटो: नासा

डीएनए अणु एक दोहरे हेलिक्स में मुड़ा हुआ है।

विकृत मानव डीएनए.
चित्रण: Zephyris/en.wikipedia.org

तूफान एक सर्पिल में घूमता है, मकड़ी एक सर्पिल में अपना जाल बुनती है।

एक क्रॉस मकड़ी का जाल.
फोटो: विंसेंट डी ग्रूट/वीडियोग्रो.नेट

"सुनहरा अनुपात" तितली की शारीरिक संरचना में, उसके शरीर के वक्ष और पेट के हिस्सों के साथ-साथ ड्रैगनफ्लाई में भी देखा जा सकता है। और अधिकांश अंडे फिट होते हैं, यदि सुनहरे अनुपात के आयत में नहीं, तो उसके व्युत्पन्न में।

चित्रण: एडोल्फ मिलोट

भग्न

अन्य दिलचस्प आकृतियाँ जिन्हें हम प्रकृति में हर जगह देख सकते हैं वे हैं भग्न। फ्रैक्टल भागों से बनी आकृतियाँ हैं, जिनमें से प्रत्येक पूरी आकृति के समान है - क्या यह आपको सुनहरे अनुपात के सिद्धांत की याद नहीं दिलाता है?

पेड़, बिजली, ब्रांकाई और मानव संचार प्रणाली का एक भग्न आकार होता है; फर्न और ब्रोकोली को भग्न का आदर्श प्राकृतिक चित्रण भी कहा जाता है। "सब कुछ इतना जटिल है, सब कुछ इतना सरल है" प्रकृति कैसे काम करती है, लोग इसे नोटिस करते हैं, इसे सम्मान के साथ सुनते हैं।

सिसरो ने लिखा, "प्रकृति ने मनुष्य को सत्य की खोज करने की इच्छा प्रदान की है, जिनके शब्दों के साथ मैं प्रकृति में ज्यामिति पर लेख के पहले भाग को समाप्त करना चाहूंगा।"

ब्रोकोली फ्रैक्टल का एक आदर्श प्राकृतिक चित्रण है।
फोटो: pdfphoto.org

फ़र्न की पत्तियों का आकार भग्न आकृति जैसा होता है - वे स्व-समान होते हैं।
फोटो: Stockbyte/Photos.com

हरे फ्रैक्टल: फ़र्न की पत्तियाँ।
फोटो: जॉन फॉक्स/Photos.com

पीले पत्ते पर नसें, भग्न के आकार की।
फोटो: डिएगो बारुको/Photos.com

पत्थर पर दरारें: मैक्रो में भग्न।
फोटो: बॉब बील/Photos.com

खरगोश के कानों पर परिसंचरण तंत्र की शाखाएँ।
फोटो: Lusoimages/Photos.com

बिजली का गिरना - भग्न शाखा।
फोटो: जॉन आर. साउदर्न/flickr.com

मानव शरीर में धमनियों की शाखा.

घुमावदार नदी और उसकी शाखाएँ.
फोटो: ज्यूपिटरइमेजेज/फोटोज.कॉम

कांच पर जमी बर्फ का पैटर्न स्व-समान होता है।
फ़ोटो: Schnobby/en.wikipedia.org

शाखाओं वाली शिराओं वाली एक आइवी पत्ती - आकार में भग्न।
फोटो: वोज्शिएच प्लोंका/फोटो.कॉम

नॉलेज बेस में अपना अच्छा काम भेजना आसान है। नीचे दिए गए फॉर्म का उपयोग करें

छात्र, स्नातक छात्र, युवा वैज्ञानिक जो अपने अध्ययन और कार्य में ज्ञान आधार का उपयोग करते हैं, आपके बहुत आभारी होंगे।

प्रकाशित किया गया http://www.allbest.ru/

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय

विषय: भग्न- विशेषवस्तुओंजीवितऔरअजीवितशांति

खाबरोवस्क TOGU 2015

• विषयसूची
• भग्न ज्यामितीय भग्न ग्राफिक्स
• फ्रैक्टल्स का इतिहास
• भग्नों का वर्गीकरण
• ज्यामितीय भग्न
• बीजगणितीय भग्न
• भग्न का अनुप्रयोग
• फ्रैक्टल्स और हमारे आसपास की दुनिया
• फ्रैक्टल ग्राफिक्स
• भग्न का अनुप्रयोग
• प्राकृतिक विज्ञान
• रेडियो इंजीनियरिंग
• कंप्यूटर विज्ञान
• अर्थशास्त्र और वित्त

फ्रैक्टल्स का इतिहास

अक्सर हमारा सामना विशेष वस्तुओं से होता है, लेकिन कम ही लोग जानते हैं कि ये भग्न हैं। फ्रैक्टल अराजक दुनिया की अप्रत्याशित गतिविधियों से उत्पन्न अद्वितीय वस्तुएं हैं। वे छोटी वस्तुओं, जैसे कोशिका झिल्ली, और बड़ी वस्तुओं, जैसे सौर मंडल और आकाशगंगा, दोनों में पाए जाते हैं। रोजमर्रा की जिंदगी में, हम वॉलपेपर में, कपड़े पर, कंप्यूटर पर डेस्कटॉप स्क्रीनसेवर पर और प्रकृति में फ्रैक्टल देख सकते हैं - ये पौधे, समुद्री जानवर और प्राकृतिक घटनाएं हैं।

वैज्ञानिक प्राचीन काल से ही फ्रैक्टल से आकर्षित रहे हैं, और प्रोग्रामर और कंप्यूटर ग्राफिक्स विशेषज्ञ भी इन वस्तुओं को पसंद करते हैं। फ्रैक्टल्स की खोज दुनिया की मानवीय धारणा में एक क्रांति थी और कला और विज्ञान के एक नए सौंदर्यशास्त्र की खोज थी।

तो फ्रैक्टल क्या हैं? भग्न- एक ज्यामितीय आकृति जिसमें स्व-समानता का गुण होता है, अर्थात, कई भागों से बनी होती है, जिनमें से प्रत्येक पूरी आकृति के समान होती है।

फ्रैक्टल शब्द 1975 में प्रस्तावित किया गया था। बेनोइट मैंडेलब्रॉट को अनियमित, स्व-समान संरचनाओं को नामित करने के लिए कहा, जिनसे उनका संबंध था। फ्रैक्टल ज्योमेट्री का जन्म 1977 में उनकी पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" के प्रकाशन से हुआ। उनका काम वैज्ञानिकों पोंकारे, फतौ, जूलिया, कैंटर और हॉसडॉर्फ के कार्यों पर आधारित था, जिन्होंने 1875 में काम किया था? 1925 उसी क्षेत्र में। लेकिन यह केवल हमारे समय में ही हुआ कि वे अपने काम को एक प्रणाली में संयोजित करने में सक्षम हुए।

"फ्रैक्टल" की अवधारणा लैटिन "फ्रैक्टस" से ली गई है? टुकड़ों से मिलकर बना है। परिभाषाओं में से एक है: "फ्रैक्टल एक संरचना है जिसमें ऐसे हिस्से होते हैं, जो कुछ अर्थों में, संपूर्ण के समान होते हैं।"

बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने अपने कार्यों में कुछ प्राकृतिक घटनाओं को समझाने के लिए फ्रैक्टल्स के उपयोग के ज्वलंत उदाहरण दिए। उन्होंने एक दिलचस्प संपत्ति पर बहुत ध्यान दिया जो कई फ्रैक्टल्स में होती है। तथ्य यह है कि अक्सर एक फ्रैक्टल को मनमाने ढंग से छोटे भागों में विभाजित किया जा सकता है ताकि प्रत्येक भाग संपूर्ण की एक छोटी प्रति बन जाए। दूसरे शब्दों में, यदि हम एक फ्रैक्टल को माइक्रोस्कोप के माध्यम से देखते हैं, तो हम बिना माइक्रोस्कोप के उसी तस्वीर को देखकर आश्चर्यचकित हो जाएंगे। स्व-समानता का यह गुण फ्रैक्टल को शास्त्रीय ज्यामिति की वस्तुओं से अलग करता है।

आधुनिक वैज्ञानिकों के लिए, फ्रैक्टल का अध्ययन? सिर्फ ज्ञान का एक नया क्षेत्र नहीं. यह एक नई प्रकार की ज्यामिति की खोज है जो हमारे चारों ओर की दुनिया का वर्णन करती है और जिसे न केवल पाठ्यपुस्तकों में, बल्कि प्रकृति और असीमित ब्रह्मांड में भी देखा जा सकता है। अब, मैंडेलब्रॉट और अन्य वैज्ञानिकों ने फ्रैक्टल ज्यामिति के क्षेत्र का विस्तार किया है ताकि इसे दुनिया में लगभग हर चीज पर लागू किया जा सके, शेयर बाजार की कीमतों की भविष्यवाणी से लेकर सैद्धांतिक भौतिकी में नई खोज करने तक।

भग्नों का वर्गीकरण

फ्रैक्टल के विभिन्न वर्गीकरण हैं।

फ्रैक्टल्स का मुख्य वर्गीकरण ज्यामितीय और बीजीय में विभाजन है।

ज्यामितीय भग्न में सटीक आत्म-समानता होती है, और बीजगणितीय भग्न में लगभग आत्म-समानता होती है।

प्राकृतिक और मानव निर्मित फ्रैक्टल में भी विभाजन है।

मानव निर्मित फ्रैक्टल्स में वे शामिल हैं जिनका आविष्कार वैज्ञानिकों द्वारा किया गया था; उनमें किसी भी पैमाने पर फ्रैक्टल गुण होते हैं। प्राकृतिक भग्न अस्तित्व के क्षेत्र पर एक सीमा के अधीन हैं - अर्थात, अधिकतम और न्यूनतम आकार जिस पर कोई वस्तु भग्न गुण प्रदर्शित करती है।

सबसे सरल फ्रैक्टल ज्यामितीय फ्रैक्टल हैं।

ज्यामितीय भग्न

ज्यामितीय भग्न को शास्त्रीय, नियतात्मक या रैखिक भी कहा जाता है। वे सबसे अधिक दृश्यात्मक हैं, क्योंकि उनमें तथाकथित कठोर आत्म-समानता है, जो पैमाने बदलने पर नहीं बदलती है। इसका मतलब यह है कि आप फ्रैक्टल पर कितना भी करीब से ज़ूम करें, आपको अभी भी वही पैटर्न दिखाई देगा।

द्वि-आयामी मामले में, ऐसे फ्रैक्टल को जनरेटर नामक कुछ टूटी हुई रेखा को निर्दिष्ट करके प्राप्त किया जा सकता है। एल्गोरिदम के एक चरण में, किसी दिए गए पॉलीलाइन (आरंभकर्ता) के प्रत्येक खंड को उचित पैमाने पर जनरेटर पॉलीलाइन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रक्रिया की अंतहीन पुनरावृत्ति के परिणामस्वरूप, एक फ्रैक्टल वक्र प्राप्त होता है। इस वक्र की स्पष्ट जटिलता के बावजूद, इसका आकार केवल जनरेटर के आकार से निर्धारित होता है।

सबसे प्रसिद्ध ज्यामितीय भग्न: कोच वक्र, मिन्कोव्स्की वक्र, लेवी वक्र, ड्रैगन वक्र, सिएरपिंस्की नैपकिन और कालीन, ड्यूरर पेंटागन।

कुछ ज्यामितीय भग्नों का निर्माण

1). कोच वक्र.

इसका आविष्कार 1904 में हेल्गे वॉन कोच नामक जर्मन गणितज्ञ ने किया था। इसे बनाने के लिए, एक एकल खंड लिया जाता है, जिसे तीन समान भागों में विभाजित किया जाता है, और मध्य लिंक को इस लिंक के बिना एक समबाहु त्रिभुज से बदल दिया जाता है। अगले चरण में, हम चार परिणामी खंडों में से प्रत्येक के लिए ऑपरेशन दोहराते हैं। इस प्रक्रिया की अंतहीन पुनरावृत्ति के परिणामस्वरूप, एक फ्रैक्टल वक्र प्राप्त होता है।

2). सीरपिंस्की का रुमाल.

1915 में, पोलिश गणितज्ञ वेक्लाव सिएरपिंस्की एक दिलचस्प वस्तु लेकर आए। इसे बनाने के लिए एक ठोस समबाहु त्रिभुज लें। पहले चरण में, केंद्र से एक उलटा समबाहु त्रिभुज हटा दिया जाता है। दूसरा चरण शेष तीन त्रिभुजों में से तीन उल्टे त्रिभुजों को हटा देता है, इत्यादि। सिद्धांत के अनुसार, इस प्रक्रिया का कोई अंत नहीं होगा, और त्रिकोण में कोई रहने की जगह नहीं बचेगी, लेकिन यह अलग भी नहीं होगा - परिणाम एक ऐसी वस्तु होगी जिसमें केवल छेद होंगे।

3). हार्टर-हैथवे का ड्रैगन।

हार्टर ड्रैगन, जिसे हार्टर-हैथवे ड्रैगन के नाम से भी जाना जाता है, का अध्ययन सबसे पहले नासा के भौतिकविदों द्वारा किया गया था? जॉन हैथवे, विलियम हार्टर और ब्रूस बैंक्स। इसका वर्णन 1967 में मार्टिन गार्डनर द्वारा साइंटिफिक अमेरिकन के "गणितीय खेल" कॉलम में किया गया था।

अगले चरण में, प्रत्येक रेखा खंड को दो खंडों से बदल दिया जाता है जो एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की पार्श्व भुजाएँ बनाते हैं, जिसके लिए मूल खंड कर्ण होगा। परिणामस्वरूप, खंड समकोण पर मुड़ता प्रतीत होता है। विक्षेपण की दिशा बदलती रहती है। पहला खंड दाहिनी ओर झुकता है (जैसा कि यह बाएं से दाएं जाता है), दूसरा - बाईं ओर, तीसरा - फिर से दाईं ओर, आदि।

ज्यामितीय भग्न के उदाहरण

वक्रकोचनैपकिनसिएरपिन्स्की

अजगरहार्टर-हैथवे

भग्नों का दूसरा बड़ा समूह बीजगणितीय है। इन्हें यह नाम इसलिए मिला क्योंकि इनका निर्माण बीजगणितीय सूत्रों के आधार पर किया गया है।

बीजगणितीय भग्न

कंप्यूटर की सहायता के बिना जटिल (बीजगणितीय) फ्रैक्टल नहीं बनाए जा सकते। रंगीन परिणाम प्राप्त करने के लिए, इस कंप्यूटर में एक शक्तिशाली गणितीय सहप्रोसेसर और एक उच्च-रिज़ॉल्यूशन मॉनिटर होना चाहिए। इन्हें यह नाम इसलिए मिला क्योंकि इनका निर्माण बीजगणितीय सूत्रों के आधार पर किया गया है। इस सूत्र के गणितीय प्रसंस्करण के परिणामस्वरूप, स्क्रीन पर एक निश्चित रंग का एक बिंदु प्रदर्शित होता है। परिणाम एक अजीब आकृति है जिसमें सीधी रेखाएं वक्र में बदल जाती हैं, और स्व-समानता प्रभाव विभिन्न पैमाने के स्तरों पर दिखाई देते हैं, हालांकि विरूपण के बिना नहीं। कंप्यूटर स्क्रीन पर लगभग हर बिंदु एक अलग फ्रैक्टल की तरह होता है।

सबसे प्रसिद्ध बीजगणितीय फ्रैक्टल: मैंडेलब्रॉट और जूलिया सेट, न्यूटन पूल।

बीजगणितीय भग्नों में लगभग आत्म-समानता होती है। वास्तव में, यदि आप किसी जटिल फ्रैक्टल के एक छोटे से क्षेत्र को बड़ा करते हैं, और फिर उस क्षेत्र के एक छोटे से हिस्से पर भी ऐसा ही करते हैं, तो दोनों आवर्धन एक दूसरे से काफी भिन्न होंगे। दोनों छवियां विस्तार में बहुत समान होंगी, लेकिन वे पूरी तरह से समान नहीं होंगी।

बीजगणितीय भग्न

मैंडेलब्रॉट ने सन्निकटन निर्धारित किया

फ्रैक्टल्स का विज्ञान में अधिक से अधिक अनुप्रयोग हो रहा है। मुख्य कारण यह है कि वे पारंपरिक भौतिकी और गणित की तुलना में वास्तविक दुनिया का बेहतर वर्णन करते हैं।

भग्न का अनुप्रयोग

1). अराजकता सिद्धांत: फ्रैक्टल्स हमेशा अराजकता शब्द से जुड़े होते हैं। कैओस सिद्धांत को जटिल अरेखीय गतिशील प्रणालियों के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया गया है। अराजकता पूर्वानुमेयता का अभाव है। यह गतिशील प्रणालियों में तब होता है, जब दो बहुत करीबी प्रारंभिक मूल्यों के लिए, सिस्टम पूरी तरह से अलग व्यवहार करता है। अराजक गतिशील प्रणाली का एक उदाहरण मौसम है। ऐसी प्रणालियों के उदाहरण अशांत प्रवाह, जैविक आबादी, समाज और इसकी उपप्रणालियाँ हैं: आर्थिक, राजनीतिक और अन्य सामाजिक प्रणालियाँ। इस सिद्धांत की केंद्रीय अवधारणाओं में से एक प्रणाली की स्थिति की सटीक भविष्यवाणी करने की असंभवता है। कैओस सिद्धांत किसी प्रणाली की अव्यवस्था (सिस्टम की वंशानुगत अप्रत्याशितता) पर ध्यान केंद्रित नहीं करता है, बल्कि इसे विरासत में मिलने वाले क्रम (समान प्रणालियों का सामान्य व्यवहार) पर केंद्रित करता है। इस प्रकार, अराजकता का विज्ञान व्यवस्था के विभिन्न रूपों के बारे में विचारों की एक प्रणाली है, जहां यादृच्छिकता आयोजन सिद्धांत बन जाती है।

2). अर्थशास्त्र: प्रतिभूति बाजार का विश्लेषण।

3). खगोल भौतिकी: ब्रह्मांड में आकाशगंगा क्लस्टरिंग प्रक्रियाओं का विवरण।

4). भूविज्ञान: खनिज खुरदरेपन का अध्ययन;

5). मानचित्रकला: समुद्र तट के आकार का अध्ययन; नदी चैनलों के व्यापक नेटवर्क का अध्ययन।

6). तरल पदार्थ और गैसों की यांत्रिकी, सतहों की भौतिकी:

- जटिल प्रवाह की गतिशीलता और अशांति।

- आग की लपटों का मॉडलिंग;

7). जीव विज्ञान और चिकित्सा:

- जानवरों की आबादी और पक्षियों के प्रवास का मॉडलिंग;

- महामारी का मॉडलिंग;

- संचार प्रणाली की संरचना का विश्लेषण;

- कोशिका झिल्ली की जटिल सतहों पर विचार;

- शरीर के अंदर की प्रक्रियाओं का वर्णन, उदाहरण के लिए, दिल की धड़कन।

8). फ्रैक्टल एंटेना: एंटीना उपकरणों के डिजाइन में फ्रैक्टल ज्यामिति का उपयोग पहली बार अमेरिकी इंजीनियर नाथन कोहेन द्वारा किया गया था, जो उस समय बोस्टन शहर में रहते थे, जहां इमारतों पर बाहरी एंटेना की स्थापना निषिद्ध थी। उन्होंने एल्यूमीनियम फ़ॉइल से एक कोच वक्र आकार काटा और इसे कागज के एक टुकड़े पर चिपका दिया, फिर इसे रिसीवर से जोड़ दिया। यह पता चला कि ऐसा एंटीना सामान्य एंटीना से भी बदतर काम नहीं करता है। और यद्यपि ऐसे एंटीना के संचालन के भौतिक सिद्धांतों का अभी तक अध्ययन नहीं किया गया है, लेकिन इसने कोहेन को अपनी कंपनी स्थापित करने और उनके बड़े पैमाने पर उत्पादन शुरू करने से नहीं रोका।

9). छवि संपीड़न: फ्रैक्टल छवि संपीड़न एल्गोरिदम के फायदे बहुत छोटे पैक फ़ाइल आकार और कम छवि पुनर्प्राप्ति समय हैं। फ्रैक्टल संपीड़न का एक अन्य लाभ यह है कि जब छवि को बड़ा किया जाता है, तो कोई पिक्सेलेशन प्रभाव नहीं होता है (बिंदुओं के आकार को ऐसे आकार में बढ़ाना जो छवि को विकृत करता है)। फ्रैक्टल संपीड़न के साथ, इज़ाफ़ा के बाद, चित्र अक्सर पहले से भी बेहतर दिखता है।

10). कंप्यूटर ग्राफिक्स: कंप्यूटर ग्राफिक्स आज गहन विकास के दौर से गुजर रहा है। वह मॉनिटर स्क्रीन पर अनगिनत प्रकार की भग्न आकृतियों और परिदृश्यों को फिर से बनाने में सक्षम थी, जिससे दर्शक एक अद्भुत आभासी स्थान में डूब जाता था। आजकल, अपेक्षाकृत सरल एल्गोरिदम की मदद से, शानदार परिदृश्यों और आकृतियों की त्रि-आयामी छवियां बनाना संभव हो गया है जिन्हें समय के साथ और भी रोमांचक चित्रों में बदला जा सकता है। पहाड़ों, फूलों और पेड़ों से मिलते-जुलते फ्रैक्टल की प्रवृत्ति का कुछ ग्राफिक संपादकों द्वारा शोषण किया जाता है (उदाहरण के लिए, 3डी स्टूडियो मैक्स से फ्रैक्टल क्लाउड, वर्ल्ड बिल्डर में फ्रैक्टल पर्वत)। फ्रैक्टल मॉडल आज कंप्यूटर गेम में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं, जिससे उनमें एक ऐसा वातावरण बन जाता है जिसे वास्तविकता से अलग करना मुश्किल होता है।

बीसवीं शताब्दी का अंत न केवल आश्चर्यजनक रूप से सुंदर और असीम रूप से विविध संरचनाओं की खोज से चिह्नित था, जिन्हें फ्रैक्टल कहा जाता है, बल्कि प्रकृति की फ्रैक्टल प्रकृति के बारे में जागरूकता से भी चिह्नित किया गया था। हमारे आस-पास की दुनिया बहुत विविध है, और इसकी वस्तुएं यूक्लिडियन रेखाओं और सतहों के कठोर ढांचे में फिट नहीं बैठती हैं।

फ्रैक्टल्स और हमारे आसपास की दुनिया

« सुंदरता हमेशा सापेक्ष होती है... हमें यह नहीं मान लेना चाहिए कि समुद्र के किनारे वास्तव में आकारहीन हैं क्योंकि उनका आकार हमारे द्वारा बनाए गए घाटों के नियमित आकार से भिन्न है; पर्वतों का आकार इस आधार पर अनियमित नहीं माना जा सकता कि वे नियमित शंकु या पिरामिड नहीं हैं; सिर्फ इसलिए कि तारों के बीच की दूरियाँ असमान हैं, इसका मतलब यह नहीं है कि वे किसी अयोग्य हाथ से आकाश में बिखरे हुए थे। ये गलतियाँ केवल हमारी कल्पना में मौजूद हैं , वास्तव में, वे ऐसे नहीं हैं और किसी भी तरह से पृथ्वी पर जीवन की वास्तविक अभिव्यक्तियों में हस्तक्षेप नहीं करते हैं, न ही पौधों और जानवरों के साम्राज्य में, न ही लोगों के बीच। ये शब्द 17वीं सदी के अंग्रेज वैज्ञानिक के हैं. रिचर्ड बेंटले संकेत देते हैं कि तटों, पहाड़ों और आकाशीय पिंडों के रूपों को संयोजित करने और उन्हें यूक्लिडियन निर्माणों के साथ तुलना करने का विचार बहुत लंबे समय से लोगों के मन में उठता रहा।

गैलीलियो गैलीली ने कहा कि "प्रकृति की महान पुस्तक ज्यामिति की भाषा में लिखी गई है।" अब हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि यह फ्रैक्टल ज्योमेट्री की भाषा में लिखा गया है।

हम प्रकृति में जो कुछ भी देखते हैं वह अक्सर हमें उसी पैटर्न की अंतहीन पुनरावृत्ति से आकर्षित करता है, जिसे इच्छानुसार कई बार बढ़ाया या घटाया जाता है। समुद्र तट की विचित्र आकृतियाँ और नदियों के जटिल मोड़, पर्वत श्रृंखलाओं की टूटी हुई सतहें और बादलों की रूपरेखा, पेड़ों की फैली हुई शाखाएँ और मूंगा चट्टानें, मोमबत्ती की डरपोक झिलमिलाहट और पहाड़ी नदियों की झागदार धाराएँ - ये सभी भग्न हैं। उनमें से कुछ, जैसे बादल या तूफानी धाराएँ, लगातार अपना आकार बदलते रहते हैं, अन्य, जैसे पेड़ या पर्वत श्रृंखलाएँ, अपनी संरचना अपरिवर्तित बनाए रखते हैं। सभी प्रकार की भग्न संरचनाओं में समानता उनकी आत्म-समानता है - मुख्य संपत्ति जो भग्न में मूल कानून की पूर्ति सुनिश्चित करती है - ब्रह्मांड की विविधता में एकता का कानून।

मानव प्रणालियाँ और अंग भी भग्न संरचनाएँ हैं। उदाहरण के लिए, रक्त वाहिकाएं कई बार शाखा करती हैं, यानी। भग्न प्रकृति है. हृदय की विद्युत गतिविधि एक भग्न प्रक्रिया है। हृदय रोग विशेषज्ञों ने पता लगाया है कि दिल की धड़कन की वर्णक्रमीय विशेषताएं भूकंप और आर्थिक घटनाओं की तरह ही भग्न नियमों का पालन करती हैं। पाचन तंत्र के ऊतकों में, एक लहरदार सतह दूसरे में अंतर्निहित होती है। फेफड़े भी एक बड़े क्षेत्र को एक छोटी सी जगह में निचोड़ने का एक उदाहरण प्रस्तुत करते हैं। वास्तव में, मानव शरीर की संपूर्ण संरचना भग्न प्रकृति की है; इसे वैज्ञानिकों ने पहले ही मान लिया है। एक एकल सरल का सिद्धांत, एक विविध परिसर को परिभाषित करना, मानव जीनोम में अंतर्निहित है, जब एक जीवित जीव की एक कोशिका में संपूर्ण जीव के बारे में जानकारी होती है।

प्रकृति में भग्न संरचनाएँ

यहाँ कुछ नमूना तस्वीरें हैं:

जैसा कि जीवविज्ञानी जॉन हाल्डेन ने कहा, "दुनिया न केवल जितना हम सोचते हैं उससे अधिक अजीब है, बल्कि हम जितना सोच सकते हैं उससे भी अधिक अजीब है।" फ्रैक्टल मैंडेलब्रॉट के आविष्कार नहीं हैं। वे वस्तुनिष्ठ रूप से मौजूद हैं। प्राकृतिक रूपों और प्रक्रियाओं में, विज्ञान और कला में, जो इस दुनिया को प्रतिबिंबित और समझते हैं। यह "फ्रैक्टल ज्योमेट्री के विचारों की बदौलत दुनिया के बारे में हमारा दृष्टिकोण बदलने के लिए" था कि बेनोइट मैंडेलब्रॉट को 1993 में भौतिकी में मानद वुल्फ पुरस्कार से सम्मानित किया गया था।

वर्तमान में, फ्रैक्टल पेंटिंग बहुत लोकप्रिय हैं। वे बिल्कुल शानदार प्रभाव डालते हैं। कई पतली रेखाएँ एक संपूर्ण बनाती हैं, या असामान्य तत्व एक ही चित्र में गुंथे हुए होते हैं। तेज़ रोशनी की चमक और मध्यम चिकनी रेखाएँ। भग्न सजीव प्रतीत होता है। यह जलता है, यह चमकता है, यह आकर्षित करता है, और आप सबसे छोटे और सबसे महत्वहीन विवरण का अध्ययन करते हुए भी इससे अपनी आँखें नहीं हटा सकते हैं।

फ्रैक्टल ग्राफिक्स

इंटीरियर में फ्रैक्टल पेंटिंग

भग्न का अनुप्रयोग

प्राकृतिक विज्ञान

भौतिकी में, अरेखीय प्रक्रियाओं, जैसे कि अशांत द्रव प्रवाह, जटिल प्रसार-सोखना प्रक्रियाएं, लपटें, बादल और इसी तरह की मॉडलिंग करते समय फ्रैक्टल स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। फ्रैक्टल्स का उपयोग झरझरा सामग्री के मॉडलिंग में किया जाता है, उदाहरण के लिए, पेट्रोकेमिकल्स में। जीव विज्ञान में, उनका उपयोग आबादी को मॉडल करने और आंतरिक अंग प्रणालियों (रक्त वाहिका प्रणाली) का वर्णन करने के लिए किया जाता है। कोच वक्र के निर्माण के बाद, समुद्र तट की लंबाई की गणना करते समय इसका उपयोग करने का प्रस्ताव किया गया था।

रेडियो इंजीनियरिंग

एंटीना उपकरणों के डिजाइन में फ्रैक्टल ज्यामिति का उपयोग पहली बार अमेरिकी इंजीनियर नाथन कोहेन द्वारा किया गया था, जो उस समय बोस्टन शहर में रहते थे, जहां इमारतों पर बाहरी एंटेना की स्थापना निषिद्ध थी। नाथन ने एल्यूमीनियम फ़ॉइल से एक कोच वक्र आकार काटा और इसे कागज के एक टुकड़े पर चिपका दिया, फिर इसे रिसीवर से जोड़ दिया। कोहेन ने अपनी खुद की कंपनी की स्थापना की और उनका बड़े पैमाने पर उत्पादन शुरू किया।

कंप्यूटर विज्ञान

छवि संपीड़न

भग्न वृक्ष

फ्रैक्टल्स का उपयोग करके छवि संपीड़न एल्गोरिदम हैं। वे इस विचार पर आधारित हैं कि छवि के बजाय, कोई एक संपीड़न मानचित्र संग्रहीत कर सकता है जिसके लिए यह छवि (या कोई करीबी) एक निश्चित बिंदु है। इस एल्गोरिदम के एक संस्करण का उपयोग माइक्रोसॉफ्ट द्वारा अपने विश्वकोश को प्रकाशित करते समय किया गया था, लेकिन इन एल्गोरिदम का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया था।

कंप्यूटर चित्रलेख

प्राकृतिक वस्तुओं, जैसे कि पेड़, झाड़ियाँ, पहाड़ी परिदृश्य, समुद्री सतह आदि की छवियां बनाने के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल्स का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। फ्रैक्टल छवियाँ उत्पन्न करने के लिए कई कार्यक्रम उपलब्ध हैं।

विकेन्द्रीकृतनेटवर्क

नेटसुकुकु नेटवर्क में आईपी एड्रेस असाइनमेंट सिस्टम (यह नेटवर्क एक वितरित स्व-संगठित पीयर-टू-पीयर नेटवर्क बनाने के लिए एक परियोजना है जो केंद्रीय प्रोसेसर और मेमोरी पर न्यूनतम लोड के साथ बड़ी संख्या में नोड्स की बातचीत सुनिश्चित करने में सक्षम है) का उपयोग करता है नेटवर्क नोड्स के बारे में जानकारी को कॉम्पैक्ट रूप से संग्रहीत करने के लिए फ्रैक्टल सूचना संपीड़न का सिद्धांत। नेत्सुकुकु नेटवर्क में प्रत्येक नोड पड़ोसी नोड्स की स्थिति के बारे में केवल 4 KB जानकारी संग्रहीत करता है, जबकि कोई भी नया नोड आईपी पते के वितरण के केंद्रीय विनियमन की आवश्यकता के बिना सामान्य नेटवर्क से जुड़ता है, जो, उदाहरण के लिए, के लिए विशिष्ट है। इंटरनेट। इस प्रकार, फ्रैक्टल सूचना संपीड़न का सिद्धांत पूरी तरह से विकेंद्रीकृत की गारंटी देता है, और इसलिए, पूरे नेटवर्क का सबसे स्थिर संचालन।

अर्थशास्त्र और वित्त

ए. ए. अल्माज़ोव ने अपनी पुस्तक "फ्रैक्टल थ्योरी" में। बाज़ारों के बारे में अपना दृष्टिकोण कैसे बदलें” ने स्टॉक उद्धरणों का विश्लेषण करते समय, विशेष रूप से विदेशी मुद्रा बाज़ार में, फ्रैक्टल्स का उपयोग करने का एक तरीका सुझाया।

हर बार जब आप फ्रैक्टल को देखते हैं, तो आप सोचते हैं कि वास्तविक दुनिया और गणित की दुनिया कितनी सुंदर है, और गणित वास्तव में एक ऐसी भाषा है जो ब्रह्मांड में मौजूद लगभग हर चीज का वर्णन कर सकती है।

ग्रन्थसूची

1. मैंडेलब्रॉट बी. प्रकृति की भग्न ज्यामिति। एम.: "इंस्टीट्यूट ऑफ कंप्यूटर रिसर्च", 2002. 656 पी।

2. मोरोज़ोव ए.डी. फ्रैक्टल के सिद्धांत का परिचय. एन. नोवगोरोड: पब्लिशिंग हाउस निज़नी नोवगोरोड। विश्वविद्यालय, 1999, 140 पी.

3. पीटगेन एच.-ओ., रिक्टर पी. एच. फ्रैक्टल्स की सुंदरता। एम.: "मीर", 1993. - 176 पी।

4. तिखोपलाव वी.यू., तिखोपलाव टी.एस. अराजकता का सामंजस्य, या भग्न वास्तविकता। सेंट पीटर्सबर्ग: पब्लिशिंग हाउस "वेस", 2003. 340 पी।

5. फेडर ई. फ्रैक्टल्स। एम: "मीर", 1991. 254 पी।

6. श्रोएडर एम. फ्रैक्टल्स, अराजकता, शक्ति कानून। अनंत स्वर्ग से लघुचित्र। इज़ेव्स्क: "आरकेएचडी", 2001. 528 पी।

फ्रैक्टल के बारे में साइटों की सूची

1. http://www.fractals.nsu.ru.

2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.

3. http://www.multifractal.naroad.ru.

4. http://algolist.manual.ru.

Allbest.ru पर पोस्ट किया गया

समान दस्तावेज़

इंजीनियरिंग सतह की विशेषताओं में से एक के रूप में फ्रैक्टल आयाम पर विचार। प्राकृतिक भग्न का वर्णन. एक गैर-चिकनी (टूटी हुई) रेखा की लंबाई मापना। समानता और स्केलिंग, आत्म-समानता और आत्म-संबंध। परिधि-क्षेत्र संबंध.

परीक्षण, 12/23/2015 जोड़ा गया


भग्न सिद्धांत के उद्भव का इतिहास। फ्रैक्टल एक स्व-समान संरचना है जिसकी छवि पैमाने पर निर्भर नहीं करती है। यह एक पुनरावर्ती मॉडल है, जिसका प्रत्येक भाग अपने विकास में संपूर्ण मॉडल के विकास को दोहराता है। फ्रैक्टल के सिद्धांत का व्यावहारिक अनुप्रयोग।

वैज्ञानिक कार्य, 05/12/2010 को जोड़ा गया


क्लासिक भग्न. स्व-समानता. स्नोफ्लेक कोच. सीरपिंस्की कालीन. एल-सिस्टम। अराजक गतिशीलता. लोरेंत्ज़ आकर्षित करने वाला। मैंडेलब्रॉट और जूलिया सेट। कंप्यूटर प्रौद्योगिकी में फ्रैक्टल का अनुप्रयोग.

पाठ्यक्रम कार्य, 05/26/2006 को जोड़ा गया


कुछ चतुर्भुजों की विशेषताएँ. गतिशील ज्यामिति वातावरण में ज्यामितीय स्थितियों के मॉडल का कार्यान्वयन। गतिशील वातावरण "लिविंग ज्योमेट्री" की विशेषताएं, इसमें समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज, आयत और वर्ग मॉडल के निर्माण की विशेषताएं।

पाठ्यक्रम कार्य, 05/28/2013 को जोड़ा गया


दुनिया की ज्यामितीय तस्वीर और फ्रैक्टल के सिद्धांत के उद्भव के लिए पूर्वापेक्षाएँ। एक नियतात्मक एल-प्रणाली के तत्व: वर्णमाला, आरंभीकरण शब्द और उत्पन्न करने वाले नियमों का एक सेट। सामाजिक प्रक्रियाओं के भग्न गुण: तालमेल और अराजक गतिशीलता।

पाठ्यक्रम कार्य, 03/22/2014 जोड़ा गया


जीवित प्रकृति में ज्यामितीय कानूनों की अभिव्यक्तियों का अध्ययन और शैक्षिक व्यावहारिक गतिविधियों में उनका उपयोग। ज्यामितीय नियमों का वर्णन और ज्यामितीय निर्माणों का सार। ग्राफिक शिक्षा और आधुनिक दुनिया में इसका स्थान।

थीसिस, 06/24/2010 को जोड़ा गया


एक मॉडल की अवधारणा की परिभाषा, विज्ञान और रोजमर्रा की जिंदगी में उनके आवेदन की आवश्यकता। सामग्री की विशेषताएँ और आदर्श मॉडलिंग विधियाँ। गणितीय मॉडल का वर्गीकरण (नियतात्मक, स्टोकेस्टिक), उनके निर्माण की प्रक्रिया के चरण।

सार, 08/20/2015 को जोड़ा गया


भागों की व्यवस्था में समरूपता, आनुपातिकता, आनुपातिकता और एकरूपता की अवधारणाओं का अध्ययन। ज्यामितीय आकृतियों के सममित गुणों की विशेषताएँ। तार्किक समस्याओं को हल करने में वास्तुकला, प्रकृति और प्रौद्योगिकी में समरूपता की भूमिका का विवरण।

प्रस्तुतिकरण, 12/06/2011 को जोड़ा गया


विज्ञान के गणितीकरण का इतिहास. गणितीकरण की बुनियादी विधियाँ। गणितीकरण की सीमाएँ और समस्याएँ। विभिन्न विज्ञानों में गणितीय तरीकों को लागू करने की समस्याएं स्वयं गणित (मॉडल का गणितीय अध्ययन), मॉडलिंग के क्षेत्र से जुड़ी हैं।

सार, 05/24/2005 जोड़ा गया


स्वर्णिम अनुपात के अध्ययन की अवधारणा और इतिहास। गणित, प्रकृति, वास्तुकला और चित्रकला में इसके प्रतिबिंब की विशेषताएं। निर्माण का क्रम और सिद्धांत, संरचना और सुनहरे खंड के व्यावहारिक अनुप्रयोग के क्षेत्र, गणितीय औचित्य और अर्थ।

हाल ही में मैंने गणितीय दुनिया की फ्रैक्टल जैसी दिलचस्प वस्तुओं के बारे में सीखा। लेकिन वे केवल गणित में ही मौजूद नहीं हैं। वे हमें हर जगह घेर लेते हैं। फ्रैक्टल प्राकृतिक हैं. मैं इस लेख में बात करूंगा कि फ्रैक्टल क्या हैं, फ्रैक्टल के प्रकार के बारे में, इन वस्तुओं के उदाहरणों और उनके अनुप्रयोगों के बारे में। आरंभ करने के लिए, मैं आपको संक्षेप में बताऊंगा कि फ्रैक्टल क्या है।

फ्रैक्टल (लैटिन फ्रैक्टस - कुचला हुआ, टूटा हुआ, टूटा हुआ) एक जटिल ज्यामितीय आकृति है जिसमें आत्म-समानता का गुण होता है, अर्थात यह कई भागों से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक संपूर्ण आकृति के समान होता है। व्यापक अर्थ में, फ्रैक्टल्स को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में बिंदुओं के सेट के रूप में समझा जाता है जिसमें एक आंशिक मीट्रिक आयाम (मिन्कोव्स्की या हॉसडॉर्फ के अर्थ में), या टोपोलॉजिकल एक से अलग एक मीट्रिक आयाम होता है। उदाहरण के तौर पर, मैं चार अलग-अलग भग्नों को दर्शाने वाला एक चित्र डालूँगा।

मैं आपको फ्रैक्टल के इतिहास के बारे में थोड़ा बताऊंगा। फ्रैक्टल और फ्रैक्टल ज्यामिति की अवधारणाएं, जो 70 के दशक के अंत में सामने आईं, 80 के दशक के मध्य से गणितज्ञों और प्रोग्रामरों के बीच मजबूती से स्थापित हो गई हैं। शब्द "फ्रैक्टल" बेनोइट मैंडेलब्रॉट द्वारा 1975 में अनियमित लेकिन स्व-समान संरचनाओं को संदर्भित करने के लिए गढ़ा गया था, जिनसे उनका संबंध था। फ्रैक्टल ज्योमेट्री का जन्म आमतौर पर 1977 में मैंडलब्रोट की पुस्तक द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर के प्रकाशन से जुड़ा है। उनके कार्यों में अन्य वैज्ञानिकों के वैज्ञानिक परिणामों का उपयोग किया गया, जिन्होंने 1875-1925 की अवधि में उसी क्षेत्र में काम किया था (पोंकारे, फतौ, जूलिया, कैंटर, हॉसडॉर्फ)। लेकिन केवल हमारे समय में ही उनके काम को एक प्रणाली में जोड़ना संभव हो पाया है।

फ्रैक्टल के बहुत सारे उदाहरण हैं, क्योंकि, जैसा कि मैंने कहा, वे हमें हर जगह घेर लेते हैं। मेरी राय में, हमारा संपूर्ण ब्रह्मांड भी एक विशाल भग्न है। आख़िरकार, इसमें सब कुछ, परमाणु की संरचना से लेकर ब्रह्मांड की संरचना तक, बिल्कुल एक दूसरे को दोहराता है। लेकिन निस्संदेह, विभिन्न क्षेत्रों से फ्रैक्टल के अधिक विशिष्ट उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, फ्रैक्टल जटिल गतिशीलता में मौजूद होते हैं। वो वहां थे अरेखीय अध्ययन करते समय स्वाभाविक रूप से प्रकट होते हैं गतिशील प्रणालियाँ. सबसे अधिक अध्ययन किया जाने वाला मामला वह है जब गतिशील प्रणाली को बहुपद या होलोमोर्फिक के पुनरावृत्तियों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है चरों के एक परिसर का कार्यसतह पर. इस प्रकार के कुछ सबसे प्रसिद्ध फ्रैक्टल जूलिया सेट, मैंडेलब्रॉट सेट और न्यूटन पूल हैं। नीचे, क्रम से, चित्र उपरोक्त प्रत्येक भग्न को दर्शाते हैं।

फ्रैक्टल का एक अन्य उदाहरण फ्रैक्टल वक्र है। फ्रैक्टल वक्रों के उदाहरण का उपयोग करके फ्रैक्टल का निर्माण कैसे किया जाए, यह समझाना सबसे अच्छा है। इनमें से एक वक्र तथाकथित कोच स्नोफ्लेक है। वहाँ एक सरल हैसमतल पर फ्रैक्टल वक्र प्राप्त करने की प्रक्रिया। आइए हम सीमित संख्या में लिंक वाली एक मनमानी टूटी हुई रेखा को परिभाषित करें, जिसे जनरेटर कहा जाता है। इसके बाद, हम इसमें प्रत्येक खंड को एक जनरेटर (अधिक सटीक रूप से, जनरेटर के समान एक टूटी हुई रेखा) से बदल देते हैं। परिणामी टूटी हुई लाइन में, हम फिर से प्रत्येक खंड को जनरेटर से बदल देते हैं। अनंत तक चलते रहने पर सीमा में हमें एक भग्न वक्र प्राप्त होता है। नीचे कोच स्नोफ्लेक (या कर्व) है।

फ्रैक्टल वक्रों की भी एक विशाल विविधता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध पहले से ही उल्लिखित कोच स्नोफ्लेक, साथ ही लेवी वक्र, मिन्कोव्स्की वक्र, ड्रैगन की टूटी हुई रेखा, पियानो वक्र और पायथागॉरियन पेड़ हैं। मुझे लगता है कि यदि आप चाहें तो आप विकिपीडिया पर इन भग्नों की छवि और उनका इतिहास आसानी से पा सकते हैं।

फ्रैक्टल का तीसरा उदाहरण या प्रकार स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल हैं। ऐसे भग्नों में ब्राउनियन गति का प्रक्षेप पथ शामिल है विमान पर और अंतरिक्ष में, श्राम-लॉनर विकास, विभिन्न प्रकार के यादृच्छिक फ्रैक्टल, यानी, एक पुनरावर्ती प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त फ्रैक्टल जिसमें प्रत्येक चरण में एक यादृच्छिक पैरामीटर पेश किया जाता है।

विशुद्ध गणितीय भग्न भी हैं। ये हैं, उदाहरण के लिए, कैंटर सेट, मेन्जर स्पंज, सीरपिंस्की ट्रायंगल और अन्य।

लेकिन शायद सबसे दिलचस्प फ्रैक्टल प्राकृतिक हैं। प्राकृतिक फ्रैक्टल प्रकृति की वस्तुएं हैं जिनमें फ्रैक्टल गुण होते हैं। और यहाँ सूची पहले से ही बड़ी है। मैं सब कुछ सूचीबद्ध नहीं करूंगा, क्योंकि उन सभी को सूचीबद्ध करना शायद असंभव है, लेकिन मैं आपको कुछ के बारे में बताऊंगा। उदाहरण के लिए, जीवित प्रकृति में, ऐसे भग्नों में हमारा संचार तंत्र और फेफड़े शामिल हैं। और पेड़ों के मुकुट और पत्ते भी। इसमें तारामछली, समुद्री अर्चिन, मूंगा, समुद्री सीपियां और पत्तागोभी या ब्रोकोली जैसे कुछ पौधे भी शामिल हैं। जीवित प्रकृति से ऐसे कई प्राकृतिक भग्न स्पष्ट रूप से नीचे दिखाए गए हैं।

यदि हम निर्जीव प्रकृति पर विचार करें तो जीवित प्रकृति की तुलना में वहां बहुत अधिक दिलचस्प उदाहरण हैं। बिजली, बर्फ के टुकड़े, बादल, जो सभी को अच्छी तरह से ज्ञात हैं, ठंढे दिनों में खिड़कियों पर पैटर्न, क्रिस्टल, पर्वत श्रृंखलाएं - ये सभी निर्जीव प्रकृति से प्राकृतिक भग्न के उदाहरण हैं।

हमने फ्रैक्टल के उदाहरण और प्रकार देखे। जहाँ तक फ्रैक्टल्स के उपयोग की बात है, इनका उपयोग ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है। भौतिकी में, फ्रैक्टल स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होते हैं जब गैर-रेखीय प्रक्रियाओं, जैसे कि अशांत द्रव प्रवाह, जटिल प्रसार-सोखने की प्रक्रिया, लपटें, बादल आदि को मॉडलिंग करते हैं। फ्रैक्टल का उपयोग छिद्रपूर्ण सामग्री को मॉडलिंग करते समय किया जाता है, उदाहरण के लिए, पेट्रोकेमिस्ट्री में। जीव विज्ञान में, उनका उपयोग आबादी को मॉडल करने और आंतरिक अंग प्रणालियों (रक्त वाहिका प्रणाली) का वर्णन करने के लिए किया जाता है। कोच वक्र के निर्माण के बाद, समुद्र तट की लंबाई की गणना में इसका उपयोग करने का प्रस्ताव किया गया था। फ्रैक्टल्स का उपयोग रेडियो इंजीनियरिंग, सूचना विज्ञान और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी, दूरसंचार और यहां तक ​​कि अर्थशास्त्र में भी सक्रिय रूप से किया जाता है। और, निःसंदेह, आधुनिक कला और वास्तुकला में फ्रैक्टल दृष्टि का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। यहां फ्रैक्टल पैटर्न का एक उदाहरण दिया गया है:

और इसलिए, इसके साथ मैं फ्रैक्टल जैसी असामान्य गणितीय घटना के बारे में अपनी कहानी पूरी करने के बारे में सोचता हूं। आज हमने जाना कि फ्रैक्टल क्या है, यह कैसे दिखाई देता है, फ्रैक्टल के प्रकार और उदाहरणों के बारे में। मैंने उनके अनुप्रयोग के बारे में भी बात की और कुछ भग्नों का दृश्य रूप से प्रदर्शन किया। मुझे आशा है कि आपने अद्भुत और आकर्षक भग्न वस्तुओं की दुनिया में इस छोटे से भ्रमण का आनंद लिया।

यह समझने के लिए कि फ्रैक्टल क्या है, हमें गणित के दृष्टिकोण से डीब्रीफिंग शुरू करनी चाहिए, लेकिन सटीक विज्ञान में जाने से पहले, हम थोड़ा दर्शन करेंगे। प्रत्येक व्यक्ति में एक स्वाभाविक जिज्ञासा होती है, जिसकी बदौलत वह अपने आस-पास की दुनिया के बारे में सीखता है। अक्सर, ज्ञान की खोज में, वह अपने निर्णयों में तर्क का उपयोग करने का प्रयास करता है। इस प्रकार, अपने आस-पास होने वाली प्रक्रियाओं का विश्लेषण करके, वह संबंधों की गणना करने और कुछ पैटर्न प्राप्त करने का प्रयास करता है। ग्रह पर सबसे महान दिमाग इन समस्याओं को सुलझाने में व्यस्त हैं। मोटे तौर पर कहें तो, हमारे वैज्ञानिक ऐसे पैटर्न की तलाश कर रहे हैं जहां कोई नहीं है, और कोई होना भी नहीं चाहिए। और फिर भी, अराजकता में भी कुछ घटनाओं के बीच एक संबंध होता है। यह संबंध ही फ्रैक्टल है। उदाहरण के तौर पर, सड़क पर पड़ी एक टूटी हुई शाखा पर विचार करें। यदि हम इसे ध्यान से देखें तो पाएंगे कि अपनी सभी शाखाओं और टहनियों के साथ यह स्वयं एक पेड़ जैसा दिखता है। एक पूरे के साथ एक अलग हिस्से की यह समानता पुनरावर्ती आत्म-समानता के तथाकथित सिद्धांत को इंगित करती है। फ्रैक्टल प्रकृति में हर जगह पाए जा सकते हैं, क्योंकि कई अकार्बनिक और कार्बनिक रूप एक ही तरह से बनते हैं। ये बादल, समुद्री सीपियाँ, घोंघे की शैलें, पेड़ों के मुकुट और यहाँ तक कि परिसंचरण तंत्र भी हैं। यह सूची अनिश्चित काल तक जारी रखी जा सकती है। इन सभी यादृच्छिक आकृतियों को फ्रैक्टल एल्गोरिदम द्वारा आसानी से वर्णित किया गया है। अब हम इस बात पर विचार करने आए हैं कि सटीक विज्ञान के दृष्टिकोण से फ्रैक्टल क्या है।

कुछ सूखे तथ्य

शब्द "फ्रैक्टल" का लैटिन से अनुवाद "आंशिक", "विभाजित", "खंडित" के रूप में किया गया है, और जहां तक ​​इस शब्द की सामग्री का सवाल है, ऐसा कोई सूत्रीकरण नहीं है। इसे आमतौर पर एक स्व-समान सेट, संपूर्ण का एक हिस्सा, के रूप में व्याख्या किया जाता है, जो सूक्ष्म स्तर पर अपनी संरचना को दोहराता है। यह शब्द बीसवीं सदी के सत्तर के दशक में बेनोइट मैंडेलब्रोट द्वारा गढ़ा गया था, जिन्हें फ्रैक्टल ज्यामिति के जनक के रूप में जाना जाता है। आज, फ्रैक्टल की अवधारणा का अर्थ एक निश्चित संरचना की एक ग्राफिक छवि है, जो बड़े होने पर, स्वयं के समान होगी। हालाँकि, इस सिद्धांत के निर्माण का गणितीय आधार स्वयं मैंडलब्रॉट के जन्म से पहले ही रखा गया था, लेकिन इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर आने तक इसका विकास नहीं हो सका।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि, या यह सब कैसे शुरू हुआ

19वीं और 20वीं शताब्दी के मोड़ पर, फ्रैक्टल्स की प्रकृति का अध्ययन छिटपुट था। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि गणितज्ञ उन वस्तुओं का अध्ययन करना पसंद करते थे जिन पर सामान्य सिद्धांतों और विधियों के आधार पर शोध किया जा सकता था। 1872 में, जर्मन गणितज्ञ के. वीयरस्ट्रैस ने एक सतत फलन का एक उदाहरण बनाया जो कहीं भी भिन्न नहीं है। हालाँकि, यह निर्माण पूरी तरह से अमूर्त और समझने में कठिन निकला। इसके बाद स्वीडन के हेल्गे वॉन कोच आए, जिन्होंने 1904 में एक सतत वक्र का निर्माण किया, जिसमें कहीं भी कोई स्पर्श रेखा नहीं थी। इसे बनाना काफी आसान है और इसमें भग्न गुण होते हैं। इस वक्र के एक प्रकार का नाम इसके लेखक - "कोच स्नोफ्लेक" के नाम पर रखा गया था। इसके अलावा, आकृतियों की आत्म-समानता का विचार बी. मंडेलब्रॉट के भावी गुरु, फ्रांसीसी पॉल लेवी द्वारा विकसित किया गया था। 1938 में, उन्होंने "समतल और स्थानिक वक्र और समग्र के समान भागों से बनी सतहें" लेख प्रकाशित किया। इसमें उन्होंने एक नए प्रकार - लेवी सी-वक्र का वर्णन किया। उपरोक्त सभी आकृतियों को पारंपरिक रूप से ज्यामितीय भग्न के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

गतिशील या बीजगणितीय भग्न

मैंडेलब्रॉट सेट इसी वर्ग का है। इस दिशा में पहले शोधकर्ता फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फतौ और गैस्टन जूलिया थे। 1918 में, जूलिया ने तर्कसंगत जटिल कार्यों के पुनरावृत्तियों के अध्ययन पर आधारित एक पेपर प्रकाशित किया। यहां उन्होंने फ्रैक्टल्स के एक परिवार का वर्णन किया है जो मैंडेलब्रॉट सेट से निकटता से संबंधित है। इस तथ्य के बावजूद कि इस कार्य ने गणितज्ञों के बीच लेखक को गौरवान्वित किया, इसे जल्दी ही भुला दिया गया। और केवल आधी सदी बाद, कंप्यूटर की बदौलत जूलिया के काम को दूसरा जीवन मिला। कंप्यूटर ने फ्रैक्टल की दुनिया की सुंदरता और समृद्धि को हर व्यक्ति के लिए दृश्यमान बनाना संभव बना दिया, जिसे गणितज्ञ फ़ंक्शंस के माध्यम से प्रदर्शित करके "देख" सकते थे। मैंडलब्रॉट गणना करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे (इतनी मात्रा मैन्युअल रूप से नहीं की जा सकती) जिससे इन आंकड़ों की छवि बनाना संभव हो गया।

स्थानिक कल्पना वाला व्यक्ति

मैंडेलब्रॉट ने अपने वैज्ञानिक करियर की शुरुआत आईबीएम रिसर्च सेंटर से की। लंबी दूरी पर डेटा संचारित करने की संभावनाओं का अध्ययन करते समय, वैज्ञानिकों को शोर हस्तक्षेप के कारण होने वाले बड़े नुकसान के तथ्य का सामना करना पड़ा। बेनोइट इस समस्या को हल करने के तरीकों की तलाश में थे। माप परिणामों को देखते हुए, उन्होंने एक अजीब पैटर्न देखा, अर्थात्: शोर ग्राफ अलग-अलग समय के पैमाने पर समान दिखते थे। एक समान तस्वीर एक दिन और सात दिन या एक घंटे तक देखी गई। बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने स्वयं अक्सर दोहराया कि वह सूत्रों के साथ काम नहीं करते, बल्कि चित्रों के साथ खेलते हैं। यह वैज्ञानिक कल्पनाशील सोच से प्रतिष्ठित था; उसने किसी भी बीजगणितीय समस्या का ज्यामितीय क्षेत्र में अनुवाद किया, जहां सही उत्तर स्पष्ट है। इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि समृद्ध स्थानिक सोच से प्रतिष्ठित ऐसा व्यक्ति फ्रैक्टल ज्यामिति का जनक बन गया। आख़िरकार, इस आकृति के बारे में जागरूकता तभी आ सकती है जब आप चित्रों का अध्ययन करेंगे और पैटर्न बनाने वाले इन अजीब भंवरों के अर्थ के बारे में सोचेंगे। फ्रैक्टल पैटर्न में समान तत्व नहीं होते हैं, लेकिन वे किसी भी पैमाने पर समान होते हैं।

जूलिया-मंडेलब्रोट

इस आकृति के पहले चित्रों में से एक सेट की ग्राफिक व्याख्या थी, जो गैस्टन जूलिया के काम से पैदा हुई थी और इसे मैंडेलब्रॉट द्वारा आगे विकसित किया गया था। गैस्टन ने कल्पना करने की कोशिश की कि फीडबैक लूप के माध्यम से पुनरावृत्त किए गए एक सरल सूत्र के आधार पर एक सेट कैसा दिखेगा। आइए यह समझाने की कोशिश करें कि मानव भाषा में, यानी उंगलियों पर, क्या कहा गया है। किसी विशिष्ट संख्यात्मक मान के लिए, हम एक सूत्र का उपयोग करके एक नया मान पाते हैं। हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और निम्नलिखित पाते हैं। परिणाम एक बड़ी संख्या अनुक्रम है. ऐसे सेट का प्रतिनिधित्व करने के लिए, इस ऑपरेशन को बड़ी संख्या में करना आवश्यक है: सैकड़ों, हजारों, लाखों। बेनोइट ने यही किया। उन्होंने अनुक्रम को संसाधित किया और परिणामों को ग्राफिकल रूप में स्थानांतरित कर दिया। इसके बाद, उन्होंने परिणामी आकृति को रंग दिया (प्रत्येक रंग एक निश्चित संख्या में पुनरावृत्तियों से मेल खाता है)। इस ग्राफिक छवि को "मैंडेलब्रॉट फ्रैक्टल" नाम दिया गया था।

एल. बढ़ई: प्रकृति द्वारा निर्मित कला

फ्रैक्टल के सिद्धांत को शीघ्र ही व्यावहारिक अनुप्रयोग मिल गया। चूँकि यह स्वयं-समान छवियों के दृश्य से बहुत निकटता से संबंधित है, कलाकार इन असामान्य रूपों के निर्माण के लिए सिद्धांतों और एल्गोरिदम को अपनाने वाले पहले व्यक्ति थे। उनमें से पहले पिक्सर के भावी संस्थापक, लॉरेन कारपेंटर थे। विमान प्रोटोटाइप की प्रस्तुति पर काम करते समय, उन्हें पृष्ठभूमि के रूप में पहाड़ों की एक छवि का उपयोग करने का विचार आया। आज, लगभग हर कंप्यूटर उपयोगकर्ता इस तरह के कार्य का सामना कर सकता है, लेकिन पिछली शताब्दी के सत्तर के दशक में, कंप्यूटर ऐसी प्रक्रियाएं करने में सक्षम नहीं थे, क्योंकि उस समय त्रि-आयामी ग्राफिक्स के लिए कोई ग्राफिक संपादक या एप्लिकेशन नहीं थे। और फिर लोरेन को मैंडेलब्रॉट की पुस्तक "फ्रैक्टल्स: फॉर्म, रैंडमनेस एंड डायमेंशन" मिली। इसमें, बेनोइट ने कई उदाहरण दिए, यह दिखाते हुए कि फ्रैक्टल प्रकृति में मौजूद हैं (fyva), उन्होंने उनके विभिन्न आकारों का वर्णन किया और साबित किया कि उन्हें गणितीय अभिव्यक्तियों द्वारा आसानी से वर्णित किया जा सकता है। गणितज्ञ ने इस सादृश्य को उस सिद्धांत की उपयोगिता के तर्क के रूप में उद्धृत किया जिसे वह अपने सहयोगियों की आलोचना के जवाब में विकसित कर रहे थे। उन्होंने तर्क दिया कि फ्रैक्टल सिर्फ एक सुंदर तस्वीर है, इसका कोई मूल्य नहीं है, और यह इलेक्ट्रॉनिक मशीनों के काम का उप-उत्पाद है। कारपेंटर ने इस पद्धति को व्यवहार में आज़माने का निर्णय लिया। पुस्तक का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने के बाद, भविष्य के एनिमेटर ने कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल ज्यामिति को लागू करने का तरीका ढूंढना शुरू कर दिया। अपने कंप्यूटर पर पहाड़ी परिदृश्य की पूरी तरह यथार्थवादी छवि प्रस्तुत करने में उन्हें केवल तीन दिन लगे। और आज इस सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जैसा कि यह पता चला है, फ्रैक्टल बनाने में अधिक समय और प्रयास नहीं लगता है।

बढ़ई का समाधान

लॉरेन ने जिस सिद्धांत का प्रयोग किया वह सरल था। इसमें बड़ी ज्यामितीय आकृतियों को छोटे तत्वों में विभाजित करना, और उन्हें समान छोटे तत्वों में विभाजित करना, इत्यादि शामिल है। बढ़ई ने, बड़े त्रिकोणों का उपयोग करते हुए, उन्हें 4 छोटे त्रिकोणों में विभाजित किया, और इसी तरह, जब तक कि उसे एक यथार्थवादी पहाड़ी परिदृश्य नहीं मिल गया। इस प्रकार, वह आवश्यक छवि बनाने के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करने वाले पहले कलाकार बन गए। आज इस सिद्धांत का उपयोग विभिन्न यथार्थवादी प्राकृतिक रूपों की नकल करने के लिए किया जाता है।

फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करके पहला 3डी विज़ुअलाइज़ेशन

कुछ साल बाद, लॉरेन ने अपने काम को एक बड़े पैमाने के प्रोजेक्ट - एनिमेटेड वीडियो वॉल लिब्रे में लागू किया, जो 1980 में सिग्राफ पर दिखाया गया था। इस वीडियो ने कई लोगों को चौंका दिया और इसके निर्माता को लुकासफिल्म में काम करने के लिए आमंत्रित किया गया। यहां एनिमेटर अपनी पूरी क्षमता का एहसास करने में सक्षम था; उन्होंने फीचर फिल्म "स्टार ट्रेक" के लिए त्रि-आयामी परिदृश्य (एक संपूर्ण ग्रह) बनाया। कोई भी आधुनिक प्रोग्राम ("फ्रैक्टल्स") या 3डी ग्राफिक्स (टेराजेन, व्यू, ब्राइस) बनाने के लिए एप्लिकेशन बनावट और सतहों के मॉडलिंग के लिए समान एल्गोरिदम का उपयोग करता है।

टॉम बेडार्ड

पूर्व में एक लेजर भौतिक विज्ञानी और अब एक डिजिटल कलाकार और कलाकार, बेडार्ड ने कई बहुत ही दिलचस्प ज्यामितीय आकृतियाँ बनाईं, जिन्हें उन्होंने फैबर्ज फ्रैक्टल्स कहा। बाह्य रूप से, वे एक रूसी जौहरी के सजावटी अंडों से मिलते जुलते हैं; उनके पास समान शानदार, जटिल पैटर्न है। बेडडार्ड ने मॉडलों के अपने डिजिटल रेंडरिंग बनाने के लिए एक टेम्पलेट विधि का उपयोग किया। परिणामी उत्पाद अपनी सुंदरता से विस्मित करते हैं। हालाँकि कई लोग हस्तनिर्मित उत्पाद की तुलना कंप्यूटर प्रोग्राम से करने से इनकार करते हैं, लेकिन यह स्वीकार करना होगा कि परिणामी रूप बेहद सुंदर हैं। मुख्य बात यह है कि कोई भी WebGL सॉफ़्टवेयर लाइब्रेरी का उपयोग करके इस तरह का फ्रैक्टल बना सकता है। यह आपको वास्तविक समय में विभिन्न भग्न संरचनाओं का पता लगाने की अनुमति देता है।

प्रकृति में भग्न

कम ही लोग ध्यान देते हैं, लेकिन ये अद्भुत आकृतियां हर जगह मौजूद हैं। प्रकृति स्वयं-समान आकृतियों से बनी है, हम इस पर ध्यान नहीं देते हैं। यह हमारी त्वचा या किसी पेड़ के पत्ते को एक आवर्धक कांच के माध्यम से देखने के लिए पर्याप्त है, और हम भग्न देखेंगे। या, उदाहरण के लिए, एक अनानास या यहां तक ​​कि एक मोर की पूंछ लें - उनमें समान आकृतियाँ होती हैं। और रोमनस्कु ब्रोकोली किस्म आम तौर पर अपनी उपस्थिति में हड़ताली होती है, क्योंकि इसे वास्तव में प्रकृति का चमत्कार कहा जा सकता है।

संगीतमय विराम

इससे पता चलता है कि फ्रैक्टल केवल ज्यामितीय आकृतियाँ नहीं हैं, वे ध्वनियाँ भी हो सकते हैं। इस प्रकार, संगीतकार जोनाथन कोल्टन फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करके संगीत लिखते हैं। उनका दावा है कि ऐसा माधुर्य प्राकृतिक सामंजस्य से मेल खाता है। संगीतकार अपने सभी कार्यों को क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-नॉन-कमर्शियल लाइसेंस के तहत प्रकाशित करता है, जो मुफ्त वितरण, प्रतिलिपि और दूसरों को कार्यों के हस्तांतरण की सुविधा प्रदान करता है।

भग्न सूचक

इस तकनीक को बहुत ही अप्रत्याशित अनुप्रयोग मिला है। इसके आधार पर, स्टॉक एक्सचेंज बाजार का विश्लेषण करने के लिए एक उपकरण बनाया गया और परिणामस्वरूप, इसका उपयोग विदेशी मुद्रा बाजार में किया जाने लगा। आजकल, फ्रैक्टल इंडिकेटर सभी ट्रेडिंग प्लेटफॉर्म पर पाया जाता है और इसका उपयोग प्राइस ब्रेकआउट नामक ट्रेडिंग तकनीक में किया जाता है। यह तकनीक बिल विलियम्स द्वारा विकसित की गई थी। जैसा कि लेखक अपने आविष्कार पर टिप्पणी करता है, यह एल्गोरिदम कई "मोमबत्तियों" का संयोजन है, जिसमें केंद्रीय एक अधिकतम या, इसके विपरीत, न्यूनतम चरम बिंदु को दर्शाता है।

अंत में

तो हमने देखा कि फ्रैक्टल क्या है। यह पता चलता है कि हमारे चारों ओर जो अराजकता है, उसमें वास्तव में आदर्श रूप मौजूद हैं। प्रकृति सर्वोत्तम वास्तुकार, आदर्श निर्माता एवं इंजीनियर है। इसे बहुत तार्किक रूप से व्यवस्थित किया गया है, और यदि हमें कोई पैटर्न नहीं मिल पाता है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि इसका अस्तित्व नहीं है। शायद हमें एक अलग पैमाने पर देखने की ज़रूरत है। हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि फ्रैक्टल्स में अभी भी कई रहस्य छिपे हुए हैं जिन्हें हमें अभी भी खोजना है।

विज्ञान की सबसे सरल खोजें मानव जीवन को मौलिक रूप से बदल सकती हैं। आविष्कृत टीका लाखों लोगों को बचा सकता है; इसके विपरीत, हथियारों का निर्माण इन जिंदगियों को छीन लेता है। अभी हाल ही में (मानव विकास के पैमाने पर) हमने बिजली को "वश में करना" सीखा है - और अब हम बिजली का उपयोग करने वाले इन सभी सुविधाजनक उपकरणों के बिना जीवन की कल्पना नहीं कर सकते हैं। लेकिन ऐसी खोजें भी हैं जिन्हें बहुत कम लोग महत्व देते हैं, हालांकि वे हमारे जीवन को भी बहुत प्रभावित करती हैं।

इन "अगोचर" खोजों में से एक फ्रैक्टल है। आपने शायद यह आकर्षक शब्द पहले भी सुना होगा, लेकिन क्या आप जानते हैं कि इसका मतलब क्या है और इस शब्द में कितनी दिलचस्प जानकारी छिपी है?

प्रत्येक व्यक्ति में स्वाभाविक जिज्ञासा, अपने आसपास की दुनिया को समझने की इच्छा होती है। और इस प्रयास में व्यक्ति निर्णयों में तर्क का पालन करने का प्रयास करता है। अपने आस-पास होने वाली प्रक्रियाओं का विश्लेषण करते हुए, वह जो हो रहा है उसका तर्क खोजने और कुछ पैटर्न प्राप्त करने का प्रयास करता है। ग्रह पर सबसे महान दिमाग इस कार्य में व्यस्त हैं। मोटे तौर पर कहें तो, वैज्ञानिक एक ऐसे पैटर्न की तलाश में हैं जहां ऐसा कोई पैटर्न नहीं होना चाहिए। फिर भी, अराजकता में भी घटनाओं के बीच संबंध खोजना संभव है। और यह संबंध भग्न है.

हमारी साढ़े चार साल की छोटी बेटी, अब उस अद्भुत उम्र में है जब "क्यों?" वयस्कों द्वारा दिए जाने वाले उत्तरों की संख्या कई गुना अधिक है। कुछ समय पहले, जमीन से उठी एक शाखा की जांच करते समय, मेरी बेटी ने अचानक देखा कि यह शाखा, अपनी टहनियों और शाखाओं के साथ, एक पेड़ की तरह दिखती थी। और, निःसंदेह, इसके बाद सामान्य प्रश्न "क्यों?" आया, जिसके लिए माता-पिता को एक सरल स्पष्टीकरण की तलाश करनी थी जिसे बच्चा समझ सके।

एक बच्चे द्वारा खोजी गई पूरे पेड़ के साथ एक शाखा की समानता एक बहुत ही सटीक अवलोकन है, जो एक बार फिर प्रकृति में पुनरावर्ती आत्म-समानता के सिद्धांत की गवाही देती है। प्रकृति में अनेक कार्बनिक एवं अकार्बनिक रूप एक ही प्रकार से निर्मित होते हैं। बादल, समुद्री सीपियाँ, घोंघे का "घर", पेड़ों की छाल और मुकुट, संचार प्रणाली, और इसी तरह - इन सभी वस्तुओं के यादृच्छिक आकार को एक फ्रैक्टल एल्गोरिदम द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

⇡ बेनोइट मैंडेलब्रॉट: फ्रैक्टल ज्यामिति के जनक

"फ्रैक्टल" शब्द स्वयं प्रतिभाशाली वैज्ञानिक बेनोइट बी. मैंडेलब्रॉट के कारण प्रकट हुआ।

उन्होंने स्वयं 1970 के दशक में लैटिन से फ्रैक्टस शब्द उधार लेते हुए यह शब्द गढ़ा था, जहां इसका शाब्दिक अर्थ "टूटा हुआ" या "कुचल" होता है। यह क्या है? आज, "फ्रैक्टल" शब्द का अर्थ अक्सर एक संरचना का ग्राफिक प्रतिनिधित्व होता है, जो बड़े पैमाने पर, स्वयं के समान होता है।

फ्रैक्टल के सिद्धांत के उद्भव का गणितीय आधार बेनोइट मैंडेलब्रॉट के जन्म से कई साल पहले रखा गया था, लेकिन यह केवल कंप्यूटिंग उपकरणों के आगमन के साथ ही विकसित हो सका। अपने वैज्ञानिक करियर की शुरुआत में, बेनोइट ने आईबीएम अनुसंधान केंद्र में काम किया। उस समय, केंद्र के कर्मचारी दूर तक डेटा संचारित करने पर काम कर रहे थे। शोध के दौरान वैज्ञानिकों को शोर हस्तक्षेप से होने वाले बड़े नुकसान की समस्या का सामना करना पड़ा। बेनोइट के सामने एक कठिन और बहुत महत्वपूर्ण कार्य था - यह समझना कि सांख्यिकीय पद्धति अप्रभावी होने पर इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में शोर हस्तक्षेप की घटना की भविष्यवाणी कैसे की जाए।

शोर माप के परिणामों को देखते हुए, मैंडेलब्रॉट ने एक अजीब पैटर्न देखा - विभिन्न पैमानों पर शोर ग्राफ़ एक जैसे दिखते थे। चाहे वह एक दिन, एक सप्ताह या एक घंटे का शोर ग्राफ हो, एक समान पैटर्न देखा गया। ग्राफ़ का पैमाना बदलना ज़रूरी था और चित्र हर बार दोहराया जाता था।

अपने जीवनकाल के दौरान, बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने बार-बार कहा कि उन्होंने सूत्रों का अध्ययन नहीं किया, बल्कि केवल चित्रों के साथ खेला। इस व्यक्ति ने बहुत ही आलंकारिक रूप से सोचा, और किसी भी बीजगणितीय समस्या का ज्यामिति के क्षेत्र में अनुवाद किया, जहां, उनके अनुसार, सही उत्तर हमेशा स्पष्ट होता है।

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि इतनी समृद्ध स्थानिक कल्पना वाला व्यक्ति ही फ्रैक्टल ज्यामिति का जनक बना। आख़िरकार, फ्रैक्टल्स के सार के बारे में जागरूकता तभी आती है जब आप चित्रों का अध्ययन करना शुरू करते हैं और अजीब भंवर पैटर्न के अर्थ के बारे में सोचते हैं।

फ्रैक्टल पैटर्न में समान तत्व नहीं होते हैं, लेकिन यह किसी भी पैमाने पर समान होता है। पहले मैन्युअल रूप से उच्च स्तर के विवरण के साथ ऐसी छवि बनाना असंभव था; इसके लिए बड़ी मात्रा में गणना की आवश्यकता होती थी। उदाहरण के लिए, फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे जोसेफ लुईस फतौ ने बेनोइट मैंडेलब्रॉट की खोज से सत्तर साल से भी पहले इस सेट का वर्णन किया था। यदि हम आत्म-समानता के सिद्धांतों के बारे में बात करते हैं, तो उनका उल्लेख लाइबनिज और जॉर्ज कैंटर के कार्यों में किया गया था।

पहले फ्रैक्टल चित्रों में से एक मैंडेलब्रॉट सेट की ग्राफिकल व्याख्या थी, जिसका जन्म गैस्टन मौरिस जूलिया के शोध के कारण हुआ था।

गैस्टन जूलिया (हमेशा मास्क पहने रहना - प्रथम विश्व युद्ध की चोट)

इस फ्रांसीसी गणितज्ञ को आश्चर्य हुआ कि एक सेट कैसा दिखेगा यदि इसे फीडबैक लूप के माध्यम से दोहराए गए सरल सूत्र से बनाया गया हो। यदि हम इसे "अपनी उंगलियों पर" समझाते हैं, तो इसका मतलब है कि एक विशिष्ट संख्या के लिए हम सूत्र का उपयोग करके एक नया मान पाते हैं, जिसके बाद हम इसे फिर से सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और दूसरा मान प्राप्त करते हैं। परिणाम संख्याओं का एक बड़ा अनुक्रम है।

ऐसे सेट की पूरी तस्वीर प्राप्त करने के लिए, आपको बड़ी संख्या में गणनाएँ करने की आवश्यकता है - सैकड़ों, हजारों, लाखों। इसे मैन्युअल रूप से करना बिल्कुल असंभव था। लेकिन जब गणितज्ञों के लिए शक्तिशाली कंप्यूटिंग उपकरण उपलब्ध हो गए, तो वे उन सूत्रों और अभिव्यक्तियों पर नए सिरे से विचार करने में सक्षम हुए जो लंबे समय से रुचिकर रहे थे। क्लासिकल फ्रैक्टल की गणना के लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाले मैंडलब्रॉट पहले व्यक्ति थे। बड़ी संख्या में मानों वाले अनुक्रम को संसाधित करने के बाद, बेनोइट ने परिणामों को एक ग्राफ़ पर प्लॉट किया। उसे यही मिला.

इसके बाद, इस छवि को रंगीन किया गया (उदाहरण के लिए, रंग भरने के तरीकों में से एक पुनरावृत्तियों की संख्या है) और यह मनुष्य द्वारा अब तक बनाई गई सबसे लोकप्रिय छवियों में से एक बन गई।

जैसा कि इफिसस के हेराक्लीटस से संबंधित प्राचीन कहावत कहती है, "आप एक ही नदी में दो बार कदम नहीं रख सकते।" यह भग्नों की ज्यामिति की व्याख्या करने के लिए बिल्कुल उपयुक्त है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम फ्रैक्टल छवि को कितना विस्तार से देखते हैं, हम हमेशा एक समान पैटर्न देखेंगे।

जो लोग यह देखना चाहते हैं कि कई बार ज़ूम करने पर मैंडेलब्रॉट स्पेस की छवि कैसी दिखेगी, वे एनिमेटेड GIF डाउनलोड करके ऐसा कर सकते हैं।

⇡ लॉरेन कारपेंटर: प्रकृति द्वारा निर्मित कला

फ्रैक्टल के सिद्धांत को जल्द ही व्यावहारिक अनुप्रयोग मिल गया। चूंकि यह स्व-समान छवियों के दृश्य से निकटता से संबंधित है, इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि असामान्य रूपों के निर्माण के लिए एल्गोरिदम और सिद्धांतों को अपनाने वाले पहले कलाकार थे।

प्रसिद्ध पिक्सर स्टूडियो के भावी सह-संस्थापक, लॉरेन सी. कारपेंटर ने 1967 में बोइंग कंप्यूटर सर्विसेज में काम करना शुरू किया, जो नए विमान विकसित करने वाले प्रसिद्ध निगम के डिवीजनों में से एक था।

1977 में, उन्होंने प्रोटोटाइप उड़ान मॉडल के साथ प्रस्तुतियाँ बनाईं। लॉरेन की ज़िम्मेदारियों में डिज़ाइन किए जा रहे विमान की छवियां विकसित करना शामिल था। उन्हें भविष्य के विमानों को विभिन्न कोणों से दिखाने वाले नए मॉडलों की तस्वीरें बनानी थीं। किसी समय, पिक्सर एनिमेशन स्टूडियो के भावी संस्थापक पृष्ठभूमि के रूप में पहाड़ों की छवि का उपयोग करने का रचनात्मक विचार लेकर आए। आज, कोई भी स्कूली बच्चा ऐसी समस्या को हल कर सकता है, लेकिन पिछली सदी के सत्तर के दशक के उत्तरार्ध में, कंप्यूटर ऐसी जटिल गणनाओं का सामना नहीं कर सकते थे - कोई ग्राफिक संपादक नहीं थे, 3 डी ग्राफिक्स के लिए अनुप्रयोगों का उल्लेख नहीं किया गया था। 1978 में, लॉरेन ने गलती से एक स्टोर में बेनोइट मैंडेलब्रॉट की किताब फ्रैक्टल्स: फॉर्म, चांस एंड डायमेंशन देखी। इस पुस्तक में जिस बात ने उनका ध्यान खींचा वह यह थी कि बेनोइट ने वास्तविक जीवन में भग्न आकृतियों के बहुत सारे उदाहरण दिए और तर्क दिया कि उन्हें गणितीय अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

यह सादृश्य गणितज्ञ द्वारा संयोग से नहीं चुना गया था। सच तो यह है कि जैसे ही उन्होंने अपना शोध प्रकाशित किया, उन्हें आलोचनाओं का सामना करना पड़ा। मुख्य बात जिसके लिए उनके सहयोगियों ने उन्हें धिक्कारा वह विकसित किए जा रहे सिद्धांत की बेकारता थी। "हाँ," उन्होंने कहा, "ये खूबसूरत तस्वीरें हैं, लेकिन इससे ज्यादा कुछ नहीं। फ्रैक्टल्स के सिद्धांत का कोई व्यावहारिक मूल्य नहीं है। ऐसे लोग भी थे जो आम तौर पर मानते थे कि फ्रैक्टल पैटर्न केवल "शैतानी मशीनों" के काम का उप-उत्पाद थे, जो सत्तर के दशक के अंत में कई लोगों को इतना जटिल और अज्ञात लगता था कि उस पर पूरी तरह भरोसा नहीं किया जा सकता था। मैंडेलब्रॉट ने फ्रैक्टल सिद्धांत के लिए स्पष्ट अनुप्रयोग खोजने की कोशिश की, लेकिन चीजों की भव्य योजना में उन्हें इसकी आवश्यकता नहीं थी। अगले 25 वर्षों में, बेनोइट मैंडलब्रॉट के अनुयायियों ने इस तरह की "गणितीय जिज्ञासा" के भारी लाभों को साबित किया और लॉरेन कारपेंटर व्यवहार में फ्रैक्टल विधि को आजमाने वाले पहले लोगों में से एक थे।

पुस्तक का अध्ययन करने के बाद, भविष्य के एनिमेटर ने फ्रैक्टल ज्यामिति के सिद्धांतों का गंभीरता से अध्ययन किया और इसे कंप्यूटर ग्राफिक्स में लागू करने का तरीका ढूंढना शुरू किया। केवल तीन दिनों के काम में, लॉरेन अपने कंप्यूटर पर पर्वतीय प्रणाली की एक यथार्थवादी छवि प्रस्तुत करने में सक्षम हो गई। दूसरे शब्दों में, उन्होंने पूरी तरह से पहचाने जाने योग्य पहाड़ी परिदृश्य को चित्रित करने के लिए सूत्रों का उपयोग किया।

लॉरेन ने अपने लक्ष्य को हासिल करने के लिए जिस सिद्धांत का इस्तेमाल किया वह बहुत सरल था। इसमें एक बड़ी ज्यामितीय आकृति को छोटे तत्वों में विभाजित करना शामिल था, और बदले में, इन्हें छोटे आकार के समान आकृतियों में विभाजित किया गया था।

बड़े त्रिकोणों का उपयोग करते हुए, कारपेंटर ने उन्हें चार छोटे त्रिकोणों में विभाजित किया और फिर इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराया जब तक कि उसके पास एक यथार्थवादी पहाड़ी परिदृश्य नहीं था। इस प्रकार, वह कंप्यूटर ग्राफिक्स में छवियों के निर्माण के लिए फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करने वाले पहले कलाकार बनने में कामयाब रहे। जैसे ही काम के बारे में पता चला, दुनिया भर के उत्साही लोगों ने इस विचार को अपनाया और यथार्थवादी प्राकृतिक आकृतियों की नकल करने के लिए फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करना शुरू कर दिया।

फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए पहले 3डी विज़ुअलाइज़ेशन में से एक

कुछ ही साल बाद, लॉरेन कारपेंटर अपने विकास को एक बहुत बड़े प्रोजेक्ट में लागू करने में सक्षम हो गए। एनिमेटर ने उनसे वॉल लिब्रे का दो मिनट का डेमो बनाया, जिसे 1980 में सिग्राफ पर दिखाया गया था। इस वीडियो ने इसे देखने वाले सभी लोगों को चौंका दिया और लॉरेन को लुकासफिल्म से निमंत्रण मिला।

एनीमेशन को डिजिटल उपकरण निगम के VAX-11/780 कंप्यूटर पर पांच मेगाहर्ट्ज़ की घड़ी की गति के साथ प्रस्तुत किया गया था, और प्रत्येक फ्रेम को प्रस्तुत करने में लगभग आधे घंटे का समय लगा।

लुकासफिल्म लिमिटेड के लिए काम करते हुए, एनिमेटर ने स्टार ट्रेक गाथा में दूसरी पूर्ण लंबाई वाली फिल्म के लिए उसी योजना का उपयोग करके 3डी परिदृश्य बनाए। द रैथ ऑफ खान में, कारपेंटर फ्रैक्टल सतह मॉडलिंग के समान सिद्धांत का उपयोग करके एक संपूर्ण ग्रह बनाने में सक्षम था।

वर्तमान में, 3डी परिदृश्य बनाने के लिए सभी लोकप्रिय एप्लिकेशन प्राकृतिक वस्तुओं को उत्पन्न करने के लिए समान सिद्धांत का उपयोग करते हैं। टेराजेन, ब्राइस, व्यू और अन्य 3डी संपादक सतहों और बनावट के मॉडलिंग के लिए फ्रैक्टल एल्गोरिदम पर भरोसा करते हैं।

⇡ फ्रैक्टल एंटेना: कम अधिक है

पिछली आधी सदी में, जीवन तेजी से बदलना शुरू हो गया है। हममें से अधिकांश लोग आधुनिक प्रौद्योगिकी की प्रगति को हल्के में लेते हैं। आप बहुत जल्दी हर उस चीज़ के आदी हो जाते हैं जो जीवन को अधिक आरामदायक बनाती है। शायद ही कभी कोई यह सवाल पूछता है कि "यह कहां से आया?" और यह कैसे काम करता है?" एक माइक्रोवेव नाश्ते को गर्म कर देता है - बढ़िया, एक स्मार्टफोन आपको दूसरे व्यक्ति से बात करने का मौका देता है - बढ़िया। यह हमें एक स्पष्ट संभावना लगती है।

लेकिन जीवन पूरी तरह से अलग हो सकता था यदि किसी व्यक्ति ने घटित होने वाली घटनाओं के लिए स्पष्टीकरण नहीं मांगा होता। उदाहरण के लिए, सेल फ़ोन लें। पहले मॉडल पर वापस लेने योग्य एंटेना याद है? उन्होंने हस्तक्षेप किया, उपकरण का आकार बढ़ाया और अंततः अक्सर टूट गया। हमारा मानना ​​है कि वे हमेशा के लिए गुमनामी में डूब गए हैं, और इसका एक कारण है...फ्रैक्टल्स।

फ्रैक्टल पैटर्न अपने पैटर्न से मंत्रमुग्ध कर देते हैं। वे निश्चित रूप से ब्रह्मांडीय वस्तुओं - नीहारिकाओं, आकाशगंगा समूहों, इत्यादि की छवियों से मिलते जुलते हैं। इसलिए यह बिल्कुल स्वाभाविक है कि जब मैंडेलब्रॉट ने फ्रैक्टल के अपने सिद्धांत को व्यक्त किया, तो उनके शोध ने खगोल विज्ञान का अध्ययन करने वालों के बीच रुचि बढ़ा दी। बुडापेस्ट में बेनोइट मैंडेलब्रॉट के एक व्याख्यान में भाग लेने के बाद नाथन कोहेन नाम के इन शौकीनों में से एक, अर्जित ज्ञान के व्यावहारिक अनुप्रयोग के विचार से प्रेरित हुआ। सच है, उन्होंने यह सहजता से किया और संयोग ने उनकी खोज में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। एक रेडियो शौकिया के रूप में, नाथन ने उच्चतम संभव संवेदनशीलता वाला एक एंटीना बनाने की कोशिश की।

ऐन्टेना के मापदंडों में सुधार करने का एकमात्र तरीका, जो उस समय ज्ञात था, इसके ज्यामितीय आयामों को बढ़ाना था। हालाँकि, बोस्टन शहर में जिस संपत्ति को नाथन ने किराए पर लिया था, उसका मालिक स्पष्ट रूप से छत पर बड़े उपकरण स्थापित करने के खिलाफ था। फिर नाथन ने विभिन्न एंटीना आकृतियों के साथ प्रयोग करना शुरू किया, न्यूनतम आकार के साथ अधिकतम परिणाम प्राप्त करने का प्रयास किया। फ्रैक्टल रूपों के विचार से प्रेरित होकर, कोहेन ने, जैसा कि वे कहते हैं, बेतरतीब ढंग से तार से सबसे प्रसिद्ध फ्रैक्टल्स में से एक बनाया - "कोच स्नोफ्लेक"। स्वीडिश गणितज्ञ हेल्गे वॉन कोच 1904 में इस वक्र के साथ आए थे। यह एक खंड को तीन भागों में विभाजित करके और मध्य खंड को एक समबाहु त्रिभुज के साथ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, जिसकी भुजा इस खंड से मेल नहीं खाती है। परिभाषा को समझना थोड़ा कठिन है, लेकिन चित्र में सब कुछ स्पष्ट और सरल है।

कोच वक्र की अन्य विविधताएँ भी हैं, लेकिन वक्र का अनुमानित आकार समान रहता है

जब नाथन ने एंटीना को रेडियो रिसीवर से जोड़ा, तो वह बहुत आश्चर्यचकित हुआ - संवेदनशीलता नाटकीय रूप से बढ़ गई। प्रयोगों की एक श्रृंखला के बाद, बोस्टन विश्वविद्यालय के भविष्य के प्रोफेसर ने महसूस किया कि फ्रैक्टल पैटर्न के अनुसार बने एंटीना में उच्च दक्षता होती है और शास्त्रीय समाधानों की तुलना में बहुत व्यापक आवृत्ति रेंज को कवर किया जाता है। इसके अलावा, फ्रैक्टल वक्र के रूप में एंटीना का आकार ज्यामितीय आयामों को महत्वपूर्ण रूप से कम करना संभव बनाता है। नाथन कोहेन ने एक प्रमेय भी पेश किया जो साबित करता है कि ब्रॉडबैंड एंटीना बनाने के लिए, इसे स्व-समान फ्रैक्टल वक्र का आकार देना पर्याप्त है।

लेखक ने अपनी खोज का पेटेंट कराया और फ्रैक्टल एंटेना के विकास और डिजाइन के लिए एक कंपनी फ्रैक्टल एंटीना सिस्टम्स की स्थापना की, यह सही मानते हुए कि भविष्य में, उनकी खोज के लिए धन्यवाद, सेल फोन भारी एंटेना से छुटकारा पाने और अधिक कॉम्पैक्ट बनने में सक्षम होंगे।

सैद्धांतिक तौर पर यही हुआ है. सच है, आज तक नाथन बड़े निगमों के साथ कानूनी लड़ाई में लगे हुए हैं जो अवैध रूप से कॉम्पैक्ट संचार उपकरणों का उत्पादन करने के लिए उनकी खोज का उपयोग कर रहे हैं। मोटोरोला जैसे कुछ प्रसिद्ध मोबाइल डिवाइस निर्माता पहले ही फ्रैक्टल एंटीना के आविष्कारक के साथ एक सौहार्दपूर्ण समझौते पर पहुंच चुके हैं।

⇡ भग्न आयाम: आप इसे अपने दिमाग से नहीं समझ सकते

बेनोइट ने यह प्रश्न प्रसिद्ध अमेरिकी वैज्ञानिक एडवर्ड कास्नर से उधार लिया था।

बाद वाले, कई अन्य प्रसिद्ध गणितज्ञों की तरह, बच्चों के साथ संवाद करना, उनसे प्रश्न पूछना और अप्रत्याशित उत्तर प्राप्त करना पसंद करते थे। कभी-कभी इसके आश्चर्यजनक परिणाम सामने आते थे। उदाहरण के लिए, एडवर्ड कास्नर का नौ वर्षीय भतीजा अब प्रसिद्ध शब्द "गूगोल" लेकर आया, जिसका अर्थ है एक के बाद एक सौ शून्य। लेकिन चलिए फ्रैक्टल्स पर वापस आते हैं। अमेरिकी गणितज्ञ को यह प्रश्न पूछना अच्छा लगा कि अमेरिकी समुद्र तट कितनी लंबी है। अपने वार्ताकार की राय सुनने के बाद एडवर्ड ने स्वयं सही उत्तर बताया। यदि आप टूटे हुए खंडों का उपयोग करके मानचित्र पर लंबाई मापते हैं, तो परिणाम गलत होगा, क्योंकि समुद्र तट पर बड़ी संख्या में अनियमितताएं हैं। यदि हम यथासंभव सटीकता से मापें तो क्या होगा? आपको प्रत्येक असमानता की लंबाई को ध्यान में रखना होगा - आपको प्रत्येक केप, प्रत्येक खाड़ी, चट्टान, एक चट्टानी कगार की लंबाई, उस पर एक पत्थर, रेत का एक कण, एक परमाणु, इत्यादि को मापने की आवश्यकता होगी। चूँकि अनियमितताओं की संख्या अनंत हो जाती है, प्रत्येक नई अनियमितता को मापने पर समुद्र तट की मापी गई लंबाई अनंत तक बढ़ जाएगी।

मापते समय माप जितना छोटा होगा, मापी गई लंबाई उतनी ही लंबी होगी

दिलचस्प बात यह है कि एडवर्ड के संकेत के बाद, बच्चे सही समाधान बताने में वयस्कों की तुलना में बहुत तेज़ थे, जबकि बाद वाले को इस तरह के अविश्वसनीय उत्तर को स्वीकार करने में परेशानी हुई।

इस समस्या को एक उदाहरण के रूप में उपयोग करते हुए, मैंडेलब्रॉट ने माप के लिए एक नए दृष्टिकोण का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा। चूँकि समुद्र तट एक फ्रैक्टल वक्र के करीब है, इसका मतलब है कि एक विशेषता पैरामीटर को उस पर लागू किया जा सकता है - तथाकथित फ्रैक्टल आयाम।

नियमित आयाम क्या है यह किसी के लिए भी स्पष्ट है। यदि आयाम एक के बराबर है, तो हमें एक सीधी रेखा मिलती है, यदि दो - एक सपाट आकृति, तीन - एक आयतन। हालाँकि, गणित में आयाम की यह समझ फ्रैक्टल वक्रों के साथ काम नहीं करती है, जहाँ इस पैरामीटर का भिन्नात्मक मान होता है। गणित में फ्रैक्टल आयाम को पारंपरिक रूप से "खुरदरापन" माना जा सकता है। वक्र का खुरदरापन जितना अधिक होगा, उसका भग्न आयाम उतना ही अधिक होगा। मैंडेलब्रॉट के अनुसार, एक वक्र जिसका भग्न आयाम उसके टोपोलॉजिकल आयाम से अधिक होता है, उसकी अनुमानित लंबाई होती है जो आयामों की संख्या पर निर्भर नहीं करती है।

वर्तमान में, वैज्ञानिक फ्रैक्टल के सिद्धांत को लागू करने के लिए अधिक से अधिक क्षेत्र ढूंढ रहे हैं। फ्रैक्टल्स का उपयोग करके, आप स्टॉक एक्सचेंज की कीमतों में उतार-चढ़ाव का विश्लेषण कर सकते हैं, सभी प्रकार की प्राकृतिक प्रक्रियाओं का अध्ययन कर सकते हैं, जैसे प्रजातियों की संख्या में उतार-चढ़ाव, या प्रवाह की गतिशीलता का अनुकरण कर सकते हैं। फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग डेटा संपीड़न के लिए किया जा सकता है, जैसे कि छवि संपीड़न। और वैसे, अपने कंप्यूटर स्क्रीन पर एक सुंदर फ्रैक्टल पाने के लिए, आपके पास डॉक्टरेट होना ज़रूरी नहीं है।

⇡ ब्राउज़र में फ्रैक्टल

शायद फ्रैक्टल पैटर्न प्राप्त करने के सबसे आसान तरीकों में से एक युवा प्रतिभाशाली प्रोग्रामर टोबी स्कैचमैन के ऑनलाइन वेक्टर संपादक का उपयोग करना है। इस सरल ग्राफिक संपादक के उपकरण आत्म-समानता के समान सिद्धांत पर आधारित हैं।

आपके पास केवल दो सरलतम आकृतियाँ हैं - एक चतुर्भुज और एक वृत्त। आप उन्हें कैनवास में जोड़ सकते हैं, स्केल कर सकते हैं (किसी एक अक्ष पर स्केल करने के लिए, Shift कुंजी दबाए रखें) और उन्हें घुमा सकते हैं। बूलियन जोड़ संचालन के सिद्धांत के अनुसार ओवरलैपिंग करते हुए, ये सरलतम तत्व नए, कम तुच्छ रूप बनाते हैं। फिर इन नई आकृतियों को प्रोजेक्ट में जोड़ा जा सकता है, और प्रोग्राम इन छवियों को अनंत काल तक उत्पन्न करना दोहराएगा। फ्रैक्टल पर काम करने के किसी भी चरण में, आप जटिल आकार के किसी भी घटक पर लौट सकते हैं और उसकी स्थिति और ज्यामिति को संपादित कर सकते हैं। एक मज़ेदार गतिविधि, खासकर जब आप समझते हैं कि आपको बनाने के लिए एकमात्र उपकरण एक ब्राउज़र है। यदि आप इस पुनरावर्ती वेक्टर संपादक के साथ काम करने के सिद्धांत को नहीं समझते हैं, तो हम आपको परियोजना की आधिकारिक वेबसाइट पर वीडियो देखने की सलाह देते हैं, जो फ्रैक्टल बनाने की पूरी प्रक्रिया को विस्तार से दिखाता है।

⇡ XaoS: हर स्वाद के लिए फ्रैक्टल

कई ग्राफ़िक संपादकों में फ्रैक्टल पैटर्न बनाने के लिए अंतर्निहित उपकरण होते हैं। हालाँकि, ये उपकरण आमतौर पर गौण होते हैं और उत्पन्न फ्रैक्टल पैटर्न को ठीक से ट्यून करने की अनुमति नहीं देते हैं। ऐसे मामलों में जहां गणितीय रूप से सटीक फ्रैक्टल का निर्माण करना आवश्यक है, क्रॉस-प्लेटफ़ॉर्म संपादक XaoS बचाव में आएगा। यह प्रोग्राम न केवल एक स्व-समान छवि बनाना संभव बनाता है, बल्कि इसके साथ विभिन्न जोड़-तोड़ करना भी संभव बनाता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक समय में आप फ्रैक्टल के पैमाने को बदलकर उसके साथ "चल" सकते हैं। फ्रैक्टल के साथ एनिमेटेड मूवमेंट को XAF फ़ाइल के रूप में सहेजा जा सकता है और फिर प्रोग्राम में ही पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है।

XaoS मापदंडों का एक यादृच्छिक सेट लोड कर सकता है, और विभिन्न छवि पोस्ट-प्रोसेसिंग फ़िल्टर का भी उपयोग कर सकता है - एक धुंधली गति प्रभाव जोड़ें, फ्रैक्टल बिंदुओं के बीच तेज बदलाव को सुचारू करें, एक 3 डी छवि का अनुकरण करें, और इसी तरह।

⇡ फ्रैक्टल ज़ूमर: कॉम्पैक्ट फ्रैक्टल जनरेटर

अन्य फ्रैक्टल छवि जनरेटर की तुलना में, इसके कई फायदे हैं। सबसे पहले, यह आकार में बहुत छोटा है और इसे इंस्टॉलेशन की आवश्यकता नहीं है। दूसरे, यह किसी चित्र के रंग पैलेट को निर्धारित करने की क्षमता को लागू करता है। आप RGB, CMYK, HVS और HSL कलर मॉडल में शेड्स चुन सकते हैं।

रंग शेड्स को बेतरतीब ढंग से चुनने के विकल्प और चित्र में सभी रंगों को उलटने के फ़ंक्शन का उपयोग करना भी बहुत सुविधाजनक है। रंग को समायोजित करने के लिए, रंगों के चक्रीय चयन का एक कार्य है - जब आप संबंधित मोड चालू करते हैं, तो प्रोग्राम छवि को एनिमेट करता है, चक्रीय रूप से उस पर रंग बदलता है।

फ्रैक्टल ज़ूमर 85 विभिन्न फ्रैक्टल कार्यों की कल्पना कर सकता है, और सूत्र प्रोग्राम मेनू में स्पष्ट रूप से दिखाए जाते हैं। प्रोग्राम में छवि पोस्ट-प्रोसेसिंग के लिए फ़िल्टर हैं, हालाँकि कम मात्रा में। प्रत्येक निर्दिष्ट फ़िल्टर को किसी भी समय रद्द किया जा सकता है।

⇡ मैंडेलबल्ब3डी: 3डी फ्रैक्टल संपादक

जब "फ्रैक्टल" शब्द का उपयोग किया जाता है, तो यह अक्सर एक सपाट, द्वि-आयामी छवि को संदर्भित करता है। हालाँकि, फ्रैक्टल ज्यामिति 2डी आयाम से आगे जाती है। प्रकृति में, आप सपाट भग्न रूपों के दोनों उदाहरण पा सकते हैं, जैसे, बिजली की ज्यामिति, और त्रि-आयामी वॉल्यूमेट्रिक आंकड़े। फ्रैक्टल सतहें त्रि-आयामी हो सकती हैं, और रोजमर्रा की जिंदगी में 3डी फ्रैक्टल्स का एक बहुत स्पष्ट चित्रण गोभी का सिर है। शायद फ्रैक्टल्स को देखने का सबसे अच्छा तरीका रोमनेस्को किस्म है, जो फूलगोभी और ब्रोकोली का एक संकर है।

आप इस फ्रैक्टल को भी खा सकते हैं

मैंडेलबल्ब3डी प्रोग्राम एक समान आकार वाली त्रि-आयामी वस्तुएं बना सकता है। फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करके 3डी सतह प्राप्त करने के लिए, इस एप्लिकेशन के लेखक, डैनियल व्हाइट और पॉल नाइलैंडर ने मैंडलब्रॉट सेट को गोलाकार निर्देशांक में परिवर्तित कर दिया। उनके द्वारा बनाया गया मैंडलबल्ब3डी प्रोग्राम एक वास्तविक त्रि-आयामी संपादक है जो विभिन्न आकृतियों की फ्रैक्टल सतहों का मॉडल तैयार करता है। चूँकि हम अक्सर प्रकृति में फ्रैक्टल पैटर्न देखते हैं, कृत्रिम रूप से निर्मित फ्रैक्टल त्रि-आयामी वस्तु अविश्वसनीय रूप से यथार्थवादी और यहां तक ​​कि "जीवित" भी लगती है।

यह किसी पौधे जैसा हो सकता है, यह किसी अजीब जानवर, ग्रह या किसी अन्य चीज़ जैसा हो सकता है। इस प्रभाव को एक उन्नत रेंडरिंग एल्गोरिदम द्वारा बढ़ाया जाता है, जो यथार्थवादी प्रतिबिंब प्राप्त करना, पारदर्शिता और छाया की गणना करना, क्षेत्र की गहराई के प्रभाव का अनुकरण करना आदि संभव बनाता है। Mandelbulb3D में बड़ी संख्या में सेटिंग्स और रेंडरिंग विकल्प हैं। आप प्रकाश स्रोतों के रंगों को नियंत्रित कर सकते हैं, सिम्युलेटेड ऑब्जेक्ट की पृष्ठभूमि और विवरण के स्तर का चयन कर सकते हैं।

इन्सेंडिया फ्रैक्टल एडिटर डबल इमेज स्मूथिंग का समर्थन करता है, इसमें पचास अलग-अलग त्रि-आयामी फ्रैक्टल्स की लाइब्रेरी होती है, और मूल आकृतियों को संपादित करने के लिए एक अलग मॉड्यूल होता है।

एप्लिकेशन फ्रैक्टल स्क्रिप्टिंग का उपयोग करता है, जिसके साथ आप स्वतंत्र रूप से नए प्रकार के फ्रैक्टल डिज़ाइन का वर्णन कर सकते हैं। इन्सेंडिया में बनावट और सामग्री संपादक हैं, और रेंडरिंग इंजन आपको वॉल्यूमेट्रिक फॉग प्रभाव और विभिन्न शेडर्स का उपयोग करने की अनुमति देता है। प्रोग्राम दीर्घकालिक रेंडरिंग के दौरान बफर को सहेजने के विकल्प को लागू करता है, और एनीमेशन के निर्माण का समर्थन करता है।

इन्सेंडिया आपको एक फ्रैक्टल मॉडल को लोकप्रिय 3डी ग्राफिक्स प्रारूपों - ओबीजे और एसटीएल में निर्यात करने की अनुमति देता है। इन्सेंडिया में जियोमेट्रिका नामक एक छोटी उपयोगिता शामिल है, जो एक फ्रैक्टल सतह को 3डी मॉडल में निर्यात करने के लिए एक विशेष उपकरण है। इस उपयोगिता का उपयोग करके, आप 3डी सतह का रिज़ॉल्यूशन निर्धारित कर सकते हैं और फ्रैक्टल पुनरावृत्तियों की संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं। ब्लेंडर, 3डीएस मैक्स और अन्य जैसे 3डी संपादकों के साथ काम करते समय निर्यातित मॉडल का उपयोग 3डी परियोजनाओं में किया जा सकता है।

हाल ही में इन्सेंडिया प्रोजेक्ट पर काम कुछ धीमा हो गया है। फिलहाल, लेखक कार्यक्रम को विकसित करने में मदद के लिए प्रायोजकों की तलाश कर रहा है।

यदि आपके पास इस कार्यक्रम में एक सुंदर त्रि-आयामी फ्रैक्टल बनाने के लिए पर्याप्त कल्पना नहीं है, तो कोई बात नहीं। पैरामीटर लाइब्रेरी का उपयोग करें, जो INCENDIA_EX\parameters फ़ोल्डर में स्थित है। PAR फ़ाइलों का उपयोग करके, आप एनिमेटेड सहित सबसे असामान्य फ्रैक्टल आकृतियाँ तुरंत पा सकते हैं।

⇡ श्रवण: फ्रैक्टल कैसे गाते हैं

हम आम तौर पर उन परियोजनाओं के बारे में बात नहीं करते हैं जिन पर अभी काम चल रहा है, लेकिन इस मामले में हमें एक अपवाद बनाना होगा, क्योंकि यह एक बहुत ही असामान्य एप्लिकेशन है। ऑरल नामक परियोजना का आविष्कार उसी व्यक्ति द्वारा किया गया था जिसने इन्सेंडिया का निर्माण किया था। हालाँकि, इस बार कार्यक्रम फ्रैक्टल सेट की कल्पना नहीं करता है, बल्कि इसे ध्वनि देता है, इसे इलेक्ट्रॉनिक संगीत में बदल देता है। यह विचार बहुत दिलचस्प है, खासकर फ्रैक्टल्स के असामान्य गुणों को देखते हुए। ऑरल एक ऑडियो संपादक है जो फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करके धुनें उत्पन्न करता है, यानी संक्षेप में, यह एक ऑडियो सिंथेसाइज़र-सीक्वेंसर है।

इस कार्यक्रम द्वारा उत्पन्न ध्वनियों का क्रम असामान्य और... सुंदर है। यह आधुनिक लय लिखने के लिए उपयोगी हो सकता है और, हमें ऐसा लगता है, टेलीविजन और रेडियो कार्यक्रमों के स्क्रीनसेवर के लिए साउंडट्रैक बनाने के साथ-साथ कंप्यूटर गेम के लिए पृष्ठभूमि संगीत के "लूप" बनाने के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है। रामिरो ने अभी तक अपने कार्यक्रम का डेमो प्रदान नहीं किया है, लेकिन वादा किया है कि जब वह ऐसा करेगा, तो ऑरल के साथ काम करने के लिए, आपको फ्रैक्टल सिद्धांत का अध्ययन करने की आवश्यकता नहीं होगी - आपको अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए एल्गोरिदम के मापदंडों के साथ खेलने की आवश्यकता होगी नोट्स का. सुनें कि फ्रैक्टल कैसे बजते हैं, और।

फ्रैक्टल्स: म्यूजिकल ब्रेक

वास्तव में, फ्रैक्टल्स आपको सॉफ़्टवेयर के बिना भी संगीत लिखने में मदद कर सकते हैं। लेकिन यह केवल वही व्यक्ति कर सकता है जो वास्तव में प्राकृतिक सद्भाव के विचार से ओत-प्रोत है और जो एक दुर्भाग्यपूर्ण "बेवकूफ" नहीं बन गया है। जोनाथन कूल्टन नाम के एक संगीतकार का उदाहरण लेना समझ में आता है, जो अन्य बातों के अलावा, पॉपुलर साइंस पत्रिका के लिए रचनाएँ लिखते हैं। और अन्य कलाकारों के विपरीत, कोल्टन अपने सभी कार्यों को क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-नॉन-कमर्शियल लाइसेंस के तहत प्रकाशित करता है, जो (जब गैर-व्यावसायिक उद्देश्यों के लिए उपयोग किया जाता है) मुफ्त प्रतिलिपि, वितरण, काम को दूसरों को हस्तांतरित करने के साथ-साथ इसके संशोधन की सुविधा प्रदान करता है ( व्युत्पन्न कार्यों का निर्माण) ताकि इसे अपने कार्यों के अनुकूल बनाया जा सके।

निस्संदेह, जोनाथन कोल्टन के पास फ्रैक्टल्स के बारे में एक गीत है।

⇡ निष्कर्ष

हमारे चारों ओर जो कुछ भी है, उसमें हम अक्सर अराजकता देखते हैं, लेकिन वास्तव में यह कोई दुर्घटना नहीं है, बल्कि एक आदर्श रूप है, जिसे भग्न समझने में हमारी मदद करते हैं। प्रकृति सर्वोत्तम वास्तुकार, आदर्श निर्माता एवं इंजीनियर है। इसे बहुत तार्किक रूप से संरचित किया गया है, और अगर हमें कहीं कोई पैटर्न नहीं दिखता है, तो इसका मतलब है कि हमें इसे एक अलग पैमाने पर देखने की जरूरत है। लोग इसे बेहतर से बेहतर समझते हैं, कई तरीकों से प्राकृतिक रूपों की नकल करने की कोशिश करते हैं। इंजीनियर शेल के आकार के स्पीकर सिस्टम डिज़ाइन करते हैं, बर्फ के टुकड़े के आकार के एंटेना बनाते हैं, इत्यादि। हमें यकीन है कि फ्रैक्टल्स में अभी भी कई रहस्य हैं, और उनमें से कई को अभी भी मनुष्यों द्वारा खोजा जाना बाकी है।