एकपदी को मानक रूप में कम करना, उदाहरण, समाधान। एकपदी की अवधारणा. एकपदी का मानक रूप एकपदी को कार्य के मानक रूप में कम करें

विषय पर पाठ: "एकपदी का मानक रूप। परिभाषा। उदाहरण"

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एकपदी। परिभाषा

एकपदीयएक गणितीय अभिव्यक्ति है जो एक अभाज्य कारक और एक या अधिक चर का उत्पाद है।

एकपदी में प्राकृतिक घातांक के साथ सभी संख्याएँ, चर, उनकी घातें शामिल होती हैं:
42; 3; 0; 6 2 ; 2 3 ; बी 3 ; कुल्हाड़ी 4 ; 4x 3 ; 5ए 2 ; 12xyz 3 .

अक्सर यह निर्धारित करना कठिन होता है कि दी गई गणितीय अभिव्यक्ति एकपदी को संदर्भित करती है या नहीं। उदाहरण के लिए, $\frac(4a^3)(5)$. क्या यह एकपदी है या नहीं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए हमें अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता है, अर्थात इस रूप में मौजूद है: $\frac(4)(5)*a^3$.
हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि यह अभिव्यक्ति एकपदी है।

एकपदी का मानक रूप

गणना करते समय, एकपदी को मानक रूप में कम करने की सलाह दी जाती है। यह एकपदी की सबसे संक्षिप्त और समझने योग्य रिकॉर्डिंग है।

एकपदी को मानक रूप में कम करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:
1. एकपदी (या संख्यात्मक गुणनखंड) के गुणांकों को गुणा करें और परिणामी परिणाम को पहले स्थान पर रखें।
2. समान अक्षर आधार वाली सभी घातों का चयन करें और उन्हें गुणा करें।
3. सभी चरों के लिए बिंदु 2 दोहराएं।

उदाहरण।
I. दिए गए एकपदी $3x^2zy^3*5y^2z^4$ को मानक रूप में कम करें।

समाधान।
1. एकपदी $15x^2y^3z * y^2z^4$ के गुणांकों को गुणा करें।
2. अब हम समान शब्द $15x^2y^5z^5$ प्रस्तुत करते हैं।

द्वितीय. दिए गए एकपदी $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ को मानक रूप में कम करें।

समाधान।
1. एकपदी $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$ के गुणांकों को गुणा करें।
2. अब हम समान शब्द $\frac(10)(7)a^5b^5c$ प्रस्तुत करते हैं।

इस पाठ में हम एकपदी की सख्त परिभाषा देंगे और पाठ्यपुस्तक से विभिन्न उदाहरण देखेंगे। आइए हम समान आधारों से घातों को गुणा करने के नियमों को याद करें। आइए हम एकपदी के मानक रूप, एकपदी के गुणांक और उसके अक्षर भाग को परिभाषित करें। आइए एकपदी पर दो मुख्य विशिष्ट परिचालनों पर विचार करें, अर्थात् एक मानक रूप में कमी और इसमें शामिल शाब्दिक चर के दिए गए मानों के लिए एक एकपदी के विशिष्ट संख्यात्मक मान की गणना। आइए एकपदी को मानक रूप में घटाने के लिए एक नियम बनाएं। आइए सीखें कि किसी एकपदी के साथ मानक समस्याओं को कैसे हल करें।

विषय:एकपदी। एकपदी पर अंकगणितीय संक्रियाएँ

पाठ:एकपदी की अवधारणा. एकपदी का मानक रूप

कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

3. ;

आइए दिए गए भावों के लिए सामान्य विशेषताएं खोजें। तीनों मामलों में, अभिव्यक्ति एक घात तक बढ़ाई गई संख्याओं और चरों का गुणनफल है। इसी के आधार पर हम देते हैं एकपदी परिभाषा : एकपदी एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें घातों और संख्याओं का गुणनफल होता है।

अब हम ऐसे व्यंजकों के उदाहरण देते हैं जो एकपदी नहीं हैं:

आइए इन अभिव्यक्तियों और पिछली अभिव्यक्तियों के बीच अंतर खोजें। यह इस तथ्य में निहित है कि उदाहरण 4-7 में जोड़, घटाव या विभाजन संक्रियाएँ हैं, जबकि उदाहरण 1-3 में, जो एकपदी हैं, ये संक्रियाएँ नहीं हैं।

यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

अभिव्यक्ति संख्या 8 एकपदी है क्योंकि यह एक घात और एक संख्या का गुणनफल है, जबकि उदाहरण 9 एकपदी नहीं है।

अब आइए जानें एकपदी पर कार्रवाई .

1. सरलीकरण. आइए उदाहरण संख्या 3 देखें ;और उदाहरण संख्या 2 /

दूसरे उदाहरण में हम केवल एक गुणांक देखते हैं - प्रत्येक चर केवल एक बार होता है, अर्थात चर " ए" को एक ही प्रतिलिपि में "" के रूप में दर्शाया गया है, इसी प्रकार, चर "" और "" केवल एक बार दिखाई देते हैं।

उदाहरण संख्या 3 में, इसके विपरीत, दो अलग-अलग गुणांक हैं - और, हम चर "" को दो बार देखते हैं - जैसे "" और "", इसी तरह, चर "" दो बार दिखाई देता है। अर्थात इस अभिव्यक्ति को सरल बनाया जाना चाहिए, इस प्रकार हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं एकपदी पर की जाने वाली पहली क्रिया एकपदी को मानक रूप में कम करना है . ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति को उदाहरण 3 से मानक रूप में कम करेंगे, फिर हम इस ऑपरेशन को परिभाषित करेंगे और सीखेंगे कि किसी एकपदी को मानक रूप में कैसे कम किया जाए।

तो, एक उदाहरण पर विचार करें:

मानक रूप में कमी के संचालन में पहली क्रिया हमेशा सभी संख्यात्मक कारकों को गुणा करना है:

;

इस कार्रवाई का परिणाम कहा जाएगा एकपदी का गुणांक .

आगे आपको शक्तियों को गुणा करने की आवश्यकता है। आइए चर की शक्तियों को गुणा करें " एक्स"समान आधारों से घातों को गुणा करने के नियम के अनुसार, जिसमें कहा गया है कि गुणा करते समय, घातांक जोड़े जाते हैं:

आइए अब शक्तियों को गुणा करें" पर»:

;

तो, यहाँ एक सरलीकृत अभिव्यक्ति है:

;

किसी भी एकपदी को मानक रूप में घटाया जा सकता है। आइए सूत्रबद्ध करें मानकीकरण नियम :

सभी संख्यात्मक कारकों को गुणा करें;

परिणामी गुणांक को पहले स्थान पर रखें;

सभी अंशों को गुणा करें, अर्थात अक्षर भाग प्राप्त करें;

अर्थात्, किसी भी एकपदी की विशेषता एक गुणांक और एक अक्षर भाग होता है। आगे देखते हुए, हम देखते हैं कि जिन एकपदों का अक्षर भाग समान होता है, उन्हें समान कहा जाता है।

अब हमें वर्कआउट करने की जरूरत है एकपदी को मानक रूप में कम करने की तकनीक . पाठ्यपुस्तक से उदाहरणों पर विचार करें:

असाइनमेंट: एकपदी को मानक रूप में लाएँ, गुणांक और अक्षर भाग को नाम दें।

कार्य को पूरा करने के लिए, हम एकपदी को मानक रूप में और घातों के गुणों को कम करने के नियम का उपयोग करेंगे।

1. ;

3. ;

पहले उदाहरण पर टिप्पणियाँ: सबसे पहले, आइए यह निर्धारित करें कि क्या यह अभिव्यक्ति वास्तव में एकपदी है; ऐसा करने के लिए, आइए जाँच करें कि क्या इसमें संख्याओं और घातों के गुणन की संक्रियाएँ शामिल हैं और क्या इसमें जोड़, घटाव या विभाजन की संक्रियाएँ शामिल हैं। हम कह सकते हैं कि यह अभिव्यक्ति एकपदी है क्योंकि उपरोक्त शर्त संतुष्ट है। अगला, एकपदी को मानक रूप में कम करने के नियम के अनुसार, हम संख्यात्मक कारकों को गुणा करते हैं:

- हमें किसी दिए गए एकपदी का गुणांक मिला;

; ; ; अर्थात् अभिव्यक्ति का शाब्दिक भाग प्राप्त होता है:;

आइए उत्तर लिखें: ;

दूसरे उदाहरण पर टिप्पणियाँ: नियम का पालन करते हुए हम कार्य करते हैं:

1) संख्यात्मक कारकों को गुणा करें:

2) शक्तियों को गुणा करें:

चरों को एक ही प्रतिलिपि में प्रस्तुत किया जाता है, अर्थात उन्हें किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया जा सकता है, उन्हें बिना बदलाव के फिर से लिखा जाता है, डिग्री गुणा की जाती है:

आइए उत्तर लिखें:

;

इस उदाहरण में, एकपदी का गुणांक एक के बराबर है, और अक्षर भाग है।

तीसरे उदाहरण पर टिप्पणियाँ: aपिछले उदाहरणों के समान, हम निम्नलिखित क्रियाएं करते हैं:

1) संख्यात्मक कारकों को गुणा करें:

;

2) शक्तियों को गुणा करें:

;

आइए उत्तर लिखें: ;

इस मामले में, एकपदी का गुणांक "" है, और अक्षर भाग है .

अब आइये विचार करें एकपदी पर दूसरा मानक संचालन . चूँकि एकपदी एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें शाब्दिक चर होते हैं जो विशिष्ट संख्यात्मक मान ले सकते हैं, हमारे पास एक अंकगणितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ति है जिसका मूल्यांकन किया जाना चाहिए। अर्थात् बहुपदों पर अगला संक्रिया है उनके विशिष्ट संख्यात्मक मान की गणना करना .

आइए एक उदाहरण देखें. एकपद दिया गया:

इस एकपदी को पहले ही मानक रूप में घटा दिया गया है, इसका गुणांक एक के बराबर है, और अक्षर भाग

पहले हमने कहा था कि एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति की हमेशा गणना नहीं की जा सकती है, यानी इसमें शामिल चर कोई मान नहीं ले सकते हैं। एकपदी के मामले में, इसमें शामिल चर कोई भी हो सकते हैं; यह एकपदी की एक विशेषता है।

इसलिए, दिए गए उदाहरण में, आपको , , , पर एकपदी के मान की गणना करने की आवश्यकता है।

मैं। वे अभिव्यक्तियाँ जो गुणन की क्रिया का उपयोग करके संख्याओं, चरों और उनकी घातों से बनी होती हैं, एकपदी कहलाती हैं।

एकपदी के उदाहरण:

ए)ए; बी)अब; वी) 12; जी)-3सी; डी) 2a 2 ∙(-3.5b) 3 ; इ)-123.45xy 5 जेड; और) 8ac∙2.5a 2 ∙(-3c 3).

द्वितीय. इस प्रकार का एकपदी, जब संख्यात्मक कारक (गुणांक) पहले आता है, उसके बाद चर अपनी शक्तियों के साथ आते हैं, मानक प्रकार का एकपदी कहलाता है।

इस प्रकार, अक्षरों के नीचे ऊपर दिए गए एकपदी हैं ए बी सी), जी)और इ)मानक रूप में लिखा गया है, और अक्षरों के नीचे एकपदी डी)और और)इसे एक मानक रूप में लाना आवश्यक है, यानी एक ऐसे रूप में जहां संख्यात्मक कारक पहले आता है, उसके बाद अक्षर कारक उनके घातांक के साथ आते हैं, और अक्षर कारक वर्णमाला क्रम में होते हैं। आइए हम एकपदी प्रस्तुत करें डी)और और)मानक दृश्य के लिए.

डी) 2a 2 ∙(-3.5b) 3=2a 2 ∙(-3.5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3.5∙3.5∙3.5∙b 3 = -85.75ए 2 बी 3 ;

और) 8ac∙2.5a 2 ∙(-3c 3)=-8∙2.5∙3a 3 c 3 = -60ए 3 सी 3।

तृतीय.एकपदी में शामिल सभी चरों के घातांकों के योग को एकपदी की डिग्री कहा जाता है।

उदाहरण।एकपदी के पास कौन सी डिग्री होती है? ए) - जी)?

ए) ए.पहला;

बी) अब.दूसरा: एपहली डिग्री में और बीपहली घात तक - संकेतकों का योग 1+1=2 ;

वी) 12. शून्य, क्योंकि कोई अक्षर कारक नहीं हैं;

जी) -3सी.पहला;

डी) -85.75ए 2 बी 3।पांचवां. हमने इस एकपदी को मानक रूप में घटा दिया है, हमारे पास है एदूसरी डिग्री तक और बीतीसरे में. आइए संकेतक जोड़ें: 2+3=5 ;

इ) -123.45xy 5 जेड.सातवां. हमने अक्षर कारकों के प्रतिपादकों को जोड़ा: 1+5+1=7 ;

और) -60ए 3 सी 3।छठा, चूँकि अक्षर गुणनखंडों के घातांकों का योग होता है 3+3=6 .

चतुर्थ. जिन एकपदी का अक्षर भाग समान होता है, उन्हें समान एकपदी कहते हैं।

उदाहरण।दिए गए एकपदों में से समान एकपदों को इंगित करें 1) -7).

1) 3aabbc; 2) -4.1ए 3 बीसी; 3) 56ए 2 बी 2 सी; 4) 98.7ए 2 बीएसी; 5) 10एएए 2 एक्स; 6) -2.3ए 4 एक्स; 7) 34x 2 वर्ष.

आइए हम एकपदी प्रस्तुत करें 1), 4) और 5) मानक दृश्य के लिए. फिर मोनोमियल डेटा की पंक्ति इस तरह दिखेगी:

1) 3ए 2 बी 2 सी; 2) -4.1ए 3 बीसी; 3) 56ए 2 बी 2 सी; 4) 98.7ए 3 बीसी; 5) 10a 4x; 6) -2.3ए 4 एक्स; 7) 34x 2 वर्ष.

समान वे होंगे जिनका अक्षर भाग समान होगा, अर्थात्। 1) और 3) ; 2) और 4); 5) और 6).

1) 3ए 2 बी 2 सी और 3) 56ए 2 बी 2 सी;

2) -4.1ए 3 बीसी और 4) 98.7ए 3 बीसी;

5) 10ए 4 एक्स और 6) -2.3ए 4 एक्स.

लक्ष्य:-एकपदी की अवधारणा से परिचित होना;

एकपदी के उदाहरण देने की क्षमता विकसित करें

निर्धारित करें कि कोई व्यंजक एकपदी है या नहीं

इसका गुणांक एवं अक्षर भाग बतायें।

"एकपदी के मानक रूप" की अवधारणा से परिचित हों

एकपदी को मानक रूप में कम करने के लिए एक एल्गोरिदम दर्ज करें;

एल्गोरिथम का उपयोग करने में व्यावहारिक कौशल विकसित करें

एकपदी को मानक रूप में लाना।

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विषय: एकपदी की अवधारणा। एकपदी का मानक रूप उद्देश्य: -एकपदी की अवधारणा से परिचित होना; -एकपदी के उदाहरण देने की क्षमता विकसित करें; -यह निर्धारित करें कि कोई अभिव्यक्ति एकपदी है या नहीं; -इसके गुणांक और अक्षर भाग को इंगित करें। - "एकपदी के मानक रूप" की अवधारणा से परिचित हों - एकपदी को मानक रूप में लाने के लिए एक एल्गोरिदम का परिचय दें; एकपदी को मानक रूप में कम करने के लिए एल्गोरिदम को लागू करने में व्यावहारिक कौशल विकसित करें।

एक एकल पद एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जो एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक शक्ति तक बढ़ाए गए संख्याओं और चर का उत्पाद है। 2av, - 4а⁴в⁵, 1.7с⁸в⁴ 0; 2 ; -0.6; एक्स; ए; x ⁶ रूप की अभिव्यक्ति का एकपदी नहीं हैं: a+b; 2x⁴+ 3y⁹; а⁴⁄с ⁸ एकपदी की अवधारणा

एकपदी पर विचार करें: 3a∙4 a²b⁵c²bac⁵=3∙4aa²b⁵bc²c=12a³b⁶c³ गणित स्पष्टता, संक्षिप्तता और व्यवस्था के लिए प्रयास करता है। हमने एकपदी को छोटे अंकन में बदल दिया है अर्थात मानक दृश्य के लिए.

कलन विधि। एकपदी को मानक रूप में घटाएँ और एकपदी के गुणांक को नाम दें। 3x⁴ yz ∙(-2) xy⁴z ⁸= 3∙(- 2) x⁴∙ x ∙ y⁴∙ y∙z∙z ⁸ = = -6x⁵∙ y⁵∙z ⁹ ¼ab⁴c4c=¼∙4ab⁴(c∙c )=ab⁴c² ( 3 /10) एवी एकपदी को मानक रूप में लाने के लिए, आपको यह करना होगा: 1) सभी संख्यात्मक कारकों को गुणा करें और उनके उत्पाद को पहले स्थान पर रखें; 2) सभी उपलब्ध शक्तियों को एक ही अक्षर आधार से गुणा करें; 3) सभी उपलब्ध घातों को किसी अन्य अक्षर आधार आदि से गुणा करें। मानक रूप में लिखे गए एकपदी के संख्यात्मक गुणनखंड को एकपदी का गुणांक कहा जाता है।

एकपदी को मानक रूप में घटाएँ। विकल्प 1 a) 7с⁴·4с³·8 c⁶ b) 8х²·4 y³·(- 2х ³) विकल्प 2 a) 6 n²·3n³·9n⁶ b) 15 q⁴·2p²·(-5p⁵)

आइए स्वतंत्र कार्य के उत्तरों की जाँच करें। विकल्प 1 a) 244 s¹³ b) -64 x ⁸ y³ विकल्प 2 a) 162 n ¹¹ b) - 150 q ⁴ p⁷

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एकपदी संख्याओं, चरों और उनकी घातों के गुणनफल हैं। संख्याएँ, चर और उनकी घातें भी एकपद माने जाते हैं। उदाहरण के लिए: 12ac, -33, a^2b, a, c^9। एकपदी 5aa2b2b को 20a^2b^2 के रूप में घटाया जा सकता है। इस रूप को एकपदी का मानक रूप कहा जाता है। अर्थात्, एकपदी का मानक रूप गुणांक (जो पहले आता है) और की शक्तियों का गुणनफल है चर. गुणांक 1 और -1 नहीं लिखे जाते हैं, लेकिन -1 से एक ऋण रखा जाता है। एकपदी और उसका मानक रूप

अभिव्यक्तियाँ 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x संख्याओं, चरों और उनकी घातों के गुणनफल हैं। ऐसे भावों को एकपद कहा जाता है। संख्याएँ, चर और उनकी घातें भी एकपद माने जाते हैं।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 8, 35,y और y2 एकपदी हैं।

एकपदी का मानक रूप प्रथम स्थान पर एक संख्यात्मक कारक और विभिन्न चर की शक्तियों के उत्पाद के रूप में एकपदी है। किसी भी एकपदी को उसमें शामिल सभी चरों और संख्याओं को गुणा करके एक मानक रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। यहां एकपदी को मानक रूप में कम करने का एक उदाहरण दिया गया है:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

मानक रूप में लिखे गए एकपदी के संख्यात्मक गुणनखंड को एकपदी का गुणांक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एकपदी -7x2y2 का गुणांक -7 के बराबर है। एकपदी x3 और -xy के गुणांक 1 और -1 के बराबर माने जाते हैं, क्योंकि x3 = 1x3 और -xy = -1xy

एकपदी की घात उसमें शामिल सभी चरों के घातांकों का योग होती है। यदि किसी एकपदी में चर नहीं है, अर्थात वह एक संख्या है, तो उसकी डिग्री शून्य के बराबर मानी जाती है।

उदाहरण के लिए, एकपदी 8x3yz2 की डिग्री 6 है, एकपदी 6x की डिग्री 1 है, और -10 की डिग्री 0 है।

एकपदी को गुणा करना। एकपदी को घातों तक बढ़ाना

एकपदी को गुणा करते समय और एकपदी को एक घात तक बढ़ाते समय, समान आधार से घातों को गुणा करने के नियम और एक घात को एक घात तक बढ़ाने के नियम का उपयोग किया जाता है। इससे एकपदी का निर्माण होता है, जिसे आमतौर पर मानक रूप में दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6