फ्रैक्टल के रूप में जानी जाने वाली गणितीय आकृतियाँ प्रख्यात वैज्ञानिक बेनोइट मैंडेलब्रॉट की प्रतिभा से उत्पन्न हुई हैं। उन्होंने अपना अधिकांश जीवन संयुक्त राज्य अमेरिका में बिताया, जहाँ उन्होंने येल विश्वविद्यालय में गणित पढ़ाया। 1977 और 1982 में, मैंडेलब्रॉट ने "फ्रैक्टल ज्योमेट्री" या "प्रकृति की ज्यामिति" के अध्ययन के लिए समर्पित वैज्ञानिक कार्य प्रकाशित किए, जिसमें उन्होंने प्रतीत होता है कि यादृच्छिक गणितीय रूपों को घटक तत्वों में तोड़ दिया, जो करीब से निरीक्षण करने पर, दोहराए जाने वाले निकले - जो नकल के लिए किसी प्रकार के पैटर्न के अस्तित्व को साबित करता है। मैंडेलब्रॉट की खोज के भौतिकी, खगोल विज्ञान और जीव विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण सकारात्मक परिणाम हुए।

फ्रैक्टल कैसे काम करता है?

फ्रैक्टल (लैटिन "फ्रैक्टस" से - टूटा हुआ, कुचला हुआ, टूटा हुआ) एक जटिल ज्यामितीय आकृति है जो भागों के कई अनंत अनुक्रमों से बनी होती है, जिनमें से प्रत्येक पूरी आकृति के समान होती है, और स्केल घटने पर दोहराई जाती है।

सभी पैमानों पर फ्रैक्टल की संरचना गैर-तुच्छ है। यहां हमें यह स्पष्ट करने की आवश्यकता है कि इसका क्या मतलब है। इसलिए, नियमित आंकड़े, जैसे कि एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त या एक सुचारू कार्य का ग्राफ, इस तरह से व्यवस्थित किए जाते हैं कि पर्याप्त बड़े पैमाने पर एक नियमित आंकड़े के एक छोटे टुकड़े पर विचार करते समय, यह एक टुकड़े के समान होगा एक सीधी पंक्ति। फ्रैक्टल्स के लिए, पैमाने में वृद्धि से आकृति की संरचना का सरलीकरण नहीं होता है, और सभी पैमानों पर हम एक समान रूप से जटिल तस्वीर देखते हैं।

प्रकृति में, कई वस्तुओं में भग्न गुण होते हैं, उदाहरण के लिए: पेड़ के मुकुट, फूलगोभी, बादल, मनुष्यों और जानवरों की परिसंचरण और वायुकोशीय प्रणाली, क्रिस्टल, बर्फ के टुकड़े, जिनके तत्व एक जटिल संरचना में व्यवस्थित होते हैं, समुद्र तट (भग्न अवधारणा की अनुमति है) वैज्ञानिक ब्रिटिश द्वीपों की तटरेखा और अन्य पहले मापी न जा सकने वाली वस्तुओं को मापेंगे)।

आइए फूलगोभी की संरचना पर नजर डालें। यदि आप फूलों में से एक को काटते हैं, तो यह स्पष्ट है कि वही फूलगोभी आपके हाथों में रहती है, केवल आकार में छोटी। हम बार-बार काट सकते हैं, यहां तक ​​कि माइक्रोस्कोप के नीचे भी - लेकिन हमें फूलगोभी की छोटी-छोटी प्रतियां ही मिलती हैं। इस सरलतम मामले में, फ्रैक्टल के एक छोटे से हिस्से में भी संपूर्ण अंतिम संरचना के बारे में जानकारी होती है।

प्रकृति में फ्रैक्टल का एक उल्लेखनीय उदाहरण "रोमनेस्कु" है, जिसे "रोमनेस्कु ब्रोकोली" या "कोरल फूलगोभी" भी कहा जाता है। इस विदेशी सब्जी का पहला उल्लेख 16वीं शताब्दी में इटली में मिलता है। इस गोभी की कलियाँ एक लघुगणकीय सर्पिल में बढ़ती हैं। 3डी कलाकार, डिज़ाइनर और शेफ उसकी प्रशंसा करना कभी नहीं छोड़ते। इसके अलावा, उत्तरार्द्ध, विशेष रूप से गोभी के सबसे परिष्कृत स्वाद (मीठा और पौष्टिक, गंधक नहीं) के लिए सब्जी को महत्व देते हैं, और इस तथ्य के लिए कि यह सामान्य फूलगोभी की तुलना में कम कुरकुरी होती है। इसके अलावा, रोमेन ब्रोकोली विटामिन सी, एंटीऑक्सिडेंट और कैरोटीनॉयड से भरपूर होती है।

डिजिटल प्रौद्योगिकी में भग्न

फ्रैक्टल ज्योमेट्री ने डिजिटल संगीत के क्षेत्र में नई तकनीकों के विकास में अमूल्य योगदान दिया है, और डिजिटल छवियों को संपीड़ित करना भी संभव बनाया है। मौजूदा फ्रैक्टल छवि संपीड़न एल्गोरिदम डिजिटल छवि के बजाय संपीड़ित छवि को संग्रहीत करने के सिद्धांत पर आधारित हैं। संपीड़ित छवि के लिए, मुख्य छवि एक निश्चित बिंदु बनी रहती है। माइक्रोसॉफ्ट ने अपने विश्वकोश को प्रकाशित करते समय इस एल्गोरिदम के एक संस्करण का उपयोग किया था, लेकिन किसी न किसी कारण से इस विचार का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया था।

नेटवर्क नोड्स "नेटसुकुकु" के बारे में जानकारी के कॉम्पैक्ट भंडारण के लिए सूचना के फ्रैक्टल संपीड़न के सिद्धांत का उपयोग सिस्टम द्वारा आईपी पते निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। प्रत्येक नोड पड़ोसी नोड्स की स्थिति के बारे में 4 किलोबाइट जानकारी संग्रहीत करता है। कोई भी नया नोड आईपी पते के वितरण के केंद्रीय विनियमन की आवश्यकता के बिना सामान्य इंटरनेट से जुड़ता है। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सूचना के फ्रैक्टल संपीड़न का सिद्धांत पूरे नेटवर्क के विकेंद्रीकृत संचालन को सुनिश्चित करता है, और इसलिए इसमें काम यथासंभव स्थिरता से आगे बढ़ता है।

फ्रैक्टल्स का व्यापक रूप से कंप्यूटर ग्राफिक्स में उपयोग किया जाता है - पेड़ों, झाड़ियों, समुद्री सतहों, पहाड़ी परिदृश्यों और अन्य प्राकृतिक वस्तुओं की छवियों का निर्माण करते समय। फ्रैक्टल ग्राफिक्स के लिए धन्यवाद, जटिल गैर-यूक्लिडियन वस्तुओं को लागू करने के लिए एक प्रभावी तरीका ईजाद किया गया था जिनकी छवियां प्राकृतिक वस्तुओं के समान हैं: ये फ्रैक्टल गुणांक को संश्लेषित करने के लिए एल्गोरिदम हैं, जो किसी भी तस्वीर की प्रतिलिपि को जितना संभव हो उतना करीब से पुन: पेश करना संभव बनाते हैं। मूल। दिलचस्प बात यह है कि फ्रैक्टल "पेंटिंग" के अलावा, फ्रैक्टल संगीत और फ्रैक्टल एनीमेशन भी हैं। ललित कलाओं में, एक दिशा है जो एक यादृच्छिक फ्रैक्टल की छवि प्राप्त करने से संबंधित है - "फ्रैक्टल मोनोटाइप" या "स्टोचैटिपी"।

फ्रैक्टल ग्राफिक्स का गणितीय आधार फ्रैक्टल ज्यामिति है, जहां मूल "मूल वस्तुओं" से विरासत का सिद्धांत "उत्तराधिकारी छवियों" के निर्माण के तरीकों का आधार है। फ्रैक्टल ज्योमेट्री और फ्रैक्टल ग्राफिक्स की अवधारणाएं लगभग 30 साल पहले ही सामने आईं, लेकिन कंप्यूटर डिजाइनरों और गणितज्ञों के रोजमर्रा के जीवन में पहले ही मजबूती से स्थापित हो चुकी हैं।

फ्रैक्टल कंप्यूटर ग्राफ़िक्स की मूल अवधारणाएँ हैं:

• भग्न त्रिभुज - भग्न आकृति - भग्न वस्तु (अवरोही क्रम में पदानुक्रम)
• भग्न रेखा
• भग्न रचना
• "मूल वस्तु" और "उत्तराधिकारी वस्तु"

वेक्टर और त्रि-आयामी ग्राफिक्स की तरह, फ्रैक्टल छवियों के निर्माण की गणना गणितीय रूप से की जाती है। पहले दो प्रकार के ग्राफ़िक्स से मुख्य अंतर यह है कि एक फ्रैक्टल छवि एक समीकरण या समीकरणों की प्रणाली के अनुसार बनाई जाती है - आपको सभी गणना करने के लिए कंप्यूटर की मेमोरी में सूत्र के अलावा कुछ भी संग्रहीत करने की आवश्यकता नहीं है - और यह गणितीय उपकरण की सघनता ने कंप्यूटर ग्राफिक्स में इस विचार के उपयोग की अनुमति दी। बस समीकरण के गुणांकों को बदलकर, आप आसानी से एक पूरी तरह से अलग फ्रैक्टल छवि प्राप्त कर सकते हैं - कई गणितीय गुणांकों का उपयोग करके, बहुत जटिल आकृतियों की सतहों और रेखाओं को निर्दिष्ट किया जाता है, जो आपको क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर, समरूपता और विषमता जैसी संरचना तकनीकों को लागू करने की अनुमति देता है। , विकर्ण दिशाएँ और भी बहुत कुछ।

फ्रैक्टल का निर्माण कैसे करें?

फ्रैक्टल्स का निर्माता एक ही समय में एक कलाकार, फोटोग्राफर, मूर्तिकार और वैज्ञानिक-आविष्कारक की भूमिका निभाता है। स्क्रैच से चित्र बनाने के आगामी चरण क्या हैं?

• गणितीय सूत्र का उपयोग करके चित्र का आकार निर्धारित करें
• प्रक्रिया के अभिसरण की जांच करें और इसके मापदंडों में बदलाव करें
• छवि प्रकार चुनें
• एक रंग पैलेट चुनें

आइए एक मनमाना भग्न ज्यामितीय आकृति की संरचना पर विचार करें। इसके केंद्र में सबसे सरल तत्व है - एक समबाहु त्रिभुज, जिसे एक ही नाम मिला: "फ्रैक्टल"। भुजाओं के मध्य खंड पर, हम समबाहु त्रिभुज का निर्माण करेंगे जिसकी भुजा मूल भग्न त्रिभुज की भुजा के एक तिहाई के बराबर होगी। उसी सिद्धांत का उपयोग करते हुए, दूसरी पीढ़ी के और भी छोटे उत्तराधिकारी त्रिकोण बनाए जाते हैं - और इसी तरह अनंत काल तक। परिणामी वस्तु को "फ्रैक्टल फिगर" कहा जाता है, जिसके अनुक्रम से हमें "फ्रैक्टल संरचना" प्राप्त होती है।

फ्रैक्टल ग्राफिक संपादकों और अन्य ग्राफिक कार्यक्रमों में हम निम्नलिखित पर प्रकाश डाल सकते हैं:

"आर्ट डब्बलर"
"पेंटर" (कंप्यूटर के बिना, कोई भी कलाकार केवल पेंसिल और ब्रश पेन के माध्यम से प्रोग्रामर द्वारा निर्धारित क्षमताओं को प्राप्त नहीं कर पाएगा)
"एडोब फोटोशॉप" (लेकिन यहां छवि "स्क्रैच से" नहीं बनाई गई है, बल्कि, एक नियम के रूप में, केवल संसाधित की गई है)

अपना अच्छा काम नॉलेज बेस में भेजना आसान है। नीचे दिए गए फॉर्म का उपयोग करें

छात्र, स्नातक छात्र, युवा वैज्ञानिक जो अपने अध्ययन और कार्य में ज्ञान आधार का उपयोग करते हैं, आपके बहुत आभारी होंगे।

प्रकाशित किया गया http://www.allbest.ru/

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय

विषय: भग्न- विशेषवस्तुओंजीवितऔरअजीवितशांति

खाबरोवस्क TOGU 2015

• विषयसूची
• भग्न ज्यामितीय भग्न ग्राफिक्स
• फ्रैक्टल्स का इतिहास
• भग्नों का वर्गीकरण
• ज्यामितीय भग्न
• बीजगणितीय भग्न
• भग्न का अनुप्रयोग
• फ्रैक्टल्स और हमारे आसपास की दुनिया
• फ्रैक्टल ग्राफिक्स
• भग्न का अनुप्रयोग
• प्राकृतिक विज्ञान
• रेडियो इंजीनियरिंग
• कंप्यूटर विज्ञान
• अर्थशास्त्र और वित्त

फ्रैक्टल्स का इतिहास

अक्सर हमारा सामना विशेष वस्तुओं से होता है, लेकिन कम ही लोग जानते हैं कि ये भग्न हैं। फ्रैक्टल अराजक दुनिया की अप्रत्याशित गतिविधियों से उत्पन्न अद्वितीय वस्तुएं हैं। वे छोटी वस्तुओं, जैसे कोशिका झिल्ली, और बड़ी वस्तुओं, जैसे सौर मंडल और आकाशगंगा, दोनों में पाए जाते हैं। रोजमर्रा की जिंदगी में, हम वॉलपेपर में, कपड़े पर, कंप्यूटर पर डेस्कटॉप स्क्रीनसेवर पर और प्रकृति में फ्रैक्टल देख सकते हैं - ये पौधे, समुद्री जानवर और प्राकृतिक घटनाएं हैं।

वैज्ञानिक प्राचीन काल से ही फ्रैक्टल से आकर्षित रहे हैं, और प्रोग्रामर और कंप्यूटर ग्राफिक्स विशेषज्ञ भी इन वस्तुओं को पसंद करते हैं। फ्रैक्टल्स की खोज दुनिया की मानवीय धारणा में एक क्रांति थी और कला और विज्ञान के एक नए सौंदर्यशास्त्र की खोज थी।

तो फ्रैक्टल क्या हैं? भग्न- एक ज्यामितीय आकृति जिसमें स्व-समानता का गुण होता है, अर्थात, कई भागों से बनी होती है, जिनमें से प्रत्येक पूरी आकृति के समान होती है।

फ्रैक्टल शब्द 1975 में प्रस्तावित किया गया था। बेनोइट मैंडेलब्रॉट को अनियमित, स्व-समान संरचनाओं को नामित करने के लिए कहा, जिनसे उनका संबंध था। फ्रैक्टल ज्योमेट्री का जन्म 1977 में उनकी पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" के प्रकाशन से हुआ। उनका काम वैज्ञानिकों पोंकारे, फतौ, जूलिया, कैंटर और हॉसडॉर्फ के कार्यों पर आधारित था, जिन्होंने 1875 में काम किया था? 1925 उसी क्षेत्र में। लेकिन यह केवल हमारे समय में ही हुआ कि वे अपने काम को एक प्रणाली में संयोजित करने में सक्षम हुए।

"फ्रैक्टल" की अवधारणा लैटिन "फ्रैक्टस" से ली गई है? टुकड़ों से मिलकर बना है। परिभाषाओं में से एक है: "फ्रैक्टल एक संरचना है जिसमें ऐसे हिस्से होते हैं, जो कुछ अर्थों में, संपूर्ण के समान होते हैं।"

बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने अपने कार्यों में कुछ प्राकृतिक घटनाओं को समझाने के लिए फ्रैक्टल्स के उपयोग के ज्वलंत उदाहरण दिए। उन्होंने एक दिलचस्प संपत्ति पर बहुत ध्यान दिया जो कई फ्रैक्टल्स में होती है। तथ्य यह है कि अक्सर एक फ्रैक्टल को मनमाने ढंग से छोटे भागों में विभाजित किया जा सकता है ताकि प्रत्येक भाग संपूर्ण की एक छोटी प्रति बन जाए। दूसरे शब्दों में, यदि हम एक फ्रैक्टल को माइक्रोस्कोप के माध्यम से देखते हैं, तो हम बिना माइक्रोस्कोप के उसी तस्वीर को देखकर आश्चर्यचकित हो जाएंगे। स्व-समानता का यह गुण फ्रैक्टल को शास्त्रीय ज्यामिति की वस्तुओं से अलग करता है।

आधुनिक वैज्ञानिकों के लिए, फ्रैक्टल का अध्ययन? सिर्फ ज्ञान का एक नया क्षेत्र नहीं. यह एक नई प्रकार की ज्यामिति की खोज है जो हमारे चारों ओर की दुनिया का वर्णन करती है और जिसे न केवल पाठ्यपुस्तकों में, बल्कि प्रकृति और असीमित ब्रह्मांड में भी देखा जा सकता है। अब, मैंडेलब्रॉट और अन्य वैज्ञानिकों ने फ्रैक्टल ज्यामिति के क्षेत्र का विस्तार किया है ताकि इसे दुनिया में लगभग हर चीज पर लागू किया जा सके, शेयर बाजार की कीमतों की भविष्यवाणी से लेकर सैद्धांतिक भौतिकी में नई खोज करने तक।

भग्नों का वर्गीकरण

फ्रैक्टल के विभिन्न वर्गीकरण हैं।

फ्रैक्टल्स का मुख्य वर्गीकरण ज्यामितीय और बीजीय में विभाजन है।

ज्यामितीय भग्न में सटीक आत्म-समानता होती है, और बीजगणितीय भग्न में लगभग आत्म-समानता होती है।

प्राकृतिक और मानव निर्मित फ्रैक्टल में भी विभाजन है।

मानव निर्मित फ्रैक्टल्स में वे शामिल हैं जिनका आविष्कार वैज्ञानिकों द्वारा किया गया था; उनमें किसी भी पैमाने पर फ्रैक्टल गुण होते हैं। प्राकृतिक भग्न अस्तित्व के क्षेत्र पर एक सीमा के अधीन हैं - अर्थात, अधिकतम और न्यूनतम आकार जिस पर कोई वस्तु भग्न गुण प्रदर्शित करती है।

सबसे सरल फ्रैक्टल ज्यामितीय फ्रैक्टल हैं।

ज्यामितीय भग्न

ज्यामितीय भग्न को शास्त्रीय, नियतात्मक या रैखिक भी कहा जाता है। वे सबसे अधिक दृश्यात्मक हैं, क्योंकि उनमें तथाकथित कठोर आत्म-समानता है, जो पैमाने बदलने पर नहीं बदलती है। इसका मतलब यह है कि आप फ्रैक्टल पर कितना भी करीब से ज़ूम करें, आपको अभी भी वही पैटर्न दिखाई देगा।

द्वि-आयामी मामले में, ऐसे फ्रैक्टल को जनरेटर नामक कुछ टूटी हुई रेखा को निर्दिष्ट करके प्राप्त किया जा सकता है। एल्गोरिदम के एक चरण में, किसी दिए गए पॉलीलाइन (आरंभकर्ता) के प्रत्येक खंड को उचित पैमाने पर जनरेटर पॉलीलाइन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रक्रिया की अंतहीन पुनरावृत्ति के परिणामस्वरूप, एक फ्रैक्टल वक्र प्राप्त होता है। इस वक्र की स्पष्ट जटिलता के बावजूद, इसका आकार केवल जनरेटर के आकार से निर्धारित होता है।

सबसे प्रसिद्ध ज्यामितीय भग्न: कोच वक्र, मिन्कोव्स्की वक्र, लेवी वक्र, ड्रैगन वक्र, सिएरपिंस्की नैपकिन और कालीन, ड्यूरर पेंटागन।

कुछ ज्यामितीय भग्नों का निर्माण

1). कोच वक्र.

इसका आविष्कार 1904 में हेल्गे वॉन कोच नामक जर्मन गणितज्ञ ने किया था। इसे बनाने के लिए, एक एकल खंड लिया जाता है, जिसे तीन समान भागों में विभाजित किया जाता है, और मध्य लिंक को इस लिंक के बिना एक समबाहु त्रिभुज से बदल दिया जाता है। अगले चरण में, हम चार परिणामी खंडों में से प्रत्येक के लिए ऑपरेशन दोहराते हैं। इस प्रक्रिया की अंतहीन पुनरावृत्ति के परिणामस्वरूप, एक फ्रैक्टल वक्र प्राप्त होता है।

2). सीरपिंस्की का रुमाल.

1915 में, पोलिश गणितज्ञ वेक्लाव सिएरपिंस्की एक दिलचस्प वस्तु लेकर आए। इसे बनाने के लिए एक ठोस समबाहु त्रिभुज लें। पहले चरण में, केंद्र से एक उलटा समबाहु त्रिभुज हटा दिया जाता है। दूसरा चरण शेष तीन त्रिभुजों में से तीन उल्टे त्रिभुजों को हटा देता है, इत्यादि। सिद्धांत के अनुसार, इस प्रक्रिया का कोई अंत नहीं होगा, और त्रिकोण में कोई रहने की जगह नहीं बचेगी, लेकिन यह अलग भी नहीं होगा - परिणाम एक ऐसी वस्तु होगी जिसमें केवल छेद होंगे।

3). हार्टर-हैथवे का ड्रैगन।

हार्टर ड्रैगन, जिसे हार्टर-हैथवे ड्रैगन के नाम से भी जाना जाता है, का अध्ययन सबसे पहले नासा के भौतिकविदों द्वारा किया गया था? जॉन हैथवे, विलियम हार्टर और ब्रूस बैंक्स। इसका वर्णन 1967 में मार्टिन गार्डनर द्वारा साइंटिफिक अमेरिकन के "गणितीय खेल" कॉलम में किया गया था।

अगले चरण में, प्रत्येक रेखा खंड को दो खंडों से बदल दिया जाता है जो एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की पार्श्व भुजाएँ बनाते हैं, जिसके लिए मूल खंड कर्ण होगा। परिणामस्वरूप, खंड समकोण पर मुड़ता प्रतीत होता है। विक्षेपण की दिशा बदलती रहती है। पहला खंड दाहिनी ओर झुकता है (जैसा कि यह बाएं से दाएं जाता है), दूसरा - बाईं ओर, तीसरा - फिर से दाईं ओर, आदि।

ज्यामितीय भग्न के उदाहरण

वक्रकोचनैपकिनसिएरपिन्स्की

अजगरहार्टर-हैथवे

भग्नों का दूसरा बड़ा समूह बीजगणितीय है। इन्हें यह नाम इसलिए मिला क्योंकि इनका निर्माण बीजगणितीय सूत्रों के आधार पर किया गया है।

बीजगणितीय भग्न

कंप्यूटर की सहायता के बिना जटिल (बीजगणितीय) फ्रैक्टल नहीं बनाए जा सकते। रंगीन परिणाम प्राप्त करने के लिए, इस कंप्यूटर में एक शक्तिशाली गणितीय सहप्रोसेसर और एक उच्च-रिज़ॉल्यूशन मॉनिटर होना चाहिए। इन्हें यह नाम इसलिए मिला क्योंकि इनका निर्माण बीजगणितीय सूत्रों के आधार पर किया गया है। इस सूत्र के गणितीय प्रसंस्करण के परिणामस्वरूप, स्क्रीन पर एक निश्चित रंग का एक बिंदु प्रदर्शित होता है। परिणाम एक अजीब आकृति है जिसमें सीधी रेखाएं वक्र में बदल जाती हैं, और स्व-समानता प्रभाव विभिन्न पैमाने के स्तरों पर दिखाई देते हैं, हालांकि विरूपण के बिना नहीं। कंप्यूटर स्क्रीन पर लगभग हर बिंदु एक अलग फ्रैक्टल की तरह होता है।

सबसे प्रसिद्ध बीजगणितीय फ्रैक्टल: मैंडेलब्रॉट और जूलिया सेट, न्यूटन पूल।

बीजगणितीय भग्नों में लगभग आत्म-समानता होती है। वास्तव में, यदि आप किसी जटिल फ्रैक्टल के एक छोटे से क्षेत्र को बड़ा करते हैं, और फिर उस क्षेत्र के एक छोटे से हिस्से पर भी ऐसा ही करते हैं, तो दोनों आवर्धन एक दूसरे से काफी भिन्न होंगे। दोनों छवियां विस्तार में बहुत समान होंगी, लेकिन वे पूरी तरह से समान नहीं होंगी।

बीजगणितीय भग्न

मैंडेलब्रॉट ने सन्निकटन निर्धारित किया

फ्रैक्टल्स का विज्ञान में अधिक से अधिक अनुप्रयोग हो रहा है। मुख्य कारण यह है कि वे पारंपरिक भौतिकी और गणित की तुलना में वास्तविक दुनिया का बेहतर वर्णन करते हैं।

भग्न का अनुप्रयोग

1). अराजकता सिद्धांत: फ्रैक्टल्स हमेशा अराजकता शब्द से जुड़े होते हैं। कैओस सिद्धांत को जटिल अरेखीय गतिशील प्रणालियों के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया गया है। अराजकता पूर्वानुमेयता का अभाव है। यह गतिशील प्रणालियों में तब होता है, जब दो बहुत करीबी प्रारंभिक मूल्यों के लिए, सिस्टम पूरी तरह से अलग व्यवहार करता है। अराजक गतिशील प्रणाली का एक उदाहरण मौसम है। ऐसी प्रणालियों के उदाहरण अशांत प्रवाह, जैविक आबादी, समाज और इसकी उपप्रणालियाँ हैं: आर्थिक, राजनीतिक और अन्य सामाजिक प्रणालियाँ। इस सिद्धांत की केंद्रीय अवधारणाओं में से एक प्रणाली की स्थिति की सटीक भविष्यवाणी करने की असंभवता है। कैओस सिद्धांत किसी प्रणाली की अव्यवस्था (सिस्टम की वंशानुगत अप्रत्याशितता) पर ध्यान केंद्रित नहीं करता है, बल्कि इसे विरासत में मिलने वाले क्रम (समान प्रणालियों का सामान्य व्यवहार) पर केंद्रित करता है। इस प्रकार, अराजकता का विज्ञान व्यवस्था के विभिन्न रूपों के बारे में विचारों की एक प्रणाली है, जहां यादृच्छिकता आयोजन सिद्धांत बन जाती है।

2). अर्थशास्त्र: प्रतिभूति बाजार का विश्लेषण।

3). खगोल भौतिकी: ब्रह्मांड में आकाशगंगा क्लस्टरिंग प्रक्रियाओं का विवरण।

4). भूविज्ञान: खनिज खुरदरेपन का अध्ययन;

5). मानचित्रकला: समुद्र तट के आकार का अध्ययन; नदी चैनलों के व्यापक नेटवर्क का अध्ययन।

6). तरल पदार्थ और गैसों की यांत्रिकी, सतहों की भौतिकी:

- जटिल प्रवाह की गतिशीलता और अशांति।

- आग की लपटों का मॉडलिंग;

7). जीव विज्ञान और चिकित्सा:

- जानवरों की आबादी और पक्षियों के प्रवास का मॉडलिंग;

- महामारी का मॉडलिंग;

- संचार प्रणाली की संरचना का विश्लेषण;

- कोशिका झिल्ली की जटिल सतहों पर विचार;

- शरीर के अंदर की प्रक्रियाओं का वर्णन, उदाहरण के लिए, दिल की धड़कन।

8). फ्रैक्टल एंटेना: एंटीना उपकरणों के डिजाइन में फ्रैक्टल ज्यामिति का उपयोग पहली बार अमेरिकी इंजीनियर नाथन कोहेन द्वारा किया गया था, जो उस समय बोस्टन शहर में रहते थे, जहां इमारतों पर बाहरी एंटेना की स्थापना निषिद्ध थी। उन्होंने एल्यूमीनियम फ़ॉइल से एक कोच वक्र आकार काटा और इसे कागज के एक टुकड़े पर चिपका दिया, फिर इसे रिसीवर से जोड़ दिया। यह पता चला कि ऐसा एंटीना सामान्य एंटीना से भी बदतर काम नहीं करता है। और यद्यपि ऐसे एंटीना के संचालन के भौतिक सिद्धांतों का अभी तक अध्ययन नहीं किया गया है, लेकिन इसने कोहेन को अपनी कंपनी स्थापित करने और उनके बड़े पैमाने पर उत्पादन शुरू करने से नहीं रोका।

9). छवि संपीड़न: फ्रैक्टल छवि संपीड़न एल्गोरिदम के फायदे बहुत छोटे पैक फ़ाइल आकार और कम छवि पुनर्प्राप्ति समय हैं। फ्रैक्टल संपीड़न का एक अन्य लाभ यह है कि जब छवि को बड़ा किया जाता है, तो कोई पिक्सेलेशन प्रभाव नहीं होता है (बिंदुओं के आकार को ऐसे आकार में बढ़ाना जो छवि को विकृत करता है)। फ्रैक्टल संपीड़न के साथ, इज़ाफ़ा के बाद, चित्र अक्सर पहले से भी बेहतर दिखता है।

10). कंप्यूटर ग्राफिक्स: कंप्यूटर ग्राफिक्स आज गहन विकास के दौर से गुजर रहा है। वह मॉनिटर स्क्रीन पर अनगिनत प्रकार की भग्न आकृतियों और परिदृश्यों को फिर से बनाने में सक्षम थी, जिससे दर्शक एक अद्भुत आभासी स्थान में डूब जाता था। आजकल, अपेक्षाकृत सरल एल्गोरिदम की मदद से, शानदार परिदृश्यों और आकृतियों की त्रि-आयामी छवियां बनाना संभव हो गया है जिन्हें समय के साथ और भी रोमांचक चित्रों में बदला जा सकता है। पहाड़ों, फूलों और पेड़ों से मिलते-जुलते फ्रैक्टल की प्रवृत्ति का कुछ ग्राफिक संपादकों द्वारा शोषण किया जाता है (उदाहरण के लिए, 3डी स्टूडियो मैक्स से फ्रैक्टल क्लाउड, वर्ल्ड बिल्डर में फ्रैक्टल पर्वत)। फ्रैक्टल मॉडल आज कंप्यूटर गेम में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं, जिससे उनमें एक ऐसा वातावरण बन जाता है जिसे वास्तविकता से अलग करना मुश्किल होता है।

बीसवीं सदी का अंत न केवल आश्चर्यजनक रूप से सुंदर और असीम रूप से विविध संरचनाओं, जिन्हें फ्रैक्टल कहा जाता है, की खोज से चिह्नित किया गया था, बल्कि प्रकृति की फ्रैक्टल प्रकृति के बारे में जागरूकता से भी चिह्नित किया गया था। हमारे आस-पास की दुनिया बहुत विविध है, और इसकी वस्तुएं यूक्लिडियन रेखाओं और सतहों के कठोर ढांचे में फिट नहीं बैठती हैं।

फ्रैक्टल्स और हमारे आसपास की दुनिया

« सुंदरता हमेशा सापेक्ष होती है... हमें यह नहीं मान लेना चाहिए कि समुद्र के किनारे वास्तव में आकारहीन हैं क्योंकि उनका आकार हमारे द्वारा बनाए गए घाटों के नियमित आकार से भिन्न है; पर्वतों का आकार इस आधार पर अनियमित नहीं माना जा सकता कि वे नियमित शंकु या पिरामिड नहीं हैं; सिर्फ इसलिए कि तारों के बीच की दूरियाँ असमान हैं, इसका मतलब यह नहीं है कि वे किसी अयोग्य हाथ से आकाश में बिखरे हुए थे। ये गलतियाँ केवल हमारी कल्पना में मौजूद हैं , वास्तव में, वे ऐसे नहीं हैं और किसी भी तरह से पृथ्वी पर जीवन की वास्तविक अभिव्यक्तियों में हस्तक्षेप नहीं करते हैं, न ही पौधों और जानवरों के साम्राज्य में, न ही लोगों के बीच। ये शब्द 17वीं सदी के अंग्रेज वैज्ञानिक के हैं. रिचर्ड बेंटले संकेत देते हैं कि तटों, पहाड़ों और आकाशीय पिंडों के रूपों को संयोजित करने और उन्हें यूक्लिडियन निर्माणों के साथ तुलना करने का विचार बहुत लंबे समय से लोगों के मन में उठता रहा।

गैलीलियो गैलीली ने कहा कि "प्रकृति की महान पुस्तक ज्यामिति की भाषा में लिखी गई है।" अब हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि यह फ्रैक्टल ज्योमेट्री की भाषा में लिखा गया है।

हम प्रकृति में जो कुछ भी देखते हैं वह अक्सर हमें उसी पैटर्न की अंतहीन पुनरावृत्ति से आकर्षित करता है, जिसे इच्छानुसार कई बार बढ़ाया या घटाया जाता है। समुद्र तट की विचित्र आकृतियाँ और नदियों के जटिल मोड़, पर्वत श्रृंखलाओं की टूटी हुई सतहें और बादलों की रूपरेखा, पेड़ों की फैली हुई शाखाएँ और मूंगा चट्टानें, मोमबत्ती की डरपोक झिलमिलाहट और पहाड़ी नदियों की झागदार धाराएँ - ये सभी भग्न हैं। उनमें से कुछ, जैसे बादल या तूफानी धाराएँ, लगातार अपना आकार बदलते रहते हैं, अन्य, जैसे पेड़ या पर्वत श्रृंखलाएँ, अपनी संरचना अपरिवर्तित बनाए रखते हैं। सभी प्रकार की भग्न संरचनाओं में समानता उनकी आत्म-समानता है - मुख्य संपत्ति जो भग्न में मूल कानून की पूर्ति सुनिश्चित करती है - ब्रह्मांड की विविधता में एकता का कानून।

मानव प्रणालियाँ और अंग भी भग्न संरचनाएँ हैं। उदाहरण के लिए, रक्त वाहिकाएं कई बार शाखा करती हैं, यानी। भग्न प्रकृति है. हृदय की विद्युत गतिविधि एक भग्न प्रक्रिया है। हृदय रोग विशेषज्ञों ने पता लगाया है कि दिल की धड़कन की वर्णक्रमीय विशेषताएं भूकंप और आर्थिक घटनाओं की तरह ही भग्न नियमों का पालन करती हैं। पाचन तंत्र के ऊतकों में, एक लहरदार सतह दूसरे में अंतर्निहित होती है। फेफड़े भी एक बड़े क्षेत्र को एक छोटी सी जगह में निचोड़ने का एक उदाहरण प्रस्तुत करते हैं। वास्तव में, मानव शरीर की संपूर्ण संरचना भग्न प्रकृति की है; इसे वैज्ञानिकों ने पहले ही मान लिया है। एक एकल सरल का सिद्धांत, एक विविध परिसर को परिभाषित करना, मानव जीनोम में अंतर्निहित है, जब एक जीवित जीव की एक कोशिका में संपूर्ण जीव के बारे में जानकारी होती है।

प्रकृति में भग्न संरचनाएँ

यहाँ कुछ नमूना तस्वीरें हैं:

जैसा कि जीवविज्ञानी जॉन हाल्डेन ने कहा, "दुनिया न केवल जितना हम सोचते हैं उससे अधिक अजीब है, बल्कि हम जितना सोच सकते हैं उससे भी अधिक अजीब है।" फ्रैक्टल मैंडेलब्रॉट के आविष्कार नहीं हैं। वे वस्तुनिष्ठ रूप से मौजूद हैं। प्राकृतिक रूपों और प्रक्रियाओं में, विज्ञान और कला में, जो इस दुनिया को प्रतिबिंबित और समझते हैं। यह "फ्रैक्टल ज्योमेट्री के विचारों की बदौलत दुनिया के बारे में हमारा दृष्टिकोण बदलने के लिए" था कि बेनोइट मैंडेलब्रॉट को 1993 में भौतिकी में मानद वुल्फ पुरस्कार से सम्मानित किया गया था।

वर्तमान में, फ्रैक्टल पेंटिंग बहुत लोकप्रिय हैं। वे बिल्कुल शानदार प्रभाव डालते हैं। कई पतली रेखाएँ एक संपूर्ण बनाती हैं, या असामान्य तत्व एक ही चित्र में गुंथे हुए होते हैं। तेज़ रोशनी की चमक और मध्यम चिकनी रेखाएँ। भग्न सजीव प्रतीत होता है। यह जलता है, यह चमकता है, यह आकर्षित करता है, और आप सबसे छोटे और सबसे महत्वहीन विवरण का अध्ययन करते हुए भी इससे अपनी आँखें नहीं हटा सकते हैं।

फ्रैक्टल ग्राफिक्स

इंटीरियर में फ्रैक्टल पेंटिंग

भग्न का अनुप्रयोग

प्राकृतिक विज्ञान

भौतिकी में, अरेखीय प्रक्रियाओं, जैसे कि अशांत द्रव प्रवाह, जटिल प्रसार-सोखना प्रक्रियाएं, लपटें, बादल और इसी तरह की मॉडलिंग करते समय फ्रैक्टल स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। फ्रैक्टल्स का उपयोग झरझरा सामग्री के मॉडलिंग में किया जाता है, उदाहरण के लिए, पेट्रोकेमिकल्स में। जीव विज्ञान में, उनका उपयोग आबादी को मॉडल करने और आंतरिक अंग प्रणालियों (रक्त वाहिका प्रणाली) का वर्णन करने के लिए किया जाता है। कोच वक्र के निर्माण के बाद, समुद्र तट की लंबाई की गणना करते समय इसका उपयोग करने का प्रस्ताव किया गया था।

रेडियो इंजीनियरिंग

एंटीना उपकरणों के डिजाइन में फ्रैक्टल ज्यामिति का उपयोग पहली बार अमेरिकी इंजीनियर नाथन कोहेन द्वारा किया गया था, जो उस समय बोस्टन शहर में रहते थे, जहां इमारतों पर बाहरी एंटेना की स्थापना निषिद्ध थी। नाथन ने एल्यूमीनियम फ़ॉइल से एक कोच वक्र आकार काटा और इसे कागज के एक टुकड़े पर चिपका दिया, फिर इसे रिसीवर से जोड़ दिया। कोहेन ने अपनी खुद की कंपनी की स्थापना की और उनका बड़े पैमाने पर उत्पादन शुरू किया।

कंप्यूटर विज्ञान

छवि संपीड़न

भग्न वृक्ष

फ्रैक्टल्स का उपयोग करके छवि संपीड़न एल्गोरिदम हैं। वे इस विचार पर आधारित हैं कि छवि के बजाय, कोई एक संपीड़न मानचित्र संग्रहीत कर सकता है जिसके लिए यह छवि (या कोई करीबी) एक निश्चित बिंदु है। इस एल्गोरिदम के एक संस्करण का उपयोग माइक्रोसॉफ्ट द्वारा अपने विश्वकोश को प्रकाशित करते समय किया गया था, लेकिन इन एल्गोरिदम का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया था।

कंप्यूटर चित्रलेख

प्राकृतिक वस्तुओं, जैसे कि पेड़, झाड़ियाँ, पहाड़ी परिदृश्य, समुद्री सतह आदि की छवियां बनाने के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल्स का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। फ्रैक्टल छवियाँ उत्पन्न करने के लिए कई कार्यक्रम उपलब्ध हैं।

विकेन्द्रीकृतनेटवर्क

नेटसुकुकु नेटवर्क में आईपी एड्रेस असाइनमेंट सिस्टम (यह नेटवर्क एक वितरित स्व-संगठित पीयर-टू-पीयर नेटवर्क बनाने के लिए एक परियोजना है जो केंद्रीय प्रोसेसर और मेमोरी पर न्यूनतम लोड के साथ बड़ी संख्या में नोड्स की बातचीत सुनिश्चित करने में सक्षम है) का उपयोग करता है नेटवर्क नोड्स के बारे में जानकारी को कॉम्पैक्ट रूप से संग्रहीत करने के लिए फ्रैक्टल सूचना संपीड़न का सिद्धांत। नेत्सुकुकु नेटवर्क में प्रत्येक नोड पड़ोसी नोड्स की स्थिति के बारे में केवल 4 KB जानकारी संग्रहीत करता है, जबकि कोई भी नया नोड आईपी पते के वितरण के केंद्रीय विनियमन की आवश्यकता के बिना सामान्य नेटवर्क से जुड़ता है, जो, उदाहरण के लिए, के लिए विशिष्ट है। इंटरनेट। इस प्रकार, फ्रैक्टल सूचना संपीड़न का सिद्धांत पूरी तरह से विकेंद्रीकृत की गारंटी देता है, और इसलिए, पूरे नेटवर्क का सबसे स्थिर संचालन।

अर्थशास्त्र और वित्त

ए. ए. अल्माज़ोव ने अपनी पुस्तक "फ्रैक्टल थ्योरी" में। बाज़ारों के बारे में अपना दृष्टिकोण कैसे बदलें” ने स्टॉक उद्धरणों का विश्लेषण करते समय, विशेष रूप से विदेशी मुद्रा बाज़ार में, फ्रैक्टल्स का उपयोग करने का एक तरीका सुझाया।

हर बार जब आप फ्रैक्टल को देखते हैं, तो आप सोचते हैं कि वास्तविक दुनिया और गणित की दुनिया कितनी सुंदर है, और गणित वास्तव में एक ऐसी भाषा है जो ब्रह्मांड में मौजूद लगभग हर चीज का वर्णन कर सकती है।

ग्रन्थसूची

1. मैंडेलब्रॉट बी. प्रकृति की भग्न ज्यामिति। एम.: "इंस्टीट्यूट ऑफ कंप्यूटर रिसर्च", 2002. 656 पी।

2. मोरोज़ोव ए.डी. फ्रैक्टल के सिद्धांत का परिचय. एन. नोवगोरोड: पब्लिशिंग हाउस निज़नी नोवगोरोड। विश्वविद्यालय, 1999, 140 पी.

3. पीटगेन एच.-ओ., रिक्टर पी. एच. फ्रैक्टल्स की सुंदरता। एम.: "मीर", 1993. - 176 पी।

4. तिखोपलाव वी.यू., तिखोपलाव टी.एस. अराजकता का सामंजस्य, या भग्न वास्तविकता। सेंट पीटर्सबर्ग: पब्लिशिंग हाउस "वेस", 2003. 340 पी।

5. फेडर ई. फ्रैक्टल्स। एम: "मीर", 1991. 254 पी।

6. श्रोएडर एम. फ्रैक्टल्स, अराजकता, शक्ति कानून। अनंत स्वर्ग से लघुचित्र। इज़ेव्स्क: "आरकेएचडी", 2001. 528 पी।

फ्रैक्टल के बारे में साइटों की सूची

1. http://www.fractals.nsu.ru.

2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.

3. http://www.multifractal.naroad.ru.

4. http://algolist.manual.ru.

Allbest.ru पर पोस्ट किया गया

समान दस्तावेज़

इंजीनियरिंग सतह की विशेषताओं में से एक के रूप में फ्रैक्टल आयाम पर विचार। प्राकृतिक भग्न का वर्णन. एक गैर-चिकनी (टूटी हुई) रेखा की लंबाई मापना। समानता और स्केलिंग, आत्म-समानता और आत्म-संबंध। परिधि-क्षेत्र संबंध.

परीक्षण, 12/23/2015 जोड़ा गया


भग्न सिद्धांत के उद्भव का इतिहास। फ्रैक्टल एक स्व-समान संरचना है जिसकी छवि पैमाने पर निर्भर नहीं करती है। यह एक पुनरावर्ती मॉडल है, जिसका प्रत्येक भाग अपने विकास में संपूर्ण मॉडल के विकास को दोहराता है। फ्रैक्टल के सिद्धांत का व्यावहारिक अनुप्रयोग।

वैज्ञानिक कार्य, 05/12/2010 को जोड़ा गया


क्लासिक भग्न. स्व-समानता. स्नोफ्लेक कोच. सीरपिंस्की कालीन. एल-सिस्टम। अराजक गतिशीलता. लोरेंत्ज़ आकर्षित करने वाला। मैंडेलब्रॉट और जूलिया सेट। कंप्यूटर प्रौद्योगिकी में फ्रैक्टल का अनुप्रयोग.

पाठ्यक्रम कार्य, 05/26/2006 को जोड़ा गया


कुछ चतुर्भुजों की विशेषताएँ. गतिशील ज्यामिति वातावरण में ज्यामितीय स्थितियों के मॉडल का कार्यान्वयन। गतिशील वातावरण "लिविंग ज्योमेट्री" की विशेषताएं, इसमें समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज, आयत और वर्ग मॉडल के निर्माण की विशेषताएं।

पाठ्यक्रम कार्य, 05/28/2013 को जोड़ा गया


दुनिया की ज्यामितीय तस्वीर और फ्रैक्टल के सिद्धांत के उद्भव के लिए पूर्वापेक्षाएँ। एक नियतात्मक एल-प्रणाली के तत्व: वर्णमाला, आरंभीकरण शब्द और उत्पन्न करने वाले नियमों का एक सेट। सामाजिक प्रक्रियाओं के भग्न गुण: तालमेल और अराजक गतिशीलता।

पाठ्यक्रम कार्य, 03/22/2014 जोड़ा गया


जीवित प्रकृति में ज्यामितीय कानूनों की अभिव्यक्तियों का अध्ययन और शैक्षिक व्यावहारिक गतिविधियों में उनका उपयोग। ज्यामितीय नियमों का वर्णन और ज्यामितीय निर्माणों का सार। ग्राफिक शिक्षा और आधुनिक दुनिया में इसका स्थान।

थीसिस, 06/24/2010 को जोड़ा गया


एक मॉडल की अवधारणा की परिभाषा, विज्ञान और रोजमर्रा की जिंदगी में उनके आवेदन की आवश्यकता। सामग्री की विशेषताएँ और आदर्श मॉडलिंग विधियाँ। गणितीय मॉडल का वर्गीकरण (नियतात्मक, स्टोकेस्टिक), उनके निर्माण की प्रक्रिया के चरण।

सार, 08/20/2015 को जोड़ा गया


भागों की व्यवस्था में समरूपता, आनुपातिकता, आनुपातिकता और एकरूपता की अवधारणाओं का अध्ययन। ज्यामितीय आकृतियों के सममित गुणों की विशेषताएँ। तार्किक समस्याओं को हल करने में वास्तुकला, प्रकृति और प्रौद्योगिकी में समरूपता की भूमिका का विवरण।

प्रस्तुतिकरण, 12/06/2011 को जोड़ा गया


विज्ञान के गणितीकरण का इतिहास. गणितीकरण की बुनियादी विधियाँ। गणितीकरण की सीमाएँ और समस्याएँ। विभिन्न विज्ञानों में गणितीय तरीकों को लागू करने की समस्याएं स्वयं गणित (मॉडल का गणितीय अध्ययन), मॉडलिंग के क्षेत्र से जुड़ी हैं।

सार, 05/24/2005 जोड़ा गया


स्वर्णिम अनुपात के अध्ययन की अवधारणा और इतिहास। गणित, प्रकृति, वास्तुकला और चित्रकला में इसके प्रतिबिंब की विशेषताएं। निर्माण का क्रम और सिद्धांत, संरचना और सुनहरे खंड के व्यावहारिक अनुप्रयोग के क्षेत्र, गणितीय औचित्य और अर्थ।

अक्सर, विज्ञान में की गई शानदार खोजें हमारे जीवन को मौलिक रूप से बदल सकती हैं। उदाहरण के लिए, वैक्सीन का आविष्कार कई लोगों को बचा सकता है, लेकिन नए हथियारों के निर्माण से हत्या होती है। सचमुच कल (इतिहास के पैमाने पर) मनुष्य ने बिजली को "वश में" कर लिया, और आज वह इसके बिना अपने जीवन की कल्पना नहीं कर सकता। हालाँकि, ऐसी खोजें भी हैं, जैसा कि कहा जाता है, छाया में रहती हैं, इस तथ्य के बावजूद कि उनका हमारे जीवन पर कोई न कोई प्रभाव भी पड़ता है। इनमें से एक खोज फ्रैक्टल थी। अधिकांश लोगों ने इस अवधारणा के बारे में कभी सुना भी नहीं है और वे इसका अर्थ समझाने में भी सक्षम नहीं होंगे। इस लेख में हम इस प्रश्न को समझने का प्रयास करेंगे कि फ्रैक्टल क्या है और विज्ञान और प्रकृति के दृष्टिकोण से इस शब्द के अर्थ पर विचार करेंगे।

अराजकता में आदेश

यह समझने के लिए कि फ्रैक्टल क्या है, हमें गणित के दृष्टिकोण से डीब्रीफिंग शुरू करनी चाहिए, लेकिन इसमें गहराई से जाने से पहले, हम थोड़ा दार्शनिक विचार करेंगे। प्रत्येक व्यक्ति में एक स्वाभाविक जिज्ञासा होती है, जिसकी बदौलत वह अपने आस-पास की दुनिया के बारे में सीखता है। अक्सर, ज्ञान की खोज में, वह अपने निर्णयों में तर्क का उपयोग करने का प्रयास करता है। इस प्रकार, अपने आस-पास होने वाली प्रक्रियाओं का विश्लेषण करके, वह संबंधों की गणना करने और कुछ पैटर्न प्राप्त करने का प्रयास करता है। ग्रह पर सबसे महान दिमाग इन समस्याओं को सुलझाने में व्यस्त हैं। मोटे तौर पर कहें तो, हमारे वैज्ञानिक ऐसे पैटर्न की तलाश कर रहे हैं जहां कोई नहीं है, और कोई होना भी नहीं चाहिए। और फिर भी, अराजकता में भी कुछ घटनाओं के बीच एक संबंध होता है। यह कनेक्शन ही फ्रैक्टल है। उदाहरण के तौर पर, सड़क पर पड़ी एक टूटी हुई शाखा पर विचार करें। यदि हम इसे ध्यान से देखें तो पाएंगे कि अपनी सभी शाखाओं और टहनियों के साथ यह स्वयं एक पेड़ जैसा दिखता है। एक पूरे के साथ एक अलग हिस्से की यह समानता पुनरावर्ती आत्म-समानता के तथाकथित सिद्धांत को इंगित करती है। फ्रैक्टल प्रकृति में हर जगह पाए जा सकते हैं, क्योंकि कई अकार्बनिक और कार्बनिक रूप एक ही तरह से बनते हैं। ये बादल, समुद्री सीपियाँ, घोंघे की शैलें, पेड़ों के मुकुट और यहाँ तक कि परिसंचरण तंत्र भी हैं। यह सूची अनिश्चित काल तक जारी रखी जा सकती है। इन सभी यादृच्छिक आकृतियों को फ्रैक्टल एल्गोरिदम द्वारा आसानी से वर्णित किया गया है। अब हम इस बात पर विचार करने आए हैं कि सटीक विज्ञान के दृष्टिकोण से फ्रैक्टल क्या है।

कुछ सूखे तथ्य

शब्द "फ्रैक्टल" का लैटिन से अनुवाद "आंशिक", "विभाजित", "खंडित" के रूप में किया गया है, और जहां तक ​​इस शब्द की सामग्री का सवाल है, ऐसा कोई सूत्रीकरण नहीं है। इसे आमतौर पर एक स्व-समान सेट, संपूर्ण का एक हिस्सा, के रूप में व्याख्या किया जाता है, जो सूक्ष्म स्तर पर इसकी संरचना को दोहराता है। यह शब्द बीसवीं शताब्दी के सत्तर के दशक में बेनोइट मंडेलब्रोट द्वारा गढ़ा गया था, जिन्हें पिता के रूप में मान्यता प्राप्त है। आज, फ्रैक्टल की अवधारणा का अर्थ एक निश्चित संरचना की ग्राफिक छवि है, जो बड़ा होने पर, स्वयं के समान होगी। हालाँकि, इस सिद्धांत के निर्माण का गणितीय आधार स्वयं मैंडलब्रॉट के जन्म से पहले ही रखा गया था, लेकिन इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर आने तक इसका विकास नहीं हो सका।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि, या यह सब कैसे शुरू हुआ

19वीं और 20वीं शताब्दी के मोड़ पर, फ्रैक्टल्स की प्रकृति का अध्ययन छिटपुट था। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि गणितज्ञ उन वस्तुओं का अध्ययन करना पसंद करते थे जिन पर सामान्य सिद्धांतों और विधियों के आधार पर शोध किया जा सकता था। 1872 में, जर्मन गणितज्ञ के. वीयरस्ट्रैस ने एक सतत फलन का एक उदाहरण बनाया जो कहीं भी भिन्न नहीं है। हालाँकि, यह निर्माण पूरी तरह से अमूर्त और समझने में कठिन निकला। इसके बाद स्वीडन के हेल्गे वॉन कोच आए, जिन्होंने 1904 में एक सतत वक्र का निर्माण किया, जिसमें कहीं भी कोई स्पर्शरेखा नहीं थी। इसे बनाना काफी आसान है और इसमें भग्न गुण होते हैं। इस वक्र के एक प्रकार का नाम इसके लेखक - "कोच स्नोफ्लेक" के नाम पर रखा गया था। इसके अलावा, आकृतियों की आत्म-समानता का विचार बी. मंडेलब्रॉट के भावी गुरु, फ्रांसीसी पॉल लेवी द्वारा विकसित किया गया था। 1938 में, उन्होंने "समतल और स्थानिक वक्र और समग्र के समान भागों से बनी सतहें" लेख प्रकाशित किया। इसमें उन्होंने एक नए प्रकार - लेवी सी-वक्र का वर्णन किया। उपरोक्त सभी आकृतियों को पारंपरिक रूप से ज्यामितीय भग्न के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

गतिशील या बीजगणितीय भग्न

मैंडेलब्रॉट सेट इसी वर्ग का है। इस दिशा में पहले शोधकर्ता फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फतौ और गैस्टन जूलिया थे। 1918 में, जूलिया ने तर्कसंगत जटिल कार्यों के पुनरावृत्तियों के अध्ययन पर आधारित एक पेपर प्रकाशित किया। यहां उन्होंने फ्रैक्टल्स के एक परिवार का वर्णन किया है जो मैंडेलब्रॉट सेट से निकटता से संबंधित है। इस तथ्य के बावजूद कि इस कार्य ने गणितज्ञों के बीच लेखक को गौरवान्वित किया, इसे जल्दी ही भुला दिया गया। और केवल आधी सदी बाद, कंप्यूटर की बदौलत जूलिया के काम को दूसरा जीवन मिला। कंप्यूटर ने फ्रैक्टल की दुनिया की सुंदरता और समृद्धि को हर व्यक्ति के लिए दृश्यमान बनाना संभव बना दिया, जिसे गणितज्ञ फ़ंक्शंस के माध्यम से प्रदर्शित करके "देख" सकते थे। मैंडलब्रॉट गणना करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे (इतनी मात्रा मैन्युअल रूप से नहीं की जा सकती) जिससे इन आंकड़ों की छवि बनाना संभव हो गया।

स्थानिक कल्पना वाला व्यक्ति

मैंडेलब्रॉट ने अपने वैज्ञानिक करियर की शुरुआत आईबीएम रिसर्च सेंटर से की। लंबी दूरी पर डेटा संचारित करने की संभावनाओं का अध्ययन करते समय, वैज्ञानिकों को शोर हस्तक्षेप के कारण होने वाले बड़े नुकसान के तथ्य का सामना करना पड़ा। बेनोइट इस समस्या को हल करने के तरीकों की तलाश में थे। माप परिणामों को देखते हुए, उन्होंने एक अजीब पैटर्न देखा, अर्थात्: शोर ग्राफ अलग-अलग समय के पैमाने पर समान दिखते थे।

एक समान तस्वीर एक दिन और सात दिन या एक घंटे तक देखी गई। बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने स्वयं अक्सर दोहराया कि वह सूत्रों के साथ काम नहीं करते, बल्कि चित्रों के साथ खेलते हैं। यह वैज्ञानिक कल्पनाशील सोच से प्रतिष्ठित था; उसने किसी भी बीजगणितीय समस्या का ज्यामितीय क्षेत्र में अनुवाद किया, जहां सही उत्तर स्पष्ट है। इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि वह अपनी संपत्ति से प्रतिष्ठित थे और फ्रैक्टल ज्यामिति के जनक बने। आख़िरकार, इस आकृति के बारे में जागरूकता तभी आ सकती है जब आप चित्रों का अध्ययन करेंगे और पैटर्न बनाने वाले इन अजीब भंवरों के अर्थ के बारे में सोचेंगे। फ्रैक्टल पैटर्न में समान तत्व नहीं होते हैं, लेकिन वे किसी भी पैमाने पर समान होते हैं।

जूलिया - मैंडलब्रोट

इस आकृति के पहले चित्रों में से एक सेट की ग्राफिक व्याख्या थी, जो गैस्टन जूलिया के काम से पैदा हुई थी और इसे मैंडेलब्रॉट द्वारा आगे विकसित किया गया था। गैस्टन ने कल्पना करने की कोशिश की कि फीडबैक लूप के माध्यम से पुनरावृत्त किए गए एक सरल सूत्र के आधार पर एक सेट कैसा दिखेगा। आइए यह समझाने की कोशिश करें कि मानव भाषा में, यानी उंगलियों पर, क्या कहा गया है। किसी विशिष्ट संख्यात्मक मान के लिए, हम एक सूत्र का उपयोग करके एक नया मान पाते हैं। हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और निम्नलिखित पाते हैं। परिणाम बड़ा है। ऐसे सेट का प्रतिनिधित्व करने के लिए इस ऑपरेशन को बड़ी संख्या में करना आवश्यक है: सैकड़ों, हजारों, लाखों। बेनोइट ने यही किया। उन्होंने अनुक्रम को संसाधित किया और परिणामों को ग्राफिकल रूप में स्थानांतरित कर दिया। इसके बाद, उन्होंने परिणामी आकृति को रंग दिया (प्रत्येक रंग एक निश्चित संख्या में पुनरावृत्तियों से मेल खाता है)। इस ग्राफिक छवि को "मैंडेलब्रॉट फ्रैक्टल" नाम दिया गया था।

एल. बढ़ई: प्रकृति द्वारा निर्मित कला

फ्रैक्टल के सिद्धांत को शीघ्र ही व्यावहारिक अनुप्रयोग मिल गया। चूँकि यह स्वयं-समान छवियों के दृश्य से बहुत निकटता से संबंधित है, कलाकार इन असामान्य रूपों के निर्माण के लिए सिद्धांतों और एल्गोरिदम को अपनाने वाले पहले व्यक्ति थे। उनमें से पहले पिक्सर के भावी संस्थापक, लॉरेन कारपेंटर थे। विमान प्रोटोटाइप की प्रस्तुति पर काम करते समय, उन्हें पृष्ठभूमि के रूप में पहाड़ों की एक छवि का उपयोग करने का विचार आया। आज, लगभग हर कंप्यूटर उपयोगकर्ता इस तरह के कार्य का सामना कर सकता है, लेकिन पिछली शताब्दी के सत्तर के दशक में, कंप्यूटर ऐसी प्रक्रियाएं करने में सक्षम नहीं थे, क्योंकि उस समय त्रि-आयामी ग्राफिक्स के लिए कोई ग्राफिक संपादक या एप्लिकेशन नहीं थे। और फिर लोरेन को मैंडेलब्रॉट की पुस्तक "फ्रैक्टल्स: फॉर्म, रैंडमनेस एंड डायमेंशन" मिली। इसमें, बेनोइट ने कई उदाहरण दिए, यह दिखाते हुए कि फ्रैक्टल प्रकृति में मौजूद हैं (fyva), उन्होंने उनके विभिन्न आकारों का वर्णन किया और साबित किया कि उन्हें गणितीय अभिव्यक्तियों द्वारा आसानी से वर्णित किया जा सकता है। गणितज्ञ ने इस सादृश्य को उस सिद्धांत की उपयोगिता के तर्क के रूप में उद्धृत किया जिसे वह अपने सहयोगियों की आलोचना के जवाब में विकसित कर रहे थे। उन्होंने तर्क दिया कि फ्रैक्टल सिर्फ एक सुंदर तस्वीर है, इसका कोई मूल्य नहीं है, और यह इलेक्ट्रॉनिक मशीनों के काम का उप-उत्पाद है। कारपेंटर ने इस पद्धति को व्यवहार में आज़माने का निर्णय लिया। पुस्तक का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने के बाद, भविष्य के एनिमेटर ने कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल ज्यामिति को लागू करने का तरीका ढूंढना शुरू कर दिया। अपने कंप्यूटर पर पहाड़ी परिदृश्य की पूरी तरह यथार्थवादी छवि प्रस्तुत करने में उन्हें केवल तीन दिन लगे। और आज इस सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जैसा कि यह पता चला है, फ्रैक्टल बनाने में अधिक समय और प्रयास नहीं लगता है।

बढ़ई का समाधान

लॉरेन ने जिस सिद्धांत का प्रयोग किया वह सरल था। इसमें बड़े तत्वों को छोटे तत्वों में विभाजित करना और उन्हें समान छोटे तत्वों में विभाजित करना शामिल है, इत्यादि। बढ़ई ने, बड़े त्रिकोणों का उपयोग करते हुए, उन्हें 4 छोटे त्रिकोणों में विभाजित किया, और इसी तरह, जब तक कि उसे एक यथार्थवादी पहाड़ी परिदृश्य नहीं मिल गया। इस प्रकार, वह आवश्यक छवि बनाने के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करने वाले पहले कलाकार बन गए। आज इस सिद्धांत का उपयोग विभिन्न यथार्थवादी प्राकृतिक रूपों की नकल करने के लिए किया जाता है।

फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करके पहला 3डी विज़ुअलाइज़ेशन

कुछ साल बाद, लॉरेन ने अपने विकास को एक बड़े पैमाने के प्रोजेक्ट - एनिमेटेड वीडियो वॉल लिब्रे में लागू किया, जो 1980 में सिग्राफ पर दिखाया गया था। इस वीडियो ने कई लोगों को चौंका दिया और इसके निर्माता को लुकासफिल्म में काम करने के लिए आमंत्रित किया गया। यहां एनिमेटर अपनी पूरी क्षमता का एहसास करने में सक्षम था; उन्होंने फीचर फिल्म "स्टार ट्रेक" के लिए त्रि-आयामी परिदृश्य (एक संपूर्ण ग्रह) बनाया। कोई भी आधुनिक प्रोग्राम ("फ्रैक्टल्स") या 3डी ग्राफिक्स (टेराजेन, व्यू, ब्राइस) बनाने के लिए एप्लिकेशन बनावट और सतहों के मॉडलिंग के लिए समान एल्गोरिदम का उपयोग करता है।

टॉम बेडार्ड

पूर्व में एक लेजर भौतिक विज्ञानी और अब एक डिजिटल कलाकार और कलाकार, बेडार्ड ने कई बहुत ही दिलचस्प ज्यामितीय आकृतियाँ बनाईं, जिन्हें उन्होंने फैबर्ज फ्रैक्टल्स कहा। बाह्य रूप से, वे एक रूसी जौहरी के सजावटी अंडों से मिलते जुलते हैं; उनके पास समान शानदार, जटिल पैटर्न है। बेडडार्ड ने मॉडलों के अपने डिजिटल रेंडरिंग बनाने के लिए एक टेम्पलेट विधि का उपयोग किया। परिणामी उत्पाद अपनी सुंदरता से विस्मित करते हैं। हालाँकि कई लोग हस्तनिर्मित उत्पाद की तुलना कंप्यूटर प्रोग्राम से करने से इनकार करते हैं, लेकिन यह स्वीकार करना होगा कि परिणामी रूप बेहद सुंदर हैं। मुख्य बात यह है कि कोई भी WebGL सॉफ़्टवेयर लाइब्रेरी का उपयोग करके इस तरह का फ्रैक्टल बना सकता है। यह आपको वास्तविक समय में विभिन्न भग्न संरचनाओं का पता लगाने की अनुमति देता है।

प्रकृति में भग्न

कम ही लोग ध्यान देते हैं, लेकिन ये अद्भुत आकृतियां हर जगह मौजूद हैं। प्रकृति स्वयं-समान आकृतियों से बनी है, हम इस पर ध्यान नहीं देते हैं। यह हमारी त्वचा या किसी पेड़ के पत्ते को एक आवर्धक कांच के माध्यम से देखने के लिए पर्याप्त है, और हम भग्न देखेंगे। या, उदाहरण के लिए, एक अनानास या यहां तक ​​कि एक मोर की पूंछ लें - उनमें समान आकृतियाँ होती हैं। और रोमनस्कु ब्रोकोली किस्म आम तौर पर अपनी उपस्थिति में हड़ताली होती है, क्योंकि इसे वास्तव में प्रकृति का चमत्कार कहा जा सकता है।

संगीतमय विराम

इससे पता चलता है कि फ्रैक्टल केवल ज्यामितीय आकृतियाँ नहीं हैं, वे ध्वनियाँ भी हो सकते हैं। इस प्रकार, संगीतकार जोनाथन कोल्टन फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करके संगीत लिखते हैं। यह प्राकृतिक सामंजस्य के अनुरूप होने का दावा करता है। संगीतकार अपने सभी कार्यों को क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-नॉन-कमर्शियल लाइसेंस के तहत प्रकाशित करता है, जो मुफ्त वितरण, प्रतिलिपि और दूसरों को कार्यों के हस्तांतरण की सुविधा प्रदान करता है।

भग्न सूचक

इस तकनीक को बहुत ही अप्रत्याशित अनुप्रयोग मिला है। इसके आधार पर, स्टॉक एक्सचेंज बाजार का विश्लेषण करने के लिए एक उपकरण बनाया गया और परिणामस्वरूप, इसका उपयोग विदेशी मुद्रा बाजार में किया जाने लगा। आजकल, फ्रैक्टल इंडिकेटर सभी ट्रेडिंग प्लेटफॉर्म पर पाया जाता है और इसका उपयोग प्राइस ब्रेकआउट नामक ट्रेडिंग तकनीक में किया जाता है। यह तकनीक बिल विलियम्स द्वारा विकसित की गई थी। जैसा कि लेखक अपने आविष्कार पर टिप्पणी करता है, यह एल्गोरिदम कई "मोमबत्तियों" का संयोजन है, जिसमें केंद्रीय एक अधिकतम या इसके विपरीत, न्यूनतम चरम बिंदु को दर्शाता है।

अंत में

तो हमने देखा कि फ्रैक्टल क्या है। यह पता चलता है कि हमारे चारों ओर जो अराजकता है, उसमें वास्तव में आदर्श रूप मौजूद हैं। प्रकृति सर्वोत्तम वास्तुकार, आदर्श निर्माता एवं इंजीनियर है। इसे बहुत तार्किक रूप से व्यवस्थित किया गया है, और यदि हमें कोई पैटर्न नहीं मिल पाता है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि इसका अस्तित्व नहीं है। शायद हमें एक अलग पैमाने पर देखने की ज़रूरत है। हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि फ्रैक्टल्स में अभी भी कई रहस्य छिपे हुए हैं जिन्हें हमें अभी भी खोजना है।

7वीं कक्षा की छात्रा पोलिना कार्प्युक द्वारा पूरा किया गया

प्रियोडा स्व-समान आकृतियों से बनाया गया है, हम इस पर ध्यान नहीं देते हैं। इस गैलरी में हमने ऐसी छवियां एकत्र की हैं जिनमें फ्रैक्चर स्पष्ट रूप से दिखाई देता है।

डाउनलोड करना:

पूर्व दर्शन:

प्रस्तुति पूर्वावलोकन का उपयोग करने के लिए, एक Google खाता बनाएं और उसमें लॉग इन करें: https://accounts.google.com

स्लाइड कैप्शन:

प्रकृति में भग्न पूर्ण द्वारा: 7वीं "बी" कक्षा की छात्रा पोलीना कारप्युक पर्यवेक्षक: मोलचानोवा इरीना पावलोवना रूबतसोव्स्क-2015

सही ढंग से देखने पर गणित न केवल सत्य, बल्कि अतुलनीय सौंदर्य को भी दर्शाता है। बर्ट्रेंड रसेल

एक पेड़, एक समुद्र तट, एक बादल, या हमारे हाथ की रक्त वाहिकाओं में क्या समानता है? संरचना का एक गुण है जो सभी सूचीबद्ध वस्तुओं में अंतर्निहित है: वे स्व-समान हैं। एक शाखा से, जैसे कि एक पेड़ के तने से, छोटे-छोटे अंकुर निकलते हैं, उनसे और भी छोटे अंकुर निकलते हैं, आदि, यानी एक शाखा पूरे पेड़ के समान होती है। संचार प्रणाली को एक समान तरीके से संरचित किया जाता है: धमनियां धमनियों से निकलती हैं, और उनमें से सबसे छोटी केशिकाएं होती हैं जिनके माध्यम से ऑक्सीजन अंगों और ऊतकों में प्रवेश करती है। अमेरिकी गणितज्ञ बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने वस्तुओं के इस गुण को भग्नता कहा है, और ऐसी वस्तुओं को स्वयं - भग्न कहा है। शब्द "फ्रैक्टल" का लैटिन से अनुवाद "आंशिक", "विभाजित", "खंडित" के रूप में किया गया है, और जहां तक ​​इस शब्द की सामग्री का सवाल है, ऐसा कोई सूत्रीकरण नहीं है। इसे आमतौर पर एक स्व-समान सेट, संपूर्ण का एक हिस्सा, के रूप में व्याख्या किया जाता है, जो सूक्ष्म स्तर पर अपनी संरचना को दोहराता है। .

पृथ्वी के परिदृश्यों की अंतरिक्ष तस्वीरें अक्सर फ्रैक्टल के उत्कृष्ट उदाहरण प्रदान करती हैं।

तटरेखाओं का आकार आमतौर पर भग्न होता है, लेकिन वे ऊबड़-खाबड़ होने की मात्रा में भिन्न-भिन्न होते हैं। यह उदाहरण प्राकृतिक फ्रैक्टल्स के दो विशिष्ट गुणों को दर्शाता है: व्यक्तिगत चैनल एक-दूसरे की नकल नहीं हैं, बल्कि समान घुमावदार रूपरेखा रखते हैं, जैसे कि वे एक ही पैटर्न द्वारा खींचे गए हों। बड़ी नलिकाएं छोटी और बहुत छोटी नलिकाओं की रूपरेखा के समान होती हैं। यदि हम, उदाहरण के लिए, चित्र के निचले बाएँ कोने को बड़ा करते हैं, तो हमें संपूर्ण चित्र के समान कुछ मिलेगा

जल और भूमि की परस्पर क्रिया परिदृश्यों में भग्न संरचनाओं को जन्म देती है - चाहे वे पहाड़ हों, नदियाँ हों या समुद्र तट हों।

जापानी कलाकार होकुसाई की पेंटिंग "द ग्रेट वेव" को शायद हर कोई जानता है, जहां फ़ूजी की पृष्ठभूमि में सुनामी लहर को दर्शाया गया है। यदि आप इस चित्र को करीब से देखेंगे, तो आप देखेंगे कि एक लहर की शिखा बनाते समय, कलाकार ने एक भग्न का उपयोग किया था, जैसे कि इसमें कई शिकारी पानी के पंजे हों। इसलिए, इस चित्र का उपयोग अक्सर अराजकता सिद्धांत और फ्रैक्टल पर पुस्तकों के लिए एक चित्रण के रूप में किया जाता है।

जब रेत का टीला पानी से नष्ट हो जाता है, तो यह छोटे पैमाने पर उसकी प्रतिकृति बनाता है जो पृथ्वी के बड़े परिदृश्यों को भग्न आकार देता है।

बिजली का गिरना प्राकृतिक भग्न का एक उदाहरण है।

यह चित्र न केवल पेड़ों के मुकुटों की भग्न प्रकृति को दर्शाता है, बल्कि यह एक और दिलचस्प विचार का सुझाव देता है: एक जैविक समुदाय के रूप में जंगल भी एक भग्न है। व्यक्तिगत पेड़ - बड़े और छोटे - फिर भग्न की शाखाओं के रूप में कार्य करते हैं। वे समान हैं, लेकिन एक-दूसरे को दोहराते नहीं हैं।

पत्ती शिराएँ एक चपटी प्राकृतिक भग्न होती हैं। प्रत्येक पौधे के लिए, विशिष्ट पैटर्न अद्वितीय होता है, जैसे किसी व्यक्ति के हाथ पर पैपिलरी पैटर्न अद्वितीय होता है। गोएथे (कवि और वैज्ञानिक) का मानना ​​था कि पत्ती पौधे का सबसे अभिव्यंजक हिस्सा है, जो इसकी संपूर्ण आकृति विज्ञान को दर्शाता है।

फ़र्न प्राकृतिक फ्रैक्टल का एक उदाहरण है जो कंप्यूटर फ्रैक्टल के समान है। इसके अलावा, वे इसलिए भी दिलचस्प हैं क्योंकि फर्न विभिन्न काई और अन्य निचले पौधों के साथ-साथ सबसे अधिक विकासवादी प्राचीन पौधों में से एक है।

यह प्राकृतिक फ्रैक्टल का एक और प्रसिद्ध और बहुत प्रभावशाली उदाहरण है जिसके गणितीय रूप से स्पष्ट रूप हैं। स्व-समान सरल पिरामिड रोमनस्को गोभी के कम से कम तीन स्तर हैं

एक जादुई सुंदर फ्रैक्टल जो कुछ कलाकारों को प्रेरित कर सकता है। इस बीच, ध्यान से देखें: यह सिर्फ पत्तागोभी के पत्तों का एक कड़ा गुच्छा है।

ये खनिज जगत में भग्न संरचना के दिलचस्प उदाहरण हैं। कार्बोनेट एपेटाइट गोल्ड नगेट प्रकृति द्वारा निर्मित एक उत्कृष्ट खजाना है।

क्या आपने कभी सोचा है कि हम सचमुच फ्रैक्टल में सोचते हैं? यहां सोचने लायक बात है - कौन तर्क देगा कि मस्तिष्क प्रकृति की सबसे अद्भुत और अनोखी रचनाओं में से एक है। और यह पता चला है कि बाह्य रूप से इसमें वायुमंडलीय बादलों या बिछुआ की जड़ प्रणाली के समान भग्न विशेषताएं हैं।

यहां सब कुछ और भी जटिल है: दो अलग-अलग फ्रैक्टल पेड़ आपस में जुड़े हुए हैं - एक को शिरापरक रक्त की आपूर्ति की जाती है, और दूसरे को ऑक्सीजन-समृद्ध धमनी रक्त की आपूर्ति की जाती है। और कुल मिलाकर, फेफड़ा तीन भग्नों की एक आश्चर्यजनक रूप से जटिल प्रणाली है - एक श्वसन और दो परिसंचरण।

रेटिना में प्रकाश-संवेदनशील कोशिकाएं होती हैं जो हमें देखने की अनुमति देती हैं। इस फोटो में वे पीले-हरे रंग के हैं। वे एक नेटवर्क (रेटिना) बनाते हैं, लेकिन यह नेटवर्क अव्यवस्थित और भग्न है।

यह सुअर का पेट है. इसके रंग पैटर्न भी भग्न नियमों का पालन करते प्रतीत होते हैं। यह एक दिलचस्प विषय है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि इसमें सैन्य महत्व सहित कई अनुप्रयोग हैं। किस नियम के अनुसार छलावरण पैटर्न तैयार किया जाना चाहिए ताकि इसे पहनने वाला प्राकृतिक रूपों - परिदृश्य और वनस्पति के साथ घुलमिल जाए?

आपके ध्यान देने के लिए धन्यवाद!!!

अपना अच्छा काम नॉलेज बेस में भेजना आसान है। नीचे दिए गए फॉर्म का उपयोग करें

छात्र, स्नातक छात्र, युवा वैज्ञानिक जो अपने अध्ययन और कार्य में ज्ञान आधार का उपयोग करते हैं, आपके बहुत आभारी होंगे।

http://www.allbest.ru पर पोस्ट किया गया

• परिचय
• 1. भग्न की अवधारणा
• 2. भग्नों का वर्गीकरण
• 4. भग्न का अनुप्रयोग
• निष्कर्ष
• प्रयुक्त साहित्य की सूची

परिचय

सौ या अधिक वर्ष पहले स्व-समान गणितीय वस्तुओं की उपस्थिति में लगभग किसी की भी रुचि नहीं थी; वे केवल इन वस्तुओं के लेखकों के लिए रुचिकर थे। इसके अलावा, कुछ वैज्ञानिकों ने उन्हें "राक्षस" करार दिया और यह नहीं माना कि उनका वास्तविक दुनिया और विज्ञान से कोई लेना-देना है।

कंप्यूटर के आगमन के साथ स्व-समान गणितीय वस्तुओं के प्रति दृष्टिकोण बदल गया, जब बीजीय और स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल की पहली छवियां सामने आईं। इसके तुरंत बाद, उनमें न केवल गणितज्ञों, बल्कि भौतिकविदों, जीवविज्ञानियों, ध्वनिविदों और उन सभी लोगों की दिलचस्पी थी, जिन्होंने अपने काम में प्राकृतिक वस्तुओं का सामना किया था। गणितज्ञ ऐसे जटिल संरचनाओं का वर्णन करने वाले सूत्रों की सरलता के कारण फ्रैक्टल की ओर आकर्षित हुए, भौतिकशास्त्री एक नई स्थिति से भौतिकी पर पुनर्विचार करने के अवसर के कारण, जीवविज्ञानी विभिन्न जैविक वस्तुओं के साथ फ्रैक्टल छवियों के पत्राचार के कारण आकर्षित हुए।

फ्रैक्टल अभी तक समाप्त नहीं हुए हैं, फ्रैक्टल वस्तुएं अभी भी विज्ञान के नए क्षेत्रों में पाई जा रही हैं। इनका उपयोग भौतिकविदों, जीवविज्ञानियों, समाजशास्त्रियों, अर्थशास्त्रियों और कई अन्य लोगों द्वारा किया जाता है। फ्रैक्टल्स का पूरी तरह से अध्ययन नहीं किया गया है; उनके लिए नए अनुप्रयोग ढूंढे जा रहे हैं, जिससे फ्रैक्टल्स और प्रकृति दोनों के प्रति हमारा दृष्टिकोण बदल रहा है।

कार्य का उद्देश्य फ्रैक्टल की घटना है।

कार्य का विषय आधुनिक विज्ञान में फ्रैक्टल का स्थान है।

कार्य का उद्देश्य फ्रैक्टल को एक सरल और जटिल घटना दोनों के रूप में मानना ​​है।

कार्य के उद्देश्य: फ्रैक्टल की अवधारणा, फ्रैक्टल के प्रकार, फ्रैक्टल के उद्भव और अध्ययन का इतिहास, व्यवहार में फ्रैक्टल के अनुप्रयोग पर विचार करें।

1. भग्न की अवधारणा

फ्रैक्टल और फ्रैक्टल ज्यामिति की अवधारणाएं, जो 70 के दशक के अंत में सामने आईं, 20वीं सदी के 80 के दशक के मध्य से गणितज्ञों और प्रोग्रामरों के बीच मजबूती से स्थापित हो गई हैं। फ्रैक्टल शब्द लैटिन फ्रैक्टस से लिया गया है और इसका अनुवादित अर्थ टुकड़ों से बना है। मैंडेलब्रोट बी. प्रकृति की फ्रैक्टल ज्यामिति, पृष्ठ 5 - एम.: कंप्यूटर अनुसंधान संस्थान, 2002। इसे 1975 में बेनोइट मैंडेलब्रॉट द्वारा अनियमित लेकिन स्व-समान संरचनाओं को नामित करने के लिए प्रस्तावित किया गया था, जिसका उन्होंने अध्ययन किया था। मैंडेलब्रॉट बी. प्रकृति की फ्रैक्टल ज्यामिति, पृष्ठ 5 - एम.: कंप्यूटर अनुसंधान संस्थान, 2002। फ्रैक्टल ज्योमेट्री का जन्म आम तौर पर 1977 में मैंडलब्रोट की पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" के प्रकाशन से जुड़ा है। उनके कार्यों में अन्य वैज्ञानिकों के वैज्ञानिक परिणामों का उपयोग किया गया, जिन्होंने 1875-1925 की अवधि में उसी क्षेत्र में काम किया था (पोंकारे, फतौ, जूलिया, कैंटर, हॉसडॉर्फ लेकिन केवल हमारे समय में ही उनके काम को एक प्रणाली में जोड़ना संभव हो पाया है।

आज कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में फ्रैक्टल्स की भूमिका काफी बड़ी है। वे बचाव में आते हैं, उदाहरण के लिए, जब बहुत जटिल आकृतियों की रेखाओं और सतहों को परिभाषित करने के लिए कई गुणांकों का उपयोग करना आवश्यक होता है। कंप्यूटर ग्राफिक्स के दृष्टिकोण से, कृत्रिम बादल, पहाड़ और समुद्री सतह बनाते समय फ्रैक्टल ज्यामिति अपरिहार्य है। वास्तव में, जटिल गैर-यूक्लिडियन वस्तुओं को आसानी से प्रस्तुत करने का एक तरीका ढूंढ लिया गया है, जिनकी छवियां प्राकृतिक वस्तुओं के समान हैं।

फ्रैक्टल्स का एक मुख्य गुण आत्म-समानता है। सबसे सरल मामले में, फ्रैक्टल के एक छोटे से हिस्से में पूरे फ्रैक्टल के बारे में जानकारी होती है।

मैंडलब्रॉट द्वारा दी गई फ्रैक्टल की परिभाषा इस प्रकार है: "फ्रैक्टल एक ऐसी संरचना है जिसमें ऐसे हिस्से होते हैं जो कुछ अर्थों में संपूर्ण के समान होते हैं।" फेडर ई. फ्रैक्टल्स: वर्ल्ड 1991, पृष्ठ 67।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि शब्द "फ्रैक्टल" एक गणितीय शब्द नहीं है और इसकी आम तौर पर स्वीकृत सख्त गणितीय परिभाषा नहीं है। इसका उपयोग तब किया जा सकता है जब प्रश्न में दी गई आकृति में निम्नलिखित में से कोई गुण हो:

1. सभी पैमानों पर एक गैर-तुच्छ संरचना है। यह नियमित आकृतियों (जैसे कि एक वृत्त, दीर्घवृत्त, एक सुचारू कार्य का ग्राफ) के विपरीत है: यदि हम बहुत बड़े पैमाने पर एक नियमित आकृति के एक छोटे टुकड़े पर विचार करते हैं, तो यह एक सीधी रेखा के टुकड़े जैसा दिखेगा। फ्रैक्टल के लिए, स्केल बढ़ाने से संरचना का सरलीकरण नहीं होता है; सभी पैमानों पर हम एक समान रूप से जटिल तस्वीर देखेंगे।

2. स्व-समान या लगभग स्व-समान है।

3. एक भिन्नात्मक मीट्रिक आयाम या एक मीट्रिक आयाम है जो टोपोलॉजिकल से अधिक है।

4. पुनरावर्ती प्रक्रिया का उपयोग करके निर्माण किया जा सकता है फेडर ई. फ्रैक्टल्स: वर्ल्ड 1991, पृष्ठ 133।

प्रकृति में कई वस्तुओं में भग्न गुण होते हैं, उदाहरण के लिए तट, बादल, वृक्ष मुकुट, संचार प्रणाली और मनुष्यों या जानवरों की वायुकोशीय प्रणाली।

फ्रैक्टल्स, विशेष रूप से हवाई जहाज़ पर, कंप्यूटर का उपयोग करके निर्माण में आसानी के साथ सुंदरता के संयोजन के कारण लोकप्रिय हैं।

फ्रैक्टल मुख्य रूप से ज्यामिति की भाषा हैं। हालाँकि, उनके मुख्य तत्व प्रत्यक्ष रूप से देखने योग्य नहीं हैं। इस संबंध में, वे यूक्लिडियन ज्यामिति की सामान्य वस्तुओं, जैसे सीधी रेखा या वृत्त, से मौलिक रूप से भिन्न हैं। फ्रैक्टल को प्राथमिक ज्यामितीय रूपों में नहीं, बल्कि एल्गोरिदम, गणितीय प्रक्रियाओं के सेट में व्यक्त किया जाता है।

इन एल्गोरिदम को कंप्यूटर का उपयोग करके ज्यामितीय आकृतियों में बदल दिया जाता है। एल्गोरिथम तत्वों का भंडार अक्षय है। एक बार जब आप फ्रैक्टल की भाषा में महारत हासिल कर लेते हैं, तो आप बादल के आकार का स्पष्ट रूप से और सरलता से वर्णन कर सकते हैं जैसे एक वास्तुकार पारंपरिक ज्यामिति की भाषा का उपयोग करने वाले चित्रों का उपयोग करके एक इमारत का वर्णन करता है।

2. भग्नों का वर्गीकरण

ज्यामितीय भग्न. इस वर्ग के भग्न सबसे अधिक दृश्यमान होते हैं। द्वि-आयामी मामले में, उन्हें कुछ टूटी हुई रेखा (या त्रि-आयामी मामले में सतह) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है, जिसे जनरेटर कहा जाता है। एल्गोरिदम के एक चरण में, पॉलीलाइन बनाने वाले प्रत्येक खंड को उचित पैमाने पर जनरेटर पॉलीलाइन से बदल दिया जाता है। इस प्रक्रिया की अंतहीन पुनरावृत्ति के परिणामस्वरूप, एक ज्यामितीय फ्रैक्टल प्राप्त होता है।

बीजगणितीय भग्न. यह फ्रैक्टल्स का सबसे बड़ा समूह है। वे एन-आयामी स्थानों में गैर-रेखीय प्रक्रियाओं का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं। द्वि-आयामी प्रक्रियाओं का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। एक असतत गतिशील प्रणाली के रूप में एक गैर-रेखीय पुनरावृत्त प्रक्रिया की व्याख्या करते समय, कोई इन प्रणालियों के सिद्धांत की शब्दावली का उपयोग कर सकता है: चरण चित्र, स्थिर-अवस्था प्रक्रिया, आकर्षितकर्ता, आदि।

यह ज्ञात है कि गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों में कई स्थिर अवस्थाएँ होती हैं। एक निश्चित संख्या में पुनरावृत्तियों के बाद गतिशील प्रणाली स्वयं को जिस स्थिति में पाती है, वह उसकी प्रारंभिक स्थिति पर निर्भर करती है। इसलिए, प्रत्येक स्थिर अवस्था (या, जैसा कि वे कहते हैं, आकर्षित करने वाले) में प्रारंभिक अवस्थाओं का एक निश्चित क्षेत्र होता है, जहाँ से सिस्टम आवश्यक रूप से विचाराधीन अंतिम अवस्थाओं में आ जाएगा। इस प्रकार, सिस्टम के चरण स्थान को आकर्षित करने वालों के आकर्षण के क्षेत्रों में विभाजित किया गया है। यदि चरण स्थान एक द्वि-आयामी स्थान है, तो आकर्षण के क्षेत्रों को विभिन्न रंगों से रंगकर, कोई इस प्रणाली (पुनरावृत्त प्रक्रिया) का रंग चरण चित्र प्राप्त कर सकता है। रंग चयन एल्गोरिथ्म को बदलकर, आप विचित्र बहुरंगा पैटर्न के साथ जटिल फ्रैक्टल पैटर्न प्राप्त कर सकते हैं। गणितज्ञों के लिए एक आश्चर्य की बात थी आदिम एल्गोरिदम का उपयोग करके बहुत जटिल गैर-तुच्छ संरचनाएं उत्पन्न करने की क्षमता।

शैक्षिक भग्न. जटिल यादृच्छिक प्रक्रियाओं के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाली प्राकृतिक वस्तुओं में अक्सर एक भग्न आकार होता है। उन्हें मॉडल करने के लिए स्टोकेस्टिक (यादृच्छिक) फ्रैक्टल्स का उपयोग किया जा सकता है। स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल के उदाहरण:

1. समतल और अंतरिक्ष में ब्राउनियन गति का प्रक्षेप पथ;

2. एक समतल पर ब्राउनियन गति के प्रक्षेप पथ की सीमा। 2001 में, लॉलर, श्राम और वर्नर ने मैंडेलबोर्ट के अनुमान को साबित किया कि इसका आयाम 4/3 है।

3. श्राम-लॉनर विकास - सांख्यिकीय यांत्रिकी के महत्वपूर्ण दो-आयामी मॉडल में उत्पन्न होने वाले अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय फ्रैक्टल वक्र, उदाहरण के लिए आइसिंग मॉडल और परकोलेशन में।

4. विभिन्न प्रकार के यादृच्छिक फ्रैक्टल, यानी, एक पुनरावर्ती प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त फ्रैक्टल जिसमें प्रत्येक चरण में एक यादृच्छिक पैरामीटर पेश किया जाता है। प्लाज़्मा कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में ऐसे फ्रैक्टल के उपयोग का एक उदाहरण है।

फ्रैक्टल मोनोटाइप, या स्टोचैटिपी, दृश्य कला में रुझान हैं जो एक यादृच्छिक फ्रैक्टल की छवि प्राप्त करने में शामिल हैं। श्रोएडर एम. फ्रैक्टल्स, अराजकता, शक्ति कानून। अनंत स्वर्ग से लघुचित्र। - इज़ेव्स्क: आरएचडी, 2001, पृष्ठ 26।

3. भग्न का इतिहास

यह उल्लेखनीय है कि लगभग सौ साल पहले गणितीय साहित्य में फ्रैक्टल्स (अभी तक यह नाम नहीं दिया गया) की उपस्थिति को खेदजनक शत्रुता का सामना करना पड़ा था, जैसा कि कई अन्य गणितीय विचारों के विकास के इतिहास में हुआ है। एक प्रसिद्ध गणितज्ञ, चार्ल्स हर्माइट ने तो उन्हें राक्षस तक करार दिया। कम से कम आम सहमति ने उन्हें केवल गणितीय सनक का दुरुपयोग करने वाले शोधकर्ताओं के लिए रुचि की विकृति के रूप में मान्यता दी, न कि वास्तविक वैज्ञानिकों के लिए।

बेनोइट मैंडेलब्रॉट के प्रयासों के परिणामस्वरूप, यह दृष्टिकोण बदल गया और फ्रैक्टल ज्यामिति एक सम्मानित व्यावहारिक विज्ञान बन गया। मंडेलब्रॉट ने 1919 में प्रस्तावित हॉसडॉर्फ के फ्रैक्टल (फ्रैक्शनल) आयाम के सिद्धांत के आधार पर फ्रैक्टल शब्द गढ़ा। फ्रैक्टल ज्योमेट्री पर अपनी पहली पुस्तक के आने से कई साल पहले, मैंडेलब्रॉट ने प्रकृति में राक्षसों और अन्य विकृतियों की उपस्थिति पर शोध करना शुरू कर दिया था। उन्होंने बदनाम कैंटर सेट, पीनो कर्व्स, वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शंस और उनकी कई विविधताओं के लिए एक जगह ढूंढी, जिन्हें बकवास माना जाता था। उन्होंने और उनके छात्रों ने कई नए फ्रैक्टल्स की खोज की, जैसे जंगल और पहाड़ के परिदृश्य, नदी के स्तर में उतार-चढ़ाव और दिल की धड़कन के मॉडलिंग के लिए फ्रैक्टल ब्राउनियन गति। उनकी पुस्तकों के प्रकाशन के साथ, फ्रैक्टल ज्यामिति के अनुप्रयोग बारिश के बाद मशरूम की तरह दिखाई देने लगे। इससे कई अनुप्रयुक्त विज्ञान और शुद्ध गणित दोनों प्रभावित हुए। यहां तक ​​कि फिल्म इंडस्ट्री भी इससे अछूती नहीं रही. लाखों लोगों ने फिल्म "स्टार माइग्रेशन II: द रैथ ऑफ खान" में पहाड़ी परिदृश्य की प्रशंसा की, जिसका निर्माण फ्रैक्टल्स पीटजेन एच.-ओ., रिक्टर पी. एच. फ्रैक्टल्स की सुंदरता का उपयोग करके किया गया था। - एम.: मीर 1993, पृ.45.

फ्रांसीसी गणितज्ञ हेनरी पोंकारे ने 1890 के आसपास गैर-रेखीय गतिशीलता में शोध शुरू किया, जिससे आधुनिक अराजकता सिद्धांत सामने आया। इस विषय में रुचि तब उल्लेखनीय रूप से बढ़ गई जब 1963 में एक गैर-रेखीय मौसम मॉडलर एडवर्ड लोरेन्ज़ ने पाया कि दीर्घकालिक मौसम पूर्वानुमान असंभव थे। लोरेंज ने कहा कि मौसम की वर्तमान स्थिति को मापने में छोटी सी त्रुटियां भी भविष्य की मौसम स्थितियों के बारे में पूरी तरह से गलत भविष्यवाणियां कर सकती हैं। प्रारंभिक स्थितियों पर यह आवश्यक निर्भरता अराजकता के गणितीय सिद्धांत को रेखांकित करती है।

ब्राउनियन गति के कण प्रक्षेप पथ, जिनका अध्ययन रॉबर्ट ब्राउन ने 1828 में और अल्बर्ट आइंस्टीन ने 1905 में किया था, फ्रैक्टल वक्रों का एक उदाहरण हैं, हालांकि उनका गणितीय विवरण 1923 तक नॉर्बर्ट वीनर द्वारा नहीं दिया गया था। 1890 में, पीनो ने अपना प्रसिद्ध वक्र बनाया - एक सतत मानचित्रण जो एक खंड को एक वर्ग में बदल देता है और इसलिए, इसके आयाम को एक से दो तक बढ़ा देता है। कोच स्नोफ्लेक सीमा (1904), जिसका आयाम d »1.2618, एक और प्रसिद्ध आयाम-बढ़ाने वाला वक्र है।

फ्रैक्टल, किसी भी तरह से वक्र जैसा नहीं होता, जिसे मैंडेलब्रॉट ने धूल कहा, शास्त्रीय कैंटर सेट (1875 या उससे पहले) है। यह सेट इतना विरल है कि इसमें अंतराल नहीं है, लेकिन फिर भी इसमें अंतराल के समान ही अंक हैं। मैंडेलब्रॉट ने टेलीफोनी में स्थिर शोर को मॉडल करने के लिए ऐसी "धूल" का उपयोग किया। किसी न किसी प्रकार की भग्न धूल अनेक स्थितियों में प्रकट होती है। वास्तव में, यह इस अर्थ में एक सार्वभौमिक फ्रैक्टल है कि कोई भी फ्रैक्टल - पुनरावृत्त कार्यों की प्रणाली का एक आकर्षण - या तो फ्रैक्टल धूल है या कम आयाम वाले स्थान पर इसका प्रक्षेपण है पीटजेन एच.-ओ., रिक्टर पी., पी. . 22.

विभिन्न वृक्ष-जैसे फ्रैक्टल्स का उपयोग न केवल पेड़-पौधों को मॉडल करने के लिए किया गया था, बल्कि ब्रोन्कियल ट्री (फेफड़ों में वायु धारण करने वाली शाखाएं), गुर्दे की कार्यप्रणाली, संचार प्रणाली आदि के लिए भी किया गया था। लियोनार्डो दा विंची पर ध्यान देना दिलचस्प है यह धारणा कि एक निश्चित ऊँचाई पर एक पेड़ की सभी शाखाएँ, एक साथ जोड़ने पर, तने की मोटाई के बराबर (उनके स्तर से नीचे) होती हैं। इसका तात्पर्य एक फ्रैक्टल सतह के रूप में पेड़ के मुकुट के लिए एक फ्रैक्टल मॉडल से है।

पुनरावृत्त मानचित्रण का अध्ययन करने से भग्न और अराजकता के कई उल्लेखनीय गुण सामने आते हैं। इस मामले में, वे कुछ फ़ंक्शन y = f(x) से शुरू करते हैं और अनुक्रम f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),... के व्यवहार पर विचार करते हैं। जटिल स्तर पर, इस प्रकार का कार्य, जाहिरा तौर पर, केली के नाम पर आता है, जिन्होंने जटिल, न कि केवल वास्तविक, कार्यों (1879) पर लागू होने वाली जड़ को खोजने की न्यूटन की विधि की जांच की। पुनरावृत्त जटिल मानचित्रण के अध्ययन में उल्लेखनीय प्रगति गैस्टन जूलिया और पियरे फतौ (1919) द्वारा की गई थी। स्वाभाविक रूप से, सब कुछ कंप्यूटर ग्राफिक्स की मदद के बिना किया गया था। इन दिनों, कई लोगों ने पहले से ही रंगीन पोस्टर देखे हैं जिनमें *जूलिया सेट और मैंडेलब्रॉट सेट को दर्शाया गया है, जो उनसे निकटता से संबंधित है। पुनरावृत्त मानचित्रण के साथ अराजकता के गणितीय सिद्धांत में महारत हासिल करना स्वाभाविक है।

फ्रैक्टल और कैओस का अध्ययन अनंत संभावनाओं के अध्ययन और शुद्ध गणित के क्षेत्र दोनों में अद्भुत संभावनाएं खोलता है। लेकिन साथ ही, जैसा कि तथाकथित नए गणित में अक्सर होता है, खोजें अतीत के महान गणितज्ञों के अग्रणी कार्य पर आधारित होती हैं। सर आइजैक न्यूटन ने इसे तब समझा जब उन्होंने कहा, "अगर मैंने दूसरों की तुलना में आगे देखा है, तो इसका कारण यह है कि मैं दिग्गजों के कंधों पर खड़ा हूं।"

4. भग्न का अनुप्रयोग

कंप्यूटर चित्रलेख

प्राकृतिक वस्तुओं, जैसे कि पेड़, झाड़ियाँ, पहाड़ी परिदृश्य, समुद्री सतह आदि की छवियां बनाने के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल्स का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

भौतिकी और अन्य प्राकृतिक विज्ञान

भौतिकी में, फ्रैक्टल स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होते हैं जब अरेखीय प्रक्रियाओं की मॉडलिंग करते हैं, जैसे कि अशांत द्रव प्रवाह, जटिल यादृच्छिक प्रसार-सोखना प्रक्रिया, लपटें, बादल, आदि। फ्रैक्टल का उपयोग झरझरा सामग्री की मॉडलिंग करते समय भी किया जाता है, उदाहरण के लिए, पेट्रोकेमिस्ट्री में। जीव विज्ञान में, उनका उपयोग आबादी को मॉडल करने और आंतरिक अंग प्रणालियों (रक्त वाहिका प्रणाली) का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

साहित्य

साहित्यिक कृतियों में वे भी हैं जिनकी पाठ्य, संरचनात्मक या अर्थ संबंधी भग्न प्रकृति होती है। टेक्स्ट फ्रैक्टल्स में, टेक्स्ट के तत्व संभावित रूप से अंतहीन रूप से दोहराए जाते हैं:

1. एक गैर-शाखाओं वाला अनंत वृक्ष, किसी भी पुनरावृत्ति से स्वयं के समान ("पुजारी के पास एक कुत्ता था...", "एक दार्शनिक का दृष्टांत जो सपने देखता है कि वह एक तितली है जो सपने देखता है कि वह एक दार्शनिक है जो सपने देखता है। ..", "यह एक गलत कथन है कि कथन सत्य है, कथन गलत है...")।

2. विविधताओं वाले गैर-शाखाओं वाले अंतहीन पाठ ("पैगी के पास एक अजीब हंस था...") और एक्सटेंशन वाले पाठ ("द हाउस दैट जैक बिल्ट")।

3. संरचनात्मक फ्रैक्टल में, टेक्स्ट लेआउट संभावित रूप से फ्रैक्टल होता है

4. सॉनेट्स की पुष्पांजलि (15 कविताएँ), सॉनेट्स की पुष्पांजलि (211 कविताएँ), सॉनेट्स की पुष्पांजलि (2455 कविताएँ)।

5. "एक कहानी के भीतर कहानियाँ" ("द बुक ऑफ़ वन थाउज़ेंड एंड वन नाइट्स", जे. पोटोट्स्की "पांडुलिपि फ़ाउंड इन सारागोसा")।

6. प्रस्तावनाएँ जो लेखकत्व को छिपाती हैं (यू. इको "द नेम ऑफ़ द रोज़")।

सिमेंटिक और नैरेटिव फ्रैक्टल्स में, लेखक एक हिस्से की संपूर्ण से अनंत समानता के बारे में बात करता है

एच. एल. बोर्जेस "खंडहरों के घेरे में"

जे. कॉर्टज़ार "पीला फूल"

जे. पेरेक "कुन्स्तकमेरा"

फ्रैक्टल एंटेना.

एंटीना उपकरणों के डिजाइन में फ्रैक्टल ज्यामिति का उपयोग पहली बार अमेरिकी इंजीनियर नाथन कोहेन द्वारा किया गया था, जो उस समय बोस्टन शहर में रहते थे, जहां इमारतों पर बाहरी एंटेना की स्थापना निषिद्ध थी। नाथन ने एल्यूमीनियम फ़ॉइल से एक कोच वक्र आकार काटा और इसे कागज के एक टुकड़े पर चिपका दिया, फिर इसे रिसीवर से जोड़ दिया। यह पता चला कि ऐसा एंटीना सामान्य एंटीना से भी बदतर काम नहीं करता है। और यद्यपि ऐसे एंटीना के संचालन के भौतिक सिद्धांतों का अभी तक अध्ययन नहीं किया गया है, लेकिन इसने कोहेन को अपनी कंपनी स्थापित करने और उनके बड़े पैमाने पर उत्पादन शुरू करने से नहीं रोका।

छवि संपीड़न.

फ्रैक्टल्स का उपयोग करके छवियों को संपीड़ित करने के लिए एल्गोरिदम हैं। वे इस विचार पर आधारित हैं कि एक छवि के बजाय, कोई एक संपीड़न मैपिंग संग्रहीत कर सकता है जिसके लिए छवि एक निश्चित बिंदु है।

विकेंद्रीकृत नेटवर्क.

नेत्सुकुकु नेटवर्क में आईपी एड्रेस असाइनमेंट सिस्टम नेटवर्क नोड्स के बारे में जानकारी को कॉम्पैक्ट रूप से संग्रहीत करने के लिए फ्रैक्टल सूचना संपीड़न के सिद्धांत का उपयोग करता है। नेत्सुकुकु नेटवर्क में प्रत्येक नोड पड़ोसी नोड्स की स्थिति के बारे में केवल 4 KB जानकारी संग्रहीत करता है, जबकि कोई भी नया नोड आईपी पते के वितरण के केंद्रीय विनियमन की आवश्यकता के बिना सामान्य नेटवर्क से जुड़ता है, जो, उदाहरण के लिए, के लिए विशिष्ट है। इंटरनेट। इस प्रकार, फ्रैक्टल सूचना संपीड़न का सिद्धांत पूरी तरह से विकेंद्रीकृत की गारंटी देता है, और इसलिए, पूरे नेटवर्क का सबसे स्थिर संचालन।

निष्कर्ष

अधिकांश लोगों का मानना ​​है कि फ्रैक्टल केवल सुंदर चित्र हैं जो आंखों को प्रसन्न करते हैं। सौभाग्य से, यह मामला नहीं है, और फ्रैक्टल का उपयोग मानव गतिविधि के कई क्षेत्रों में किया जाता है। उनके अनुप्रयोग के नए क्षेत्रों को बनाने के लिए पहले से ही एक सैद्धांतिक आधार मौजूद है, जैसे कि बीमारियों का निदान करना, गतिशील प्रभाव के दौरान क्षति की भविष्यवाणी करना और कई अन्य। लेकिन, फ्रैक्टल के उपयोग की सैद्धांतिक अटूटता के बावजूद, यह माना जा सकता है कि समय के साथ उनके आवेदन की मुख्य दिशाएँ सामने आएंगी।

बेनोइट मैंडेलब्रॉट की घोषणा के बाद से केवल कुछ दशक ही बीते हैं: "प्रकृति की ज्यामिति भग्न है!" आज हम पहले से ही बहुत कुछ मान सकते हैं, अर्थात्, बिना किसी अपवाद के सभी प्राकृतिक वस्तुओं के निर्माण का प्राथमिक सिद्धांत भग्नता है।

निष्कर्ष:

1. फ्रैक्टल्स की प्रकृति का वैज्ञानिकों द्वारा सावधानीपूर्वक अध्ययन किया जाता है

2. भविष्य में चिकित्सा, कंप्यूटर उद्योग, विज्ञान आदि में कई समस्याओं का समाधान फ्रैक्टल्स की मदद से किया जाएगा।

प्रयुक्त साहित्य की सूची

भग्न प्राकृतिक ग्राफिक्स

1. मैंडेलब्रॉट बी. प्रकृति की भग्न ज्यामिति। - एम.: कंप्यूटर अनुसंधान संस्थान, 2002।

2. पीटजेन एच.-ओ., रिक्टर पी. एच. फ्रैक्टल्स की सुंदरता। - एम.: मीर, 1993।

3. फेडर ई. फ्रैक्टल्स-एम.: मीर, 1991।

4. श्रोएडर एम. फ्रैक्टल्स, अराजकता, शक्ति कानून। अनंत स्वर्ग से लघुचित्र। - इज़ेव्स्क: आरएचडी, 2001।

Allbest.ru पर पोस्ट किया गया

समान दस्तावेज़

फ्रैक्टल एक ऐसा सेट है जिसका आयाम सामान्य आयाम से भिन्न होता है, जिसे टोपोलॉजिकल कहा जाता है। मैंडेलब्रॉट के शोध के अनुसार एक उपयुक्त प्रणाली के गठन के लिए सिद्धांत और शर्तें। फ्रैक्टल के प्रकार और अर्थ, उनके विकास के मुख्य चरण।

परीक्षण, 02/19/2015 जोड़ा गया


स्थान और समय की सापेक्षता की आधुनिक अवधारणाओं का सार विशेष और सामान्य सिद्धांतों में है। हाइपरक्रोनोलॉजिकल ऐतिहासिक स्थान, ऐतिहासिक समय का त्वरण। द्विभाजन, भग्न, आकर्षणकर्ता, यादृच्छिकता कारकों की अवधारणाओं की व्याख्या।

परीक्षण, 12/10/2009 को जोड़ा गया


आधुनिक ज्ञान प्रणाली में मानवीय, तकनीकी, गणितीय प्रकार के ज्ञान और प्राकृतिक विज्ञान। दुनिया को समझने में गणित और भौतिकी की भूमिका और महत्व। प्राकृतिक विज्ञान और मानविकी में प्रकृति के प्रति दृष्टिकोण। विज्ञान और धर्म के बीच टकराव की समस्या।

सार, 11/26/2011 जोड़ा गया


मध्य युग में प्राकृतिक विज्ञान का विकास, राज्य में चर्च का स्थान और भूमिका। ग्रहीय मॉडल पर आधारित परमाणु संरचना के सिद्धांत का निर्माण। खगोल विज्ञान का विकास, आकाशगंगाओं की विशेषताएँ। पृथ्वी पर जीवन की उत्पत्ति के सिद्धांत. जातियों की उत्पत्ति की परिकल्पनाएँ।

परीक्षण, 09/14/2009 को जोड़ा गया


आधुनिक नैदानिक ​​चिकित्सा के संस्थापक के रूप में हिप्पोक्रेट्स। प्राकृतिक विज्ञान के विकास में प्राचीन वैज्ञानिकों की योग्यता। द्वंद्वात्मकता के बुनियादी नियमों की सामग्री, द्वंद्वात्मक अनुसंधान विधियों का अनुप्रयोग। मात्रा से गुणवत्ता में परिवर्तन का नियम।

परीक्षण, 04/03/2011 को जोड़ा गया


आधुनिक वैज्ञानिक दुनिया में स्व-संगठित प्रणालियों के एक सिद्धांत के रूप में सिनर्जेटिक्स। प्राकृतिक विज्ञान में एक सहक्रियात्मक दृष्टिकोण के उद्भव का इतिहास और तर्क। विज्ञान के विकास पर इस दृष्टिकोण का प्रभाव। आधुनिक विज्ञान में सहक्रिया विज्ञान का पद्धतिगत महत्व।

सार, 12/27/2016 को जोड़ा गया


बैक्टीरिया की सामान्य विशेषताएँ. उनकी संरचना, प्रजनन और पोषण। प्राकृतिक संसाधनों की अवधारणा और उनकी विशेषताएं। पाचन तंत्र की संरचना और महत्व. प्राकृतिक संसाधनों का आर्थिक वर्गीकरण. पाचन नलिका की दीवार की संरचना.

परीक्षण, 10/09/2012 जोड़ा गया


उद्योग, ऊर्जा और राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के विकास में वर्तमान रुझान। विज्ञान के क्षेत्र में परिवर्तन. जैव प्रौद्योगिकी के विकास और प्राकृतिक विज्ञान में विकास के परिणाम। रासायनिक प्रक्रियाएं और ऊर्जा. ओजोन परत का संरक्षण.

सार, 11/18/2009 जोड़ा गया


क्वांटम भौतिकी में अनुभवजन्य डेटा की पूर्ण निष्पक्षता और निश्चितता के सिद्धांत का अनुप्रयोग। यूक्लिडियन ज्यामिति में परकार और रूलर का उपयोग करना। रासायनिक तत्वों की आवधिक प्रणाली का विश्लेषण डी.आई. मेंडेलीव। द्विभाजन बिंदुओं के गुण.

परीक्षण, 06/12/2015 जोड़ा गया


बायोइलेक्ट्रिक घटना की अवधारणा. आधुनिक झिल्ली उत्तेजना सिद्धांत का उद्भव। मुख्य प्रकार की बायोइलेक्ट्रिक क्षमताएं, उनकी घटना का तंत्र और चिकित्सा और जैविक प्रयोगशालाओं में, निदान में नैदानिक ​​​​अभ्यास में अनुप्रयोग।