अराजकता सिद्धांत। अराजकता सिद्धांत क्या है? अराजकता सिद्धांत उदाहरण

आपको ऐसा लग सकता है कि कैओस थ्योरी शेयर बाजार और विशेष रूप से ट्रेडिंग से बहुत दूर है। और वास्तव में, गणित की शाखाओं में से एक, जो एक गैर-रेखीय प्रकृति की जटिल गतिशील प्रणालियों से संबंधित है, व्यापार की दुनिया से कैसे संबंधित हो सकती है? लेकिन यह हो सकता है!

अरेखीय प्रणालियों की ख़ासियत यह है कि उनका व्यवहार सीधे प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर होता है। लेकिन विशिष्ट मॉडल भी हमें उनके भविष्य के व्यवहार की भविष्यवाणी करने की अनुमति नहीं देते हैं।

ग्रह पर ऐसी प्रणालियों के कई उदाहरण हैं - अशांति, वायुमंडल, जैविक आबादी, आदि।

लेकिन, उनकी अप्रत्याशितता के बावजूद, गतिशील सिस्टम सख्ती से एक कानून का पालन करते हैं और यदि चाहें तो उनका अनुकरण किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, शेयर बाजार में, व्यापारियों और निवेशकों को ऐसे वक्रों का भी सामना करना पड़ता है जिनका विश्लेषण किया जा सकता है।

थोड़ा इतिहास

अराजकता सिद्धांत को 19वीं शताब्दी में अपना अनुप्रयोग मिला, लेकिन ये केवल पहला कदम थे। एडवर्ड लॉरेंस और बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने इस सिद्धांत का अधिक गंभीरता से अध्ययन करना शुरू किया, लेकिन यह बाद में हुआ - 20 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में। उसी समय, लॉरेंस ने अपने सिद्धांत में मौसम की भविष्यवाणी करने की कोशिश की। और वह इसके अराजक व्यवहार का मुख्य कारण - विभिन्न प्रारंभिक स्थितियाँ - निकालने में कामयाब रहे।

बुनियादी उपकरण

कैओस सिद्धांत के मुख्य उपकरणों में फ्रैक्टल और अट्रैक्टर शामिल हैं। उनमें से प्रत्येक का सार क्या है? आकर्षित करने वाला वह है जिससे सिस्टम आकर्षित होता है और अंततः वह कहाँ पहुँचने का प्रयास करता है। इसका मूल्य अक्सर समग्र रूप से अराजकता का एक सांख्यिकीय माप होता है। बदले में, फ्रैक्टल एक प्रकार की ज्यामितीय आकृति है, जिसका एक भाग लगातार दोहराया जाता है। वैसे, इसी आधार पर इस उपकरण का एक मुख्य गुण प्राप्त हुआ था - आत्म-समानता। लेकिन एक और गुण है - भिन्नात्मकता, जो फ्रैक्टल की अनियमितता की डिग्री का गणितीय प्रतिबिंब बन जाता है।

इसके मूल में, यह उपकरण अराजकता के विपरीत का प्रतिनिधित्व करता है।

दुर्भाग्य से, बाजार की कीमतों का अध्ययन करने के लिए कैओस सिद्धांत की कोई सटीक गणितीय प्रणाली नहीं है। इसलिए, अराजकता के सिद्धांत को व्यवहार में लागू करने में जल्दबाजी करने की कोई जरूरत नहीं है। दूसरी ओर, यह दिशा सबसे लोकप्रिय और ध्यान देने योग्य है।

अराजक बाज़ार

जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, अधिकांश आधुनिक बाज़ार कुछ रुझानों के अधीन हैं। इसका मतलब क्या है? यदि आप किसी वक्र को लंबे समय तक देखते हैं, तो आप हमेशा किसी विशेष गति का कारण देख सकते हैं। लेकिन सब कुछ इतना सहज नहीं है. बाजार में हमेशा अप्रत्याशितता का एक निश्चित तत्व होता है, जिसे किसी प्रकार की आपदा, राजनीतिक घटनाओं या अंदरूनी लोगों के कार्यों द्वारा पेश किया जा सकता है। साथ ही, आधुनिक कैओस सिद्धांत कुछ तंत्रिका नेटवर्क दृष्टिकोणों को ध्यान में रखते हुए बाजार में बदलाव की भविष्यवाणी करने की कोशिश करता है।

सिस्टम मॉडलिंग की संभावना

अनुभवी प्रतिभागी अच्छी तरह जानते हैं कि यह किसी जटिल प्रणाली के आधार पर संचालित होता है। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि इसमें कई भागीदार हैं (निवेशक, विक्रेता, सट्टेबाज, खरीदार, मध्यस्थ, हेजर्स, और इसी तरह), जिनमें से प्रत्येक अपना स्वयं का कार्य करता है। इसके अलावा, कुछ मॉडल इस प्रणाली का वर्णन करते हैं, उदाहरण के लिए, इलियट तरंगें।

मैंडेलब्रॉट वितरण और सामान्य वितरण के बीच अंतर

व्यवहार में, मूल्य वितरण का प्रसार अधिकांश बाज़ार सहभागियों की अपेक्षा से कहीं अधिक व्यापक है। मैंडेलब्रॉट का मानना ​​था कि कीमत में उतार-चढ़ाव में अनंत भिन्नताएं होती हैं। यही कारण है कि कोई भी विश्लेषण पद्धति अप्रभावी होती है। उन्हें पूरी तरह से फ्रैक्टल विश्लेषण के आधार पर मूल्य वितरण का विश्लेषण करने के लिए कहा गया, जो सबसे अच्छा साबित हुआ।

निष्कर्ष

बिल विलास (पुस्तक "ट्रेडिंग कैओस" के लेखक) को विश्वास है कि अराजकता की विशेषताएँ व्यवस्थितता और यादृच्छिकता हैं। उनकी राय में, अराजकता स्थायी है, उसी स्थिरता की तुलना में, जो अस्थायी है। बदले में, यह अराजकता का उत्पाद है। संक्षेप में, कैओस सिद्धांत तकनीकी विश्लेषण के आधार पर ही सवाल उठाता है।

विलियम्स के अनुसार, एक बाज़ार सहभागी जो अपने विश्लेषण में केवल एक रैखिक परिप्रेक्ष्य लेता है वह कभी भी अच्छे परिणाम प्राप्त नहीं करेगा।

इसके अलावा, व्यापारियों को नुकसान होता है क्योंकि वे विभिन्न प्रकार के विश्लेषणों पर भरोसा करते हैं, जो अक्सर पूरी तरह से बेकार होते हैं।

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कैओस सिद्धांत, जिसे नॉनलाइनियर डायनेमिक सिस्टम के सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है, हाल ही में बाजार अनुसंधान के लिए सबसे फैशनेबल दृष्टिकोणों में से एक बन गया है। दुर्भाग्य से, अराजकता की अवधारणा की कोई सटीक गणितीय परिभाषा अभी तक मौजूद नहीं है। अब अराजकता को अक्सर एक गतिशील प्रणाली में होने वाली निरंतर अरैखिक और अनियमित जटिल गति की अत्यधिक अप्रत्याशितता के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अराजकता सिद्धांत के अनुसार, दुनिया में यादृच्छिकता और व्यवस्था एक साथ राज करती है। वे अविभाज्य हैं, अच्छे और बुरे की तरह, बाएँ और दाएँ की तरह।


यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अप्रत्याशितता की संपत्ति के बावजूद, अराजकता यादृच्छिक नहीं है। इसके अलावा, अराजकता गतिशील रूप से निर्धारित (निर्धारित) होती है। पहली नज़र में, अप्रत्याशितता यादृच्छिकता पर सीमा बनाती है - आखिरकार, हम, एक नियम के रूप में, केवल यादृच्छिक घटनाओं की भविष्यवाणी नहीं कर सकते हैं। और अगर हम बाजार को एक यादृच्छिक चाल के रूप में मानते हैं, तो यह वही मामला है। हालाँकि, अराजकता आकस्मिक नहीं है; यह अपने स्वयं के कानूनों का पालन करती है। अराजकता सिद्धांत के अनुसार, यदि आप अराजक मूल्य आंदोलन के बारे में बात करते हैं, तो आपका मतलब यादृच्छिक मूल्य आंदोलन नहीं होना चाहिए, बल्कि दूसरा, विशेष रूप से आदेशित आंदोलन। यदि बाजार की गतिशीलता अराजक है, तो वे यादृच्छिक नहीं हैं, हालांकि वे अभी भी अप्रत्याशित हैं।
अराजकता की अप्रत्याशितता को मुख्य रूप से प्रारंभिक स्थितियों पर इसकी महत्वपूर्ण निर्भरता द्वारा समझाया गया है। यह निर्भरता इंगित करती है कि अध्ययन के तहत वस्तु के मापदंडों को मापने में सबसे छोटी त्रुटियां भी पूरी तरह से गलत भविष्यवाणियां कर सकती हैं। ये त्रुटियाँ सभी प्रारंभिक स्थितियों की प्राथमिक अज्ञानता के कारण भी उत्पन्न हो सकती हैं। कुछ निश्चित रूप से हमारे ध्यान से बच जाएगा, जिसका अर्थ है कि समस्या के सूत्रीकरण में पहले से ही एक आंतरिक त्रुटि होगी, जिससे भविष्यवाणियों में महत्वपूर्ण त्रुटियां होंगी। दीर्घकालिक मौसम पूर्वानुमान लगाने में असमर्थता के संबंध में, प्रारंभिक स्थितियों पर महत्वपूर्ण निर्भरता को कभी-कभी "तितली प्रभाव" कहा जाता है। "तितली प्रभाव" इस संभावना को संदर्भित करता है कि ब्राजील में तितली के पंख फड़फड़ाने से टेक्सास में बवंडर आएगा।
अनुसंधान और गणना के परिणामों में अतिरिक्त अशुद्धियाँ पहली नज़र में सिस्टम को प्रभावित करने वाले सबसे अदृश्य कारकों द्वारा पेश की जा सकती हैं, जो प्रारंभिक क्षण से वास्तविक और अंतिम परिणाम की उपस्थिति तक इसके अस्तित्व की अवधि के दौरान दिखाई देते हैं। इस मामले में, प्रभावित करने वाले कारक बहिर्जात और अंतर्जात दोनों हो सकते हैं।
अराजक व्यवहार का एक ज्वलंत उदाहरण बिलियर्ड बॉल की गति है। यदि आपने कभी बिलियर्ड्स खेला है, तो आप जानते हैं कि अंतिम परिणाम शॉट की प्रारंभिक सटीकता, उसके बल, गेंद के सापेक्ष क्यू की स्थिति, गेंद के हिट होने के स्थान का आकलन, साथ ही साथ पर निर्भर करता है। मेज पर अन्य गेंदों का स्थान। इन कारकों में से किसी एक में थोड़ी सी भी अशुद्धि सबसे अप्रत्याशित परिणामों की ओर ले जाती है - गेंद खिलाड़ी की योजना से बिल्कुल अलग दिशा में लुढ़क सकती है। इसके अलावा, भले ही खिलाड़ी ने सब कुछ सही ढंग से और शानदार ढंग से सफलतापूर्वक किया हो, पांच या छह टकरावों के बाद गेंद की गतिविधियों की भविष्यवाणी करने का प्रयास करें।
आइए अंतिम परिणाम पर प्रारंभिक स्थितियों के प्रभाव के एक और उदाहरण पर विचार करें। आइए, उदाहरण के लिए, एक पहाड़ की चोटी पर एक पत्थर की कल्पना करें। बस इसे थोड़ा सा धक्का दो और यह नीचे लुढ़क जाएगा। हालाँकि, धक्का की ताकत और उसकी दिशा में एक बहुत छोटा सा परिवर्तन उस स्थान पर बहुत महत्वपूर्ण परिवर्तन ला सकता है जहाँ पत्थर पहाड़ की तलहटी में रुकता है। हालाँकि, एक पत्थर की गति और एक अराजक व्यवस्था के व्यवहार के बीच एक बहुत महत्वपूर्ण अंतर है। पहले में, पहाड़ से गिरने के दौरान पत्थर को प्रभावित करने वाले कारक (हवा, बाधाएं, टकराव के कारण आंतरिक संरचना में परिवर्तन आदि) प्रारंभिक स्थितियों की तुलना में अंतिम परिणाम पर मजबूत प्रभाव नहीं डालते हैं। अराजक प्रणालियों में, छोटे परिवर्तन न केवल प्रारंभिक स्थितियों में, बल्कि किसी अन्य समय पर भी परिणाम पर महत्वपूर्ण प्रभाव डालते हैं।
अराजकता सिद्धांत के मुख्य निष्कर्षों में से एक, इसलिए, निम्नलिखित है: भविष्य की भविष्यवाणी करना असंभव है, क्योंकि अन्य चीजों के अलावा, सभी कारकों और स्थितियों की अज्ञानता से हमेशा माप त्रुटियां उत्पन्न होंगी।
दूसरे शब्दों में, छोटे बदलावों और/या गलतियों के बड़े परिणाम होते हैं।
इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कितनी गिनती शुरू करते हैं, परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा (चित्र 6.3)। इसके अलावा, हम भविष्य में जितना आगे देखेंगे परिणामों का संयोग उतना ही कम होगा। यह सटीक गणितीय सूत्रों को संदर्भित नहीं करता है, बल्कि अराजकता सिद्धांत के जीवन प्रतिमान को दर्शाता है। एक अच्छी कहावत है जो सैद्धांतिक अभिधारणा के इस सूत्रीकरण को चरितार्थ करती है: "आप एक ही नदी में दो बार कदम नहीं रख सकते।"
अराजकता की एक और बुनियादी संपत्ति त्रुटि का तेजी से संचय है। क्वांटम यांत्रिकी के नियमों के अनुसार, प्रारंभिक स्थितियां हमेशा अनिश्चित होती हैं, और अराजकता सिद्धांत के अनुसार, ये अनिश्चितताएं तेजी से बढ़ेंगी और पूर्वानुमान की अनुमेय सीमा को पार कर जाएंगी।

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इसलिए, मैं भविष्य की सटीक भविष्यवाणी नहीं कर सकता, केवल अनुमान लगाता हूँ
मैं सभी आरंभिक स्थितियों को नहीं जानता
मैं सभी प्रभावित करने वाले कारकों को नहीं जानता
समय >
टी(0)
टी(पी)
टी(1)...टी(पी-1)
चावल। 6.3. प्रारंभिक स्थितियों और प्रभावित करने वाले कारकों पर परिणाम की महत्वपूर्ण निर्भरता।
अराजकता सिद्धांत का दूसरा निष्कर्ष: समय के साथ पूर्वानुमानों की विश्वसनीयता तेजी से घटती जाती है (चित्र 6.4)। यह निष्कर्ष मौलिक विश्लेषण की प्रयोज्यता के लिए एक महत्वपूर्ण सीमा है, जो एक नियम के रूप में, दीर्घकालिक श्रेणियों के साथ संचालित होता है।

समय
वे आमतौर पर कहते हैं कि अराजकता व्यवस्था का एक उच्च रूप है, लेकिन अराजकता को व्यवस्था का एक बिल्कुल अलग रूप मानना ​​अधिक सही है - किसी भी गतिशील प्रणाली में अनिवार्य रूप से, व्यवस्था (अपनी सामान्य समझ में) के बाद अराजकता आती है, और अराजकता के बाद अराजकता आती है आदेश से। यदि हम अराजकता को अव्यवस्था के रूप में परिभाषित करें तो ऐसी अव्यवस्था में हम निश्चित रूप से अपनी व्यवस्था का एक विशेष रूप देख सकेंगे। उदाहरण के लिए, सिगरेट का धुआं, जो शुरू में एक व्यवस्थित स्तंभ के रूप में उठता है, बाहरी वातावरण के प्रभाव में अधिक से अधिक विचित्र आकार लेता है, और इसकी गतिविधियां अराजक हो जाती हैं। प्रकृति में यादृच्छिकता का एक और उदाहरण किसी पेड़ का एक पत्ता है। यह तर्क दिया जा सकता है कि आपको कई समान पत्ते मिलेंगे, उदाहरण के लिए ओक, लेकिन एक भी जोड़ा समान नहीं मिलेगा
पत्तियों। अंतर तापमान, हवा, आर्द्रता और अन्य बाहरी कारकों के साथ-साथ विशुद्ध रूप से आंतरिक कारणों (जैसे, उदाहरण के लिए, आनुवंशिक अंतर) से पूर्व निर्धारित होता है।
क्रम से अराजकता और वापसी की ओर बढ़ना, जाहिरा तौर पर, ब्रह्मांड का सार है, चाहे हम इसकी किसी भी अभिव्यक्ति का अध्ययन करें। यहां तक ​​कि मानव मस्तिष्क में भी एक ही समय में व्यवस्था और अराजकता दोनों होती है। पहला मस्तिष्क के बाएँ गोलार्ध से मेल खाता है, और दूसरा दाएँ से। बायां गोलार्ध जागरूक मानव व्यवहार के लिए, व्यवहार में रैखिक नियमों और रणनीतियों के विकास के लिए जिम्मेदार है, जहां "यदि... तो..." स्पष्ट रूप से परिभाषित है। दाहिने गोलार्ध में, गैर-रैखिकता और अराजकता शासन करती है। अंतर्ज्ञान मस्तिष्क के दाहिने गोलार्ध की अभिव्यक्तियों में से एक है।
कैओस सिद्धांत एक अराजक व्यवस्था के क्रम का अध्ययन करता है, जो यादृच्छिक, अव्यवस्थित दिखाई देती है। साथ ही, अराजकता सिद्धांत भविष्य में अराजक प्रणाली के व्यवहार की सटीक भविष्यवाणी करने का कार्य निर्धारित किए बिना, ऐसी प्रणाली का एक मॉडल बनाने में मदद करता है।
अराजकता सिद्धांत के पहले तत्व 19वीं सदी में सामने आए, लेकिन इस सिद्धांत को सच्चा वैज्ञानिक विकास 20वीं सदी के उत्तरार्ध में मिला, मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के एडवर्ड लोरेंज और फ्रांसीसी-अमेरिकी गणितज्ञ बेनोइट बी के काम के साथ। मैंडेलब्रॉट ( बेनोइट वी. मैंडेलब्रॉट)।
एडवर्ड लोरेन्ज़ ने एक समय (20वीं सदी के शुरुआती 60 के दशक में, 1963 में प्रकाशित कार्य) मौसम पूर्वानुमान में आने वाली कठिनाइयों पर विचार किया था।
लोरेन्ज़ के काम से पहले, विज्ञान की दुनिया में अनंत समय में मौसम की सटीक भविष्यवाणी करने की संभावना के संबंध में दो प्रचलित राय थीं।
पहला दृष्टिकोण 1776 में फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे साइमन लाप्लास द्वारा तैयार किया गया था, जिन्होंने कहा था:
...अगर हम एक ऐसे दिमाग की कल्पना करें जो एक निश्चित क्षण में ब्रह्मांड में वस्तुओं के बीच सभी संबंधों को समझ लेता है, तो वह अतीत में या किसी भी समय इन सभी वस्तुओं की संबंधित स्थिति, चाल और सामान्य प्रभाव स्थापित करने में सक्षम होगा। भविष्य।
उनका यह दृष्टिकोण आर्किमिडीज़ के प्रसिद्ध शब्दों के समान था: "मुझे एक आधार दो, और मैं पूरी दुनिया को उल्टा कर दूंगा।" इस प्रकार, लाप्लास और उनके समर्थकों ने तर्क दिया कि सटीक भविष्यवाणी के लिए ब्रह्मांड में सभी कणों, उनके स्थान, गति, द्रव्यमान, गति की दिशा, त्वरण आदि के बारे में यथासंभव अधिक जानकारी एकत्र करना आवश्यक है। लाप्लास का विचार था कि व्यक्ति जितना अधिक जानेगा, उसका पूर्वानुमान उतना ही सटीक होगा।
मौसम पूर्वानुमान की संभावना के लिए दूसरा दृष्टिकोण किसी अन्य से पहले एक अन्य फ्रांसीसी गणितज्ञ - जूल्स हेनरी पोंकारे (पोंकारे) द्वारा सबसे स्पष्ट रूप से तैयार किया गया था। 1903 में उन्होंने कहा:
यदि हम प्रारंभिक क्षण में प्रकृति के नियमों और ब्रह्मांड की स्थिति को ठीक से जानते हैं, तो हम अगले क्षण में उसी ब्रह्मांड की स्थिति का सटीक अनुमान लगा सकते हैं। परंतु यदि प्रकृति के नियम हमारे सामने अपने सारे रहस्य प्रकट भी कर दें तो भी हम प्रारंभिक स्थिति लगभग ही जान सकेंगे। यदि यह हमें उसी सन्निकटन के साथ आगामी स्थिति की भविष्यवाणी करने में सक्षम बनाता है, तो हमें बस इतना ही चाहिए होगा, और हम कह सकते हैं कि घटना की भविष्यवाणी की गई थी, कि यह कानूनों द्वारा शासित थी। लेकिन यह हमेशा मामला नहीं होता है: प्रारंभिक स्थितियों में छोटे अंतर अंतिम घटना में बहुत बड़े अंतर का कारण बन सकते हैं। पहले में एक छोटी सी गलती बाद में एक बड़ी गलती को जन्म देगी। भविष्यवाणी असंभव हो जाती है, और हम एक ऐसी घटना से निपट रहे हैं जो संयोग से विकसित होती है।
पोंकारे के इन शब्दों में हमें प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भरता के बारे में अराजकता सिद्धांत का सिद्धांत मिलता है। विज्ञान के बाद के विकास, विशेषकर क्वांटम यांत्रिकी ने लाप्लास के नियतिवाद का खंडन किया।
1927 में, जर्मन भौतिक विज्ञानी वर्नर हाइजेनबर्ग ने अनिश्चितता सिद्धांत की खोज की और उसे प्रतिपादित किया। यह सिद्धांत बताता है कि क्यों कुछ यादृच्छिक घटनाएं लाप्लासियन नियतिवाद का पालन नहीं करती हैं। हाइजेनबर्ग ने रेडियोधर्मी परमाणु क्षय के उदाहरण का उपयोग करके अनिश्चितता सिद्धांत का प्रदर्शन किया। इस प्रकार, नाभिक का आकार बहुत छोटा होने के कारण इसके अंदर होने वाली सभी प्रक्रियाओं को जानना असंभव है। इसलिए, हम नाभिक के बारे में कितनी भी जानकारी एकत्र कर लें, यह सटीक अनुमान लगाना असंभव है कि यह नाभिक कब क्षय होगा।
अराजकता सिद्धांत के पास कौन से उपकरण हैं? सबसे पहले, ये आकर्षणकर्ता और भग्न हैं।
एक आकर्षितकर्ता (अंग्रेजी से आकर्षित करने के लिए - आकर्षित करने के लिए) एक ज्यामितीय संरचना है जो लंबे समय के बाद चरण स्थान में व्यवहार की विशेषता बताती है। हम यह भी कह सकते हैं कि एक आकर्षणकर्ता प्रणाली की सीमा है, इसके दोलनों और गतिशीलता की सीमा है।
यहां चरण स्थान की अवधारणा को परिभाषित करने की आवश्यकता उत्पन्न होती है। तो, चरण स्थान एक अमूर्त स्थान है जिसके निर्देशांक सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री हैं। उदाहरण के लिए, एक पेंडुलम की गति में स्वतंत्रता की दो डिग्री होती हैं। यह गति पूरी तरह से पेंडुलम की प्रारंभिक गति और उसकी स्थिति से निर्धारित होती है। यदि पेंडुलम की गति के लिए कोई प्रतिरोध नहीं है, तो चरण स्थान एक बंद वृत्त होगा। वास्तव में पृथ्वी पर पेंडुलम की गति घर्षण बल से प्रभावित होती है। इस मामले में, चरण स्थान एक सर्पिल होगा (चित्र 6.5)।

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दूसरे शब्दों में, एक आकर्षितकर्ता समाधान का क्षेत्र है, सिस्टम क्या हासिल करने का प्रयास करता है, वह किस ओर आकर्षित होता है।
आकर्षण का सबसे सरल प्रकार एक बिंदु है। घर्षण की उपस्थिति में ऐसा आकर्षणकर्ता पेंडुलम की विशेषता है। प्रारंभिक गति और स्थिति के बावजूद, पेंडुलम हमेशा आराम की स्थिति में आएगा, यानी। बिल्कुल।
अगले प्रकार के आकर्षण को सीमा चक्र कहा जा सकता है, जिसमें एक बंद घुमावदार रेखा का रूप होता है। ऐसे आकर्षितकर्ता का एक उदाहरण एक पेंडुलम होगा, जो घर्षण से प्रभावित नहीं होता है।
सीमा चक्र का एक अन्य उदाहरण हृदय की धड़कन है। धड़कन की आवृत्ति घट और बढ़ सकती है, लेकिन यह हमेशा अपने आकर्षणकर्ता, अपने बंद वक्र की ओर प्रवृत्त होती है।
तीसरे प्रकार का आकर्षण टोरस है। चित्र में. 6.6 टोरस को ऊपरी दाएँ कोने में दिखाया गया है।
अराजक आकर्षणकर्ताओं के व्यवहार की जटिलता के बावजूद, जिन्हें कभी-कभी अजीब आकर्षितकर्ता भी कहा जाता है, चरण स्थान का ज्ञान सिस्टम के व्यवहार को ज्यामितीय रूप में प्रस्तुत करना और उसके अनुसार भविष्यवाणी करना संभव बनाता है। और यद्यपि सिस्टम के लिए चरण स्थान में एक विशिष्ट बिंदु पर समय के एक विशिष्ट क्षण में स्थित होना लगभग असंभव है, वह क्षेत्र जहां वस्तु स्थित है और आकर्षित करने वाले के प्रति इसकी प्रवृत्ति का अनुमान लगाया जा सकता है।
पहला अराजक आकर्षणकर्ता लोरेंत्ज़ आकर्षणकर्ता था (चित्र 6.6 में निचले बाएँ कोने में और चित्र 6.7 में इसकी पूरी महिमा में)।
लोरेंत्ज़ अट्रैक्टर की गणना स्वतंत्रता की केवल तीन डिग्री के आधार पर की जाती है - तीन सामान्य अंतर समीकरण, तीन स्थिरांक और तीन प्रारंभिक स्थितियां। हालाँकि, अपनी सादगी के बावजूद, लोरेंत्ज़ प्रणाली छद्म-यादृच्छिक (अराजक) तरीके से व्यवहार करती है।

Br/>कंप्यूटर पर अपने सिस्टम का अनुकरण करके, लॉरेन्ज़ ने इसके अराजक व्यवहार का कारण पहचाना - प्रारंभिक स्थितियों में अंतर। यहां तक ​​कि विकास की प्रक्रिया में शुरुआत में ही दो प्रणालियों के सूक्ष्म विचलन के कारण त्रुटियों का तेजी से संचय हुआ और, तदनुसार, उनका स्टोकेस्टिक विचलन हुआ।
साथ ही, किसी भी आकर्षितकर्ता के सीमित आयाम होते हैं, इसलिए विभिन्न प्रणालियों के दो प्रक्षेप पथों का घातीय विचलन अनिश्चित काल तक जारी नहीं रह सकता है। देर-सबेर, कक्षाएँ फिर से एकत्रित होंगी और एक-दूसरे के बगल से गुजरेंगी या यहाँ तक कि संयोग करेंगी, हालाँकि बाद की संभावना नहीं है। वैसे, प्रक्षेप पथों का संयोग सरल पूर्वानुमेय आकर्षणकर्ताओं के व्यवहार का एक नियम है।
एक अराजक आकर्षणकर्ता का अभिसरण-विचलन (क्रमशः फोल्डिंग और स्ट्रेचिंग भी कहा जाता है) प्रारंभिक जानकारी को व्यवस्थित रूप से समाप्त कर देता है और इसे नई जानकारी से बदल देता है। जैसे-जैसे प्रक्षेप पथ अभिसरण होते हैं, निकट दृष्टि प्रभाव प्रकट होने लगता है - बड़े पैमाने पर जानकारी की अनिश्चितता बढ़ जाती है। जब प्रक्षेप पथ विचलन करते हैं, तो विपरीत सत्य होता है - वे अलग हो जाते हैं और जब छोटे पैमाने की जानकारी की अनिश्चितता बढ़ जाती है तो दूरदर्शिता का प्रभाव प्रकट होता है।
एक अराजक आकर्षणकर्ता के निरंतर अभिसरण और विचलन के परिणामस्वरूप, अनिश्चितता तेजी से बढ़ती है, जो हमें सटीक भविष्यवाणियां करने के अवसर से वंचित कर देती है। विज्ञान को जिस चीज़ पर इतना गर्व है - कारणों और प्रभावों के बीच संबंध स्थापित करने की क्षमता - अराजक प्रणालियों में असंभव है। अराजकता में अतीत और भविष्य के बीच कोई कारण-और-प्रभाव संबंध नहीं होता है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अभिसरण-विचलन की गति अराजकता का एक उपाय है, अर्थात। व्यवस्था कितनी अराजक है इसकी एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति। अराजकता का एक अन्य सांख्यिकीय माप आकर्षित करने वाले का आयाम है।
इस प्रकार, यह ध्यान दिया जा सकता है कि अराजक आकर्षणों की मुख्य संपत्ति विभिन्न प्रणालियों के प्रक्षेप पथों का अभिसरण और विचलन है, जो यादृच्छिक रूप से धीरे-धीरे और असीम रूप से मिश्रित होते हैं।
फ्रैक्टल ज्यामिति और अराजकता सिद्धांत का प्रतिच्छेदन यहाँ स्पष्ट है। और, यद्यपि अराजकता सिद्धांत का एक उपकरण फ्रैक्टल ज्यामिति है, जो सरल नियमों को लागू करके जटिल आंकड़े प्राप्त करने की अनुमति देता है, एक फ्रैक्टल अराजकता के विपरीत है।
अराजकता और फ्रैक्टल के बीच मुख्य अंतर यह है कि पूर्व एक गतिशील घटना है, जबकि फ्रैक्टल स्थिर है। अराजकता की गतिशील संपत्ति को प्रक्षेप पथ में अस्थिर और गैर-आवधिक परिवर्तन के रूप में समझा जाता है।

अराजकता सिद्धांत का परिचय

अराजकता सिद्धांत क्या है?

कैओस सिद्धांत जटिल अरेखीय गतिशील प्रणालियों का अध्ययन है।

औपचारिक रूप से, अराजकता सिद्धांत को जटिल गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया गया है। कॉम्प्लेक्स शब्द का यही मतलब है, और नॉनलाइनियर शब्द से हमारा मतलब उच्च गणित से रिकर्सन और एल्गोरिदम से है, और अंत में, डायनेमिक का मतलब गैर-स्थिर और गैर-आवधिक है। इस प्रकार, अराजकता सिद्धांत निरंतर बदलती जटिल प्रणालियों का अध्ययन है, जो पुनरावृत्ति की गैर-गणितीय अवधारणाओं पर आधारित है, चाहे वह पुनरावर्ती प्रक्रिया के रूप में हो या विभेदक समीकरणों के एक सेट के रूप में हो जो एक भौतिक प्रणाली को मॉडल करता है।

कैओस थ्योरी के बारे में गलत धारणाएँ

जुरासिक पार्क जैसी फिल्मों की बदौलत आम जनता ने अराजकता सिद्धांत पर ध्यान देना शुरू किया और उनकी बदौलत अराजकता सिद्धांत के प्रति जनता का डर लगातार बढ़ रहा है। हालाँकि, मीडिया में कवर की गई किसी भी चीज़ की तरह, अराजकता सिद्धांत को लेकर भी कई गलत धारणाएँ हैं।

सबसे आम विसंगति यह है कि लोग सोचते हैं कि अराजकता सिद्धांत अव्यवस्था के बारे में एक सिद्धांत है। सच से और दूर कुछ भी नहीं हो सकता! यह नियतिवाद का खंडन या यह दावा नहीं है कि आदेशित प्रणालियाँ असंभव हैं; यह प्रायोगिक साक्ष्यों का खंडन या यह कथन नहीं है कि जटिल प्रणालियाँ बेकार हैं। अराजकता सिद्धांत में अराजकता ही व्यवस्था है - और केवल व्यवस्था भी नहीं, बल्कि व्यवस्था का सार है।

यह सच है कि अराजकता सिद्धांत कहता है कि छोटे परिवर्तन बड़े परिणाम उत्पन्न कर सकते हैं। लेकिन सिद्धांत में केंद्रीय अवधारणाओं में से एक प्रणाली की स्थिति की सटीक भविष्यवाणी करने की असंभवता है। सामान्य तौर पर, किसी सिस्टम के समग्र व्यवहार को मॉडलिंग करने का कार्य काफी संभव है, यहाँ तक कि सरल भी। इस प्रकार, अराजकता सिद्धांत अपने प्रयासों को प्रणाली की अव्यवस्था - प्रणाली की वंशानुगत अप्रत्याशितता - पर नहीं बल्कि उसे विरासत में मिले क्रम पर - समान प्रणालियों के सामान्य व्यवहार पर केंद्रित करता है।

इस प्रकार, यह कहना गलत होगा कि अराजकता सिद्धांत अव्यवस्था के बारे में है। इसे एक उदाहरण से समझाने के लिए, आइए लोरेंत्ज़ अट्रैक्टर को लें। यह तीन विभेदक समीकरणों, तीन स्थिरांकों और तीन प्रारंभिक स्थितियों पर आधारित है।

अव्यवस्था के बारे में कैओस सिद्धांत

एक आकर्षितकर्ता किसी भी समय गैस के व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है, और एक निश्चित क्षण में इसकी स्थिति उस क्षण से पहले के समय पर इसकी स्थिति पर निर्भर करती है। यदि मूल डेटा को बहुत छोटी मात्रा में भी बदला जाता है, तो मान लें कि ये मान इतने छोटे हैं कि अवोगाद्रो की संख्या में व्यक्तिगत परमाणुओं के योगदान की तुलना की जा सकती है (जो कि क्रम के मूल्यों की तुलना में बहुत छोटी संख्या है) 1024), आकर्षितकर्ता की स्थिति की जाँच करने पर पूरी तरह से अलग संख्याएँ दिखाई देंगी। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि छोटे अंतरों को पुनरावृत्ति द्वारा बढ़ाया जाता है।

हालाँकि, इसके बावजूद, आकर्षित करने वाला ग्राफ़ काफी समान दिखेगा। किसी भी समय दोनों प्रणालियों में पूरी तरह से अलग-अलग मूल्य होंगे, लेकिन आकर्षित करने वाला ग्राफ वही रहेगा क्योंकि यह सिस्टम के सामान्य व्यवहार को व्यक्त करता है।

कैओस सिद्धांत कहता है कि जटिल गैर-रेखीय प्रणालियाँ स्वाभाविक रूप से अप्रत्याशित होती हैं, लेकिन साथ ही, कैओस सिद्धांत कहता है कि ऐसी अप्रत्याशित प्रणालियों को व्यक्त करने का तरीका सटीक समानता में नहीं, बल्कि सिस्टम के व्यवहार के प्रतिनिधित्व में - अजीब आकर्षित करने वाले ग्राफ़ में सही होता है। या भग्न में. इस प्रकार, अराजकता सिद्धांत, जिसे कई लोग अप्रत्याशितता के रूप में सोचते हैं, एक ही समय में, सबसे अस्थिर प्रणालियों में भी पूर्वानुमान का विज्ञान बन जाता है।

वास्तविक दुनिया में अराजकता सिद्धांत का अनुप्रयोग

जब नए सिद्धांत सामने आते हैं, तो हर कोई जानना चाहता है कि उनमें क्या अच्छा है। तो अराजकता सिद्धांत के बारे में क्या अच्छा है? पहला और सबसे महत्वपूर्ण, अराजकता सिद्धांत एक सिद्धांत है। इसका मतलब यह है कि इसका अधिकांश उपयोग प्रत्यक्ष रूप से लागू ज्ञान की तुलना में वैज्ञानिक आधार के रूप में अधिक किया जाता है। कैओस सिद्धांत दुनिया में होने वाली घटनाओं को न्यूटन के बाद से विज्ञान पर हावी रहे अधिक पारंपरिक स्पष्ट नियतात्मक दृष्टिकोण से अलग देखने का एक बहुत अच्छा तरीका है। जुरासिक पार्क देखने वाले दर्शकों को इसमें कोई संदेह नहीं है कि अराजकता सिद्धांत दुनिया की मानवीय धारणा को बहुत प्रभावित कर सकता है, और वास्तव में, अराजकता सिद्धांत वैज्ञानिक डेटा को नए तरीकों से व्याख्या करने के साधन के रूप में उपयोगी है। पारंपरिक XY भूखंडों के बजाय, वैज्ञानिक अब चरण-अंतरिक्ष आरेखों की व्याख्या कर सकते हैं जो - समय में किसी विशेष बिंदु पर किसी भी चर की सटीक स्थिति का वर्णन करने के बजाय - एक प्रणाली के समग्र व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं। सांख्यिकीय डेटा के आधार पर सटीक समानताएं देखने के बजाय, अब हम स्थैतिक डेटा की प्रकृति के समान व्यवहार वाले गतिशील सिस्टम को देख सकते हैं - यानी। समान आकर्षण वाले सिस्टम। कैओस सिद्धांत वैज्ञानिक ज्ञान के विकास के लिए एक मजबूत रूपरेखा प्रदान करता है।

हालाँकि, उपरोक्त के अनुसार, इसका मतलब यह नहीं है कि अराजकता सिद्धांत का वास्तविक जीवन में कोई अनुप्रयोग नहीं है।

अराजकता सिद्धांत तकनीकों का उपयोग जैविक प्रणालियों को मॉडल करने के लिए किया गया है, जो निस्संदेह सबसे अधिक अराजक प्रणालियों में से कुछ हैं जिनकी कल्पना की जा सकती है। जनसंख्या वृद्धि और महामारी से लेकर अतालतापूर्ण दिल की धड़कन तक हर चीज़ को मॉडल करने के लिए गतिशील समीकरण प्रणालियों का उपयोग किया गया है।

वास्तव में, लगभग किसी भी अराजक प्रणाली का मॉडल तैयार किया जा सकता है - शेयर बाजार ऐसे वक्र उत्पन्न करता है जिनका सटीक संबंधों के विपरीत अजीब आकर्षणकर्ताओं का उपयोग करके आसानी से विश्लेषण किया जा सकता है; टपकते नल से गिरने वाली बूंदों की प्रक्रिया नग्न कान से विश्लेषण करने पर यादृच्छिक प्रतीत होती है, लेकिन जब एक अजीब आकर्षण के रूप में चित्रित किया जाता है, तो यह एक अलौकिक क्रम को प्रकट करता है जिसकी पारंपरिक तरीकों से उम्मीद नहीं की जाएगी।

फ्रैक्टल हर जगह हैं, सबसे प्रमुख रूप से ग्राफ़िक्स कार्यक्रमों में जैसे कि अत्यधिक सफल फ्रैक्टल डिज़ाइन पेंटर श्रृंखला के उत्पाद। फ्रैक्टल डेटा संपीड़न तकनीकें अभी भी विकसित की जा रही हैं, लेकिन 600:1 के संपीड़न अनुपात जैसे आश्चर्यजनक परिणाम का वादा करती हैं। फ्रैक्टल ग्राफिक्स तकनीक के बिना फिल्म विशेष प्रभाव उद्योग में बहुत कम यथार्थवादी परिदृश्य तत्व (बादल, चट्टानें और छाया) होंगे।

भौतिकी में, फ्रैक्टल स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होते हैं जब अरेखीय प्रक्रियाओं की मॉडलिंग करते हैं, जैसे कि अशांत द्रव प्रवाह, जटिल प्रसार-सोखने की प्रक्रिया, लपटें, बादल, आदि। फ्रैक्टल का उपयोग छिद्रपूर्ण सामग्री की मॉडलिंग करते समय किया जाता है, उदाहरण के लिए, पेट्रोकेमिस्ट्री में। जीव विज्ञान में, उनका उपयोग आबादी को मॉडल करने और आंतरिक अंग प्रणालियों (रक्त वाहिका प्रणाली) का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

और, निस्संदेह, अराजकता सिद्धांत लोगों को गणित में रुचि हासिल करने का आश्चर्यजनक रूप से दिलचस्प तरीका देता है, जो आज ज्ञान के सबसे कम लोकप्रिय क्षेत्रों में से एक है।

अराजकता सिद्धांत हाल ही में बाजार अनुसंधान के सबसे फैशनेबल तरीकों में से एक बन गया है। दुर्भाग्य से, अराजकता की अवधारणा की कोई सटीक गणितीय परिभाषा अभी तक मौजूद नहीं है। अब अराजकता को अक्सर एक गतिशील प्रणाली में होने वाली निरंतर अरैखिक और अनियमित जटिल गति की अत्यधिक अप्रत्याशितता के रूप में परिभाषित किया जाता है।

अराजकता आकस्मिक नहीं है

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अप्रत्याशितता के बावजूद अराजकता यादृच्छिक नहीं है। इसके अलावा, अराजकता गतिशील रूप से निर्धारित (निर्धारित) होती है। पहली नज़र में, अप्रत्याशितता यादृच्छिकता पर सीमा बनाती है - आखिरकार, हम, एक नियम के रूप में, केवल यादृच्छिक घटनाओं की भविष्यवाणी नहीं कर सकते हैं।

और यदि आप बाज़ार को एक यादृच्छिक चाल के रूप में मानते हैं, तो यह बिल्कुल मामला है। हालाँकि, अराजकता आकस्मिक नहीं है; यह अपने स्वयं के कानूनों का पालन करती है। अराजकता सिद्धांत के अनुसार, यदि आप अराजक मूल्य आंदोलन के बारे में बात करते हैं, तो आपका मतलब यादृच्छिक मूल्य आंदोलन नहीं होना चाहिए, बल्कि दूसरा, विशेष रूप से आदेशित आंदोलन। यदि बाजार की गतिशीलता अराजक है, तो वे यादृच्छिक नहीं हैं, हालांकि वे अभी भी अप्रत्याशित हैं।

अराजकता की अप्रत्याशितता

अराजकता की अप्रत्याशितता को मुख्य रूप से प्रारंभिक स्थितियों पर इसकी महत्वपूर्ण निर्भरता द्वारा समझाया गया है। यह निर्भरता इंगित करती है कि अध्ययन के तहत वस्तु के मापदंडों को मापने में सबसे छोटी त्रुटियां भी पूरी तरह से गलत भविष्यवाणियां कर सकती हैं।

ये त्रुटियाँ सभी प्रारंभिक स्थितियों की प्राथमिक अज्ञानता के कारण उत्पन्न हो सकती हैं। कुछ निश्चित रूप से हमारे ध्यान से बच जाएगा, जिसका अर्थ है कि समस्या के सूत्रीकरण में पहले से ही एक आंतरिक त्रुटि होगी, जिससे भविष्यवाणियों में महत्वपूर्ण त्रुटियां होंगी।

"तितली प्रभाव"

दीर्घकालिक मौसम पूर्वानुमान लगाने में असमर्थता के संबंध में, प्रारंभिक स्थितियों पर महत्वपूर्ण निर्भरता को कभी-कभी "तितली प्रभाव" कहा जाता है। "तितली प्रभाव" इस संभावना को संदर्भित करता है कि ब्राजील में तितली के पंख फड़फड़ाने से टेक्सास में बवंडर आएगा।

अनुसंधान और गणना के परिणामों में अतिरिक्त अशुद्धियाँ पहली नज़र में सिस्टम को प्रभावित करने वाले सबसे अदृश्य कारकों द्वारा पेश की जा सकती हैं, जो प्रारंभिक क्षण से वास्तविक और अंतिम परिणाम की उपस्थिति तक इसके अस्तित्व की अवधि के दौरान दिखाई देते हैं। इस मामले में, प्रभावित करने वाले कारक बहिर्जात (बाहरी) और अंतर्जात (आंतरिक) दोनों हो सकते हैं।

अराजक व्यवहार का एक ज्वलंत उदाहरण बिलियर्ड बॉल की गति है। यदि आपने कभी बिलियर्ड्स खेला है, तो आप जानते हैं कि अंतिम परिणाम हिट की प्रारंभिक सटीकता, उसके बल, गेंद के सापेक्ष क्यू की स्थिति, गेंद के हिट होने के स्थान का आकलन, साथ ही साथ पर निर्भर करता है। मेज पर अन्य गेंदों का स्थान। इन कारकों में से किसी एक में थोड़ी सी भी अशुद्धि सबसे अप्रत्याशित परिणामों की ओर ले जाती है - गेंद बिलियर्ड खिलाड़ी की अपेक्षा से पूरी तरह से अलग तरीके से लुढ़क सकती है। इसके अलावा, भले ही बिलियर्ड खिलाड़ी ने सब कुछ सही ढंग से किया हो, पांच या छह टकरावों के बाद गेंद की गति का अनुमान लगाने का प्रयास करें।

आइए अंतिम परिणाम पर प्रारंभिक स्थितियों के प्रभाव के एक और उदाहरण पर विचार करें। आइए, उदाहरण के लिए, एक पहाड़ की चोटी पर एक पत्थर की कल्पना करें। बस उसे थोड़ा सा धक्का दो, और वह लुढ़क कर पहाड़ की तलहटी में जा गिरेगा। यह स्पष्ट है कि धक्का के बल और उसकी दिशा में एक बहुत छोटा परिवर्तन उस स्थान पर बहुत महत्वपूर्ण परिवर्तन ला सकता है जहां पत्थर पैर पर रुकता है। हालाँकि, एक पत्थर के उदाहरण और एक अराजक प्रणाली के बीच एक बहुत महत्वपूर्ण अंतर है।

पहले में, पहाड़ से गिरने के दौरान पत्थर को प्रभावित करने वाले कारक (हवा, बाधाएं, टकराव के कारण आंतरिक संरचना में परिवर्तन आदि) अब प्रारंभिक स्थितियों की तुलना में अंतिम परिणाम पर मजबूत प्रभाव नहीं डालते हैं। अराजक प्रणालियों में, छोटे परिवर्तन न केवल प्रारंभिक स्थितियों में, बल्कि अन्य कारकों पर भी परिणाम पर महत्वपूर्ण प्रभाव डालते हैं।

इसलिए, अराजकता सिद्धांत के मुख्य निष्कर्षों में से एक निम्नलिखित है - भविष्य की भविष्यवाणी करना असंभव है, क्योंकि अन्य बातों के अलावा, सभी कारकों और स्थितियों की अज्ञानता से हमेशा माप त्रुटियां उत्पन्न होंगी।

एक ही बात सरल है - छोटे बदलावों और/या गलतियों के बड़े परिणाम हो सकते हैं।

चित्र 1. प्रारंभिक स्थितियों और प्रभावित करने वाले कारकों पर परिणाम की महत्वपूर्ण निर्भरता

• अराजकता की एक और बुनियादी संपत्ति त्रुटि का तेजी से संचय है। क्वांटम यांत्रिकी के अनुसार, प्रारंभिक स्थितियाँ हमेशा अनिश्चित होती हैं, और अराजकता सिद्धांत के अनुसार, ये अनिश्चितताएँ तेजी से बढ़ेंगी और पूर्वानुमान की अनुमेय सीमा को पार कर जाएंगी।
• अराजकता सिद्धांत का दूसरा निष्कर्ष यह है कि समय के साथ पूर्वानुमानों की विश्वसनीयता तेजी से घटती जाती है।

यह निष्कर्ष मौलिक विश्लेषण की प्रयोज्यता के लिए एक महत्वपूर्ण सीमा है, जो एक नियम के रूप में, दीर्घकालिक श्रेणियों पर काम करता है।

चित्र 2. पूर्वानुमान विश्वास में तेजी से गिरावट

आमतौर पर यह कहा जाता है कि अराजकता व्यवस्था का एक उच्च रूप है, लेकिन अराजकता को व्यवस्था का दूसरा रूप मानना ​​अधिक सही है - किसी भी गतिशील प्रणाली में अनिवार्य रूप से, सामान्य अर्थ में व्यवस्था के बाद अराजकता आती है, और अराजकता के बाद व्यवस्था आती है। यदि हम अराजकता को अव्यवस्था के रूप में परिभाषित करें तो ऐसी अव्यवस्था में हम निश्चित रूप से अपनी व्यवस्था का एक विशेष रूप देख सकेंगे। उदाहरण के लिए, सिगरेट का धुआँ, शुरू में बाहरी वातावरण के प्रभाव में एक व्यवस्थित स्तंभ के रूप में उठता है, अधिक से अधिक विचित्र आकार लेता है, और इसकी गतिविधियाँ अराजक हो जाती हैं।

प्रकृति में यादृच्छिकता का एक और उदाहरण किसी पेड़ का एक पत्ता है। यह तर्क दिया जा सकता है कि आपको कई समान पत्तियां मिलेंगी, उदाहरण के लिए ओक, लेकिन समान पत्तियों की एक भी जोड़ी नहीं। अंतर विशुद्ध रूप से आंतरिक कारणों (उदाहरण के लिए, आनुवंशिक अंतर) के अलावा, तापमान, हवा, आर्द्रता और कई अन्य बाहरी कारकों से पूर्व निर्धारित होता है।

व्यवस्था से अराजकता की ओर और फिर वापस लौटना ब्रह्मांड का सार प्रतीत होता है, चाहे हम इसकी किसी भी अभिव्यक्ति का अध्ययन करें। यहां तक ​​कि मानव मस्तिष्क में भी एक ही समय में व्यवस्था और अराजकता दोनों होती है। पहला मस्तिष्क के बाएँ गोलार्ध से मेल खाता है, और दूसरा दाएँ से। बायां गोलार्ध सचेत मानव व्यवहार के लिए, मानव व्यवहार में रैखिक नियमों और रणनीतियों के विकास के लिए जिम्मेदार है, जहां "यदि... तो..." स्पष्ट रूप से परिभाषित है। दाहिने गोलार्ध में, गैर-रैखिकता और अराजकता शासन करती है। अंतर्ज्ञान मस्तिष्क के दाहिने गोलार्ध की अभिव्यक्तियों में से एक है।

कैओस सिद्धांत एक अराजक व्यवस्था के क्रम का अध्ययन करता है, जो यादृच्छिक, अव्यवस्थित दिखाई देती है। साथ ही, अराजकता सिद्धांत भविष्य में अराजक प्रणाली के व्यवहार की सटीक भविष्यवाणी करने का कार्य निर्धारित किए बिना, ऐसी प्रणाली का एक मॉडल बनाने में मदद करता है।

अराजकता सिद्धांत के पहले तत्व 19वीं सदी में सामने आए, लेकिन इस सिद्धांत को अपना वास्तविक वैज्ञानिक विकास 20वीं सदी के उत्तरार्ध में मिला, मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के एडवर्ड लोरेंज और फ्रांसीसी-अमेरिकी गणितज्ञ बेनोइट बी के काम के साथ। . मैंडलब्रॉट ).

एडवर्ड लोरेन्ज़ ने एक समय (20वीं सदी के शुरुआती 60 के दशक में, 1963 में प्रकाशित कार्य) मौसम पूर्वानुमान में आने वाली कठिनाइयों पर ध्यान दिया था।

लोरेन्ज़ के काम से पहले, विज्ञान की दुनिया में अनंत समय में मौसम की सटीक भविष्यवाणी करने की संभावना के संबंध में दो प्रचलित राय थीं।

पहला दृष्टिकोण 1776 में फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे साइमन लाप्लास द्वारा तैयार किया गया था। लाप्लास ने ऐसा कहा"...अगर हम एक ऐसे दिमाग की कल्पना करें जिसने एक निश्चित क्षण में ब्रह्मांड में वस्तुओं के बीच सभी संबंधों को समझ लिया है, तो यह अतीत में किसी भी समय इन सभी वस्तुओं की संबंधित स्थिति, चाल और सामान्य प्रभाव स्थापित करने में सक्षम होगा या भविष्य में". उनका यह दृष्टिकोण आर्किमिडीज़ के प्रसिद्ध शब्दों के समान था: "मुझे एक आधार दो, और मैं पूरी दुनिया को उल्टा कर दूंगा।"

इस प्रकार, लाप्लास और उनके समर्थकों ने कहा कि मौसम की सटीक भविष्यवाणी करने के लिए, ब्रह्मांड में सभी कणों, उनके स्थान, गति, द्रव्यमान, गति की दिशा, त्वरण आदि के बारे में अधिक जानकारी एकत्र करना आवश्यक है। लाप्लास का विचार था कि व्यक्ति जितना अधिक जानेगा, भविष्य के बारे में उसका पूर्वानुमान उतना ही अधिक सटीक होगा।

मौसम पूर्वानुमान की संभावना के लिए दूसरा दृष्टिकोण किसी अन्य से पहले एक अन्य फ्रांसीसी गणितज्ञ, जूल्स हेनरी पोंकारे द्वारा सबसे स्पष्ट रूप से तैयार किया गया था। 1903 में उन्होंने कहा:"यदि हम प्रारंभिक क्षण में प्रकृति के नियमों और ब्रह्मांड की स्थिति को ठीक से जानते हैं, तो हम अगले क्षण में उसी ब्रह्मांड की स्थिति का सटीक अनुमान लगा सकते हैं। लेकिन भले ही प्रकृति के नियमों ने हमारे सामने अपने सभी रहस्य प्रकट कर दिए हों, हम तब केवल प्रारंभिक स्थिति ही लगभग जान सकते थे। यदि यह हमें उसी अनुमान के साथ बाद की स्थिति की भविष्यवाणी करने में सक्षम बनाता, तो हमें बस इतना ही चाहिए होता, और हम कह सकते थे कि घटना की भविष्यवाणी की गई थी, कि यह कानूनों द्वारा शासित थी। लेकिन यह हमेशा ऐसा नहीं होता है; ऐसा हो सकता है कि प्रारंभिक स्थितियों में छोटे अंतर अंतिम घटना में बहुत बड़े अंतर उत्पन्न करेंगे। पूर्व में एक छोटी सी त्रुटि बाद में एक बड़ी त्रुटि उत्पन्न करेगी। भविष्यवाणी असंभव हो जाती है, और हम इससे निपट रहे हैं एक घटना जो संयोग से विकसित होती है।"

पोंकारे के इन शब्दों में हमें प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भरता के बारे में अराजकता सिद्धांत का सिद्धांत मिलता है। विज्ञान के बाद के विकास, विशेषकर क्वांटम यांत्रिकी ने लाप्लास के नियतिवाद का खंडन किया। 1927 में, जर्मन भौतिक विज्ञानी वर्नर हाइजेनबर्ग ने अनिश्चितता सिद्धांत की खोज की और उसे प्रतिपादित किया। यह सिद्धांत बताता है कि क्यों कुछ यादृच्छिक घटनाएं लाप्लासियन नियतिवाद का पालन नहीं करती हैं। हाइजेनबर्ग ने रेडियोधर्मी परमाणु क्षय के उदाहरण का उपयोग करके अनिश्चितता सिद्धांत का प्रदर्शन किया। इस प्रकार, नाभिक का आकार बहुत छोटा होने के कारण इसके अंदर होने वाली सभी प्रक्रियाओं को जानना असंभव है। इसलिए, हम नाभिक के बारे में कितनी भी जानकारी एकत्र कर लें, यह सटीक अनुमान लगाना असंभव है कि यह नाभिक कब क्षय होगा।

अराजकता सिद्धांत के पास कौन से उपकरण हैं? सबसे पहले, ये आकर्षणकर्ता और भग्न हैं।

अट्रैक्टर(अंग्रेज़ी से आकर्षित करने के लिए- आकर्षित करना) एक ज्यामितीय संरचना है जो लंबे समय के बाद चरण स्थान में व्यवहार की विशेषता बताती है।

यहां चरण स्थान की अवधारणा को परिभाषित करना आवश्यक हो जाता है। तो, चरण स्थान एक अमूर्त स्थान है जिसके निर्देशांक सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री हैं। उदाहरण के लिए, एक पेंडुलम की गति में स्वतंत्रता की दो डिग्री होती हैं। यह गति पूरी तरह से पेंडुलम की प्रारंभिक गति और स्थिति से निर्धारित होती है।

यदि पेंडुलम की गति के लिए कोई प्रतिरोध नहीं है, तो चरण स्थान एक बंद वक्र होगा। वास्तव में पृथ्वी पर पेंडुलम की गति घर्षण बल से प्रभावित होती है। इस मामले में, चरण स्थान एक सर्पिल होगा।

चित्र 3. चरण स्थान के उदाहरण के रूप में पेंडुलम गति

सीधे शब्दों में कहें तो, आकर्षित करने वाला वह है जिसे सिस्टम हासिल करने का प्रयास करता है, जिससे वह आकर्षित होता है।

• आकर्षण का सबसे सरल प्रकार एक बिंदु है। घर्षण की उपस्थिति में ऐसा आकर्षणकर्ता पेंडुलम की विशेषता है। प्रारंभिक गति और स्थिति के बावजूद, ऐसा पेंडुलम हमेशा आराम की स्थिति में आएगा, अर्थात। बिल्कुल।
• अगले प्रकार का आकर्षण एक सीमा चक्र है, जिसमें एक बंद घुमावदार रेखा का रूप होता है। ऐसे आकर्षितकर्ता का एक उदाहरण एक पेंडुलम है, जो घर्षण से प्रभावित नहीं होता है। सीमा चक्र का एक अन्य उदाहरण हृदय की धड़कन है। धड़कन की आवृत्ति घट और बढ़ सकती है, लेकिन यह हमेशा अपने आकर्षणकर्ता, अपने बंद वक्र की ओर प्रवृत्त होती है।
• तीसरे प्रकार का आकर्षण टोरस है। चित्र 4 में, टोरस को ऊपरी दाएं कोने में दिखाया गया है।

चित्र 4. आकर्षित करने वालों के मुख्य प्रकार। ऊपर तीन पूर्वानुमेय, सरल आकर्षण दर्शाए गए हैं। नीचे तीन अराजक आकर्षणकर्ता हैं।

अराजक आकर्षणकर्ताओं के व्यवहार की जटिलता के बावजूद, जिन्हें कभी-कभी अजीब आकर्षितकर्ता भी कहा जाता है, चरण स्थान का ज्ञान सिस्टम के व्यवहार को ज्यामितीय रूप में प्रस्तुत करना और उसके अनुसार भविष्यवाणी करना संभव बनाता है।

और यद्यपि सिस्टम के लिए चरण स्थान में एक विशिष्ट बिंदु पर समय के एक विशिष्ट क्षण में स्थित होना लगभग असंभव है, वह क्षेत्र जहां वस्तु स्थित है और आकर्षित करने वाले के प्रति इसकी प्रवृत्ति का अनुमान लगाया जा सकता है।

पहला अराजक आकर्षणकर्ता लोरेंत्ज़ आकर्षणकर्ता था। चित्र 3.7 में. इसे निचले बाएँ कोने में दिखाया गया है।

चित्र 5. अराजक लोरेन्ज़ आकर्षितकर्ता

लोरेंत्ज़ अट्रैक्टर की गणना स्वतंत्रता की केवल तीन डिग्री के आधार पर की जाती है - तीन सामान्य अंतर समीकरण, तीन स्थिरांक और तीन प्रारंभिक स्थितियां। हालाँकि, अपनी सादगी के बावजूद, लोरेंत्ज़ प्रणाली छद्म-यादृच्छिक (अराजक) तरीके से व्यवहार करती है।

कंप्यूटर पर अपने सिस्टम का अनुकरण करने के बाद, लॉरेन्ज़ ने इसके अराजक व्यवहार का कारण पहचाना - प्रारंभिक स्थितियों में अंतर। यहां तक ​​कि विकास की प्रक्रिया में शुरुआत में ही दो प्रणालियों के सूक्ष्म विचलन के कारण त्रुटियों का तेजी से संचय हुआ और, तदनुसार, उनका स्टोकेस्टिक विचलन हुआ।

साथ ही, किसी भी आकर्षितकर्ता के सीमित आयाम होते हैं, इसलिए विभिन्न प्रणालियों के दो प्रक्षेप पथों का घातीय विचलन अनिश्चित काल तक जारी नहीं रह सकता है। देर-सबेर कक्षाएँ फिर से एकत्रित होंगी और एक-दूसरे के बगल से गुजरेंगी या यहाँ तक कि संयोग करेंगी, हालाँकि बाद की संभावना बहुत कम है। वैसे, प्रक्षेप पथों का संयोग सरल पूर्वानुमेय आकर्षणकर्ताओं के व्यवहार का एक नियम है।

एक अराजक आकर्षणकर्ता का अभिसरण-विचलन (क्रमशः फोल्डिंग और स्ट्रेचिंग भी कहा जाता है) प्रारंभिक जानकारी को व्यवस्थित रूप से समाप्त कर देता है और इसे नई जानकारी से बदल देता है। जैसे-जैसे प्रक्षेप पथ अभिसरण होते हैं, निकट दृष्टि प्रभाव प्रकट होने लगता है - बड़े पैमाने पर जानकारी की अनिश्चितता बढ़ जाती है। जब प्रक्षेप पथ विचलन करते हैं, तो इसके विपरीत, वे अलग हो जाते हैं और जब छोटे पैमाने की जानकारी की अनिश्चितता बढ़ जाती है तो दूरदर्शिता का प्रभाव प्रकट होता है।

एक अराजक आकर्षणकर्ता के निरंतर अभिसरण और विचलन के परिणामस्वरूप, अनिश्चितता तेजी से बढ़ती है, जो समय के प्रत्येक क्षण के साथ हमें सटीक पूर्वानुमान लगाने के अवसर से वंचित कर देती है। विज्ञान को जिस चीज़ पर इतना गर्व है - कारणों और प्रभावों के बीच संबंध स्थापित करने की क्षमता - अराजक प्रणालियों में असंभव है। अराजकता में अतीत और भविष्य के बीच कोई कारण-और-प्रभाव संबंध नहीं होता है।

यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अभिसरण-विचलन की गति अराजकता का एक उपाय है, अर्थात। व्यवस्था कितनी अराजक है इसकी एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति। अराजकता का एक अन्य सांख्यिकीय माप आकर्षित करने वाले का आयाम है।

इस प्रकार, यह ध्यान दिया जा सकता है कि अराजक आकर्षणों की मुख्य संपत्ति विभिन्न प्रणालियों के प्रक्षेप पथों का अभिसरण-विचलन है, जो यादृच्छिक रूप से धीरे-धीरे और असीम रूप से मिश्रित होते हैं

फ्रैक्टल ज्यामिति और अराजकता सिद्धांत का प्रतिच्छेदन यहाँ स्पष्ट है। और, यद्यपि अराजकता सिद्धांत के उपकरणों में से एक हैभग्न ज्यामिति, फ्रैक्टल अराजकता के विपरीत है।

अराजकता और फ्रैक्टल के बीच मुख्य अंतर यह है कि पूर्व एक गतिशील घटना है, जबकि फ्रैक्टल स्थिर है। अराजकता की गतिशील संपत्ति को प्रक्षेप पथ में अस्थिर और गैर-आवधिक परिवर्तन के रूप में समझा जाता है।

भग्न

भग्न- यह एक ज्यामितीय आकृति है, जिसका एक निश्चित भाग बार-बार दोहराया जाता है, इसलिए फ्रैक्टल के गुणों में से एक प्रकट होता है - आत्म-समानता।

फ्रैक्टल का एक अन्य गुण भिन्नात्मकता है। फ्रैक्टल की भिन्नात्मकता फ्रैक्टल की अनियमितता की डिग्री का गणितीय प्रतिबिंब है।

वास्तव में, जो कुछ भी यादृच्छिक और अनियमित लगता है वह भग्न हो सकता है, जैसे बादल, पेड़, नदी के मोड़, दिल की धड़कन, जानवरों की आबादी और प्रवास, या आग की लपटें।

चित्र 6. सिएरपिंस्की कालीन फ्रैक्टल

यह फ्रैक्टल पुनरावृत्तियों की एक श्रृंखला के माध्यम से प्राप्त किया जाता है। पुनरावृत्ति (लैटिन पुनरावृत्ति से - पुनरावृत्ति) किसी भी गणितीय ऑपरेशन का दोहराया अनुप्रयोग है।

चित्र 7. सिएरपिंस्की कालीन का निर्माण

एक अराजक आकर्षणकर्ता एक भग्न है। क्यों? एक अजीब आकर्षण में, साथ ही एक भग्न में, जैसे-जैसे यह बढ़ता है, अधिक से अधिक विवरण प्रकट होते हैं, अर्थात। आत्म-समानता का सिद्धांत ट्रिगर होता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम आकर्षितकर्ता का आकार कैसे बदलते हैं, यह हमेशा आनुपातिक रूप से समान रहेगा।

तकनीकी विश्लेषण में, फ्रैक्टल का एक विशिष्ट उदाहरण इलियट तरंगें हैं, जहां आत्म-समानता का सिद्धांत भी काम करता है।

फ्रैक्टल्स का अध्ययन करने वाले पहले सबसे प्रसिद्ध और आधिकारिक वैज्ञानिक बेनोइट मैंडेलब्रॉट थे। 20वीं सदी के 60 के दशक के मध्य में, उन्होंने फ्रैक्टल ज्यामिति या, जैसा कि उन्होंने इसे प्रकृति की ज्यामिति भी कहा, विकसित किया। मैंडलब्रोट ने अपने प्रसिद्ध कार्य "फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" में इसके बारे में लिखा है।(नेचर की फ़्रैक्टर जियोमीट्री). कई लोग मैंडेलब्रॉट को फ्रैक्टल का जनक कहते हैं, क्योंकि... वह अस्पष्ट, अनियमित रूपों के विश्लेषण के संबंध में इसका उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे।

भग्नता में निहित एक अतिरिक्त विचार गैर-पूर्णांक आयाम है। हम आमतौर पर एक-आयामी, द्वि-आयामी, त्रि-आयामी आदि के बारे में बात करते हैं। पूर्णांक विश्व. हालाँकि, गैर-पूर्णांक आयाम भी हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, 2.72। मैंडेलब्रॉट ऐसे आयामों को फ्रैक्टल आयाम कहते हैं।

गैर-पूर्णांक आयामों के अस्तित्व का तर्क बहुत सरल है। इस प्रकार, प्रकृति में शायद ही कोई आदर्श गेंद या घन है, इसलिए, इस वास्तविक गेंद या घन का 3-आयामी आयाम असंभव है और ऐसी वस्तुओं का वर्णन करने के लिए अन्य आयाम मौजूद होने चाहिए।

ऐसी अनियमित, भग्न आकृतियों को मापने के लिए ही भग्न माप की अवधारणा पेश की गई थी। उदाहरण के लिए, कागज के एक टुकड़े को मोड़कर एक गेंद बना लें। शास्त्रीय यूक्लिडियन ज्यामिति के दृष्टिकोण से, नवगठित वस्तु एक त्रि-आयामी गेंद होगी। हालाँकि, वास्तव में यह अभी भी कागज का एक द्वि-आयामी टुकड़ा है, भले ही यह एक गेंद के रूप में मुड़ा हुआ हो। इससे हम यह मान सकते हैं कि नई वस्तु का आयाम 2 से अधिक, लेकिन 3 से कम होगा। यह यूक्लिडियन ज्यामिति के साथ अच्छी तरह से फिट नहीं होता है, लेकिन फ्रैक्टल ज्यामिति का उपयोग करके इसे अच्छी तरह से वर्णित किया जा सकता है, जो बताता है कि नई वस्तु लगभग 2.5 के बराबर फ्रैक्टल आयाम में होगी, यानी। इनका भग्न आयाम लगभग 2.5 है।

नियतिवादी भग्न

नियतात्मक फ्रैक्टल हैं, जिसका एक उदाहरण सीरपिंस्की कालीन और जटिल फ्रैक्टल हैं। पूर्व का निर्माण करते समय, किसी सूत्र या समीकरण की आवश्यकता नहीं होती है। यह कागज की एक शीट लेने और किसी आकृति पर कई पुनरावृत्तियाँ करने के लिए पर्याप्त है। जटिल फ्रैक्टल्स में अनंत जटिलता होती है, हालाँकि वे एक सरल सूत्र द्वारा उत्पन्न होते हैं।

जटिल फ्रैक्टल का एक उत्कृष्ट उदाहरण सेट है

मैंडेलब्रॉट, सरल सूत्र Zn+1=Zna+C से प्राप्त किया गया है, जहां Z और C जटिल संख्याएं हैं और a एक धनात्मक संख्या है। चित्र 8 में हम दूसरी डिग्री का एक फ्रैक्टल देखते हैं, जहाँ a = 2 है।

चित्र 8. मैंडेलब्रॉट सेट

सिस्टम विभिन्न तरीकों से अराजकता में परिवर्तित हो सकते हैं। उत्तरार्द्ध में, द्विभाजन प्रतिष्ठित हैं, जिनका अध्ययन द्विभाजन के सिद्धांत द्वारा किया जाता है।

विभाजन (अक्षांश से. द्विभाजित- द्विभाजित) आवधिक बिंदुओं के क्रमिक बहुत छोटे परिवर्तन (उदाहरण के लिए, दोहरीकरण द्विभाजन के दौरान फीगेनबाम दोहरीकरण) के माध्यम से संतुलन की स्थिति से अराजकता की ओर गुणात्मक संक्रमण की एक प्रक्रिया है।

क्या हो रहा है इस पर ध्यान देना जरूरी हैगुणवत्तासिस्टम के गुणों को बदलना, तथाकथित। प्रलयंकारी छलांग. छलांग का क्षण (दोहरीकरण द्विभाजन के दौरान द्विभाजन) पर होता हैद्विभाजन बिंदु.

अराजकता द्विभाजन के माध्यम से उत्पन्न हो सकती है, जैसा कि मिशेल फेगेनबाम ने दिखाया है। फ्रैक्टल्स के बारे में अपना स्वयं का सिद्धांत बनाते समय, फेगेनबाम ने मुख्य रूप से लॉजिस्टिक समीकरण Xn+1=CXn - C(Xn)2 का विश्लेषण किया, जहां C एक बाहरी पैरामीटर है, जिससे उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि ऐसे सभी समीकरणों में कुछ प्रतिबंधों के तहत एक संक्रमण होता है। अराजकता के लिए एक संतुलन राज्य.

नीचे इस समीकरण का एक उत्कृष्ट जैविक उदाहरण है।

उदाहरण के लिए, सामान्यीकृत आकार Xn वाले व्यक्तियों की आबादी अलगाव में रहती है। एक साल बाद, Xn+1 क्रमांक वाली संतानें प्रकट होती हैं। जनसंख्या वृद्धि को समीकरण (СХn) के दाईं ओर पहले पद द्वारा वर्णित किया गया है, जहां गुणांक सी विकास दर निर्धारित करता है और निर्धारण पैरामीटर है। जानवरों की हानि (अधिक जनसंख्या, भोजन की कमी, आदि के कारण) दूसरे, अरेखीय शब्द (C(Xn)2) द्वारा निर्धारित की जाती है।

गणना का परिणाम निम्नलिखित निष्कर्ष है:

• सी पर< 1 популяция с ростом n вымирает;
• क्षेत्र 1 में< С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0 = 1 - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится प्रतिकारक निश्चितबिंदु. इस बिंदु से, फ़ंक्शन कभी भी एक बिंदु पर एकत्रित नहीं होता है। इस बिंदु से पहले था आकर्षक तय;
• रेंज 3 में< С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается;
• C > 3.57 पर, विभिन्न समाधानों के क्षेत्र ओवरलैप होते हैं (वे चित्रित प्रतीत होते हैं) और सिस्टम का व्यवहार अव्यवस्थित हो जाता है।

इसलिए निष्कर्ष - विकसित भौतिक प्रणालियों की अंतिम स्थिति गतिशील अराजकता की स्थिति है।

पैरामीटर C पर जनसंख्या आकार की निर्भरता निम्नलिखित चित्र में दिखाई गई है।

चित्र 9. द्विभाजन के माध्यम से अराजकता में संक्रमण, समीकरण का प्रारंभिक चरण Xn+1=CXn - C(Xn)2

गतिशील चर Xn ऐसे मान लेते हैं जो प्रारंभिक स्थितियों पर दृढ़ता से निर्भर करते हैं। जब गणना कंप्यूटर पर की जाती है, तो C के बहुत करीबी प्रारंभिक मूल्यों के लिए भी, अंतिम मान तेजी से भिन्न हो सकते हैं। इसके अलावा, गणनाएँ गलत हो जाती हैं, क्योंकि वे कंप्यूटर में ही यादृच्छिक प्रक्रियाओं (वोल्टेज उछाल, आदि) पर निर्भर होने लगती हैं।

इस प्रकार, विभाजन के समय प्रणाली की स्थिति बेहद अस्थिर होती है और एक अत्यंत छोटे प्रभाव से आंदोलन के आगे के मार्ग का चुनाव हो सकता है, और यह, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, एक अराजक प्रणाली (महत्वपूर्ण निर्भरता) की मुख्य विशेषता है प्रारंभिक शर्तों पर)

फ़ेगेनबाम ने अवधि दोगुनी होने पर गतिशील अराजकता में संक्रमण के सार्वभौमिक कानून स्थापित किए, जिन्हें यांत्रिक, हाइड्रोडायनामिक, रासायनिक और अन्य प्रणालियों की एक विस्तृत श्रेणी के लिए प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। फेगेनबाम के शोध का परिणाम तथाकथित था। "फ़ेगेनबाम पेड़"।

चित्र 10. फ़िगेनबाम वृक्ष (थोड़े संशोधित लॉजिस्टिक फ़ॉर्मूले के आधार पर गणना)

सरल शब्दों में, रोजमर्रा की जिंदगी में द्विभाजन क्या हैं। जैसा कि हम परिभाषा से जानते हैं, विभाजन तब होता है जब कोई प्रणाली स्पष्ट स्थिरता और संतुलन की स्थिति से अराजकता की ओर परिवर्तित हो जाती है।

ऐसे संक्रमणों के उदाहरण धुआं, पानी और कई अन्य सामान्य प्राकृतिक घटनाएं हैं। इस प्रकार, ऊपर की ओर उठता हुआ धुआं प्रारंभ में एक व्यवस्थित स्तंभ जैसा दिखता है। हालाँकि, कुछ समय बाद, इसमें ऐसे परिवर्तन होने लगते हैं जो पहले तो व्यवस्थित लगते हैं, लेकिन फिर अव्यवस्थित रूप से अप्रत्याशित हो जाते हैं।

वास्तव में, स्थिरता से किसी प्रकार की स्पष्ट क्रमबद्धता, लेकिन पहले से ही परिवर्तनशीलता में पहला संक्रमण, पहले द्विभाजन बिंदु पर होता है। इसके अलावा, विभाजनों की संख्या बढ़ जाती है, जो भारी मूल्यों तक पहुंच जाती है। प्रत्येक द्विभाजन के साथ, धुआं अशांति फ़ंक्शन अराजकता के करीब पहुंचता है।

द्विभाजन के सिद्धांत का उपयोग करके, किसी सिस्टम के गुणात्मक रूप से भिन्न स्थिति में संक्रमण के दौरान होने वाले आंदोलन की प्रकृति, साथ ही सिस्टम के अस्तित्व के क्षेत्र की भविष्यवाणी करना और इसकी स्थिरता का मूल्यांकन करना संभव है।

दुर्भाग्य से, अराजकता सिद्धांत के अस्तित्व का शास्त्रीय विज्ञान के साथ सामंजस्य बिठाना कठिन है। आमतौर पर, वैज्ञानिक विचारों का परीक्षण भविष्यवाणियाँ करके और वास्तविक परिणामों के विरुद्ध उनकी जाँच करके किया जाता है। हालाँकि, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, अराजकता अप्रत्याशित है; जब आप एक अराजक प्रणाली का अध्ययन करते हैं, तो आप केवल उसके व्यवहार मॉडल की भविष्यवाणी कर सकते हैं।

इसलिए, अराजकता की मदद से, न केवल एक सटीक पूर्वानुमान बनाना असंभव है, बल्कि, तदनुसार, इसकी जांच करना भी असंभव है। हालाँकि, इसका मतलब यह नहीं होना चाहिए कि गणितीय गणना और जीवन दोनों में पुष्टि की गई अराजकता सिद्धांत गलत है।

वर्तमान में, बाजार की कीमतों का अध्ययन करने के लिए अराजकता सिद्धांत को लागू करने के लिए कोई गणितीय रूप से सटीक उपकरण नहीं है, इसलिए अराजकता के बारे में ज्ञान को लागू करने में कोई जल्दबाजी नहीं है। साथ ही, वित्तीय बाजारों में अनुप्रयुक्त अनुसंधान के दृष्टिकोण से यह वास्तव में गणित का सबसे आशाजनक आधुनिक क्षेत्र है।

"नियंत्रित अराजकता" का सिद्धांत एक आधुनिक घटना है, एक भू-राजनीतिक सिद्धांत है जो दर्शनशास्त्र, गणित और भौतिकी जैसे प्राचीन विज्ञानों में निहित है। "अराजकता" की अवधारणा प्राचीन ग्रीक पौराणिक कथाओं में दुनिया की मूल स्थिति के नाम से उत्पन्न हुई, एक निश्चित "उद्घाटन रसातल" जहां से पहले देवता उत्पन्न हुए थे।

"आदेश" और "अराजकता" की अवधारणाओं को वैज्ञानिक रूप से समझने के प्रयासों ने निर्देशित अव्यवस्था, व्यापक वर्गीकरण और अराजकता के प्रकारों के सिद्धांतों का निर्माण किया है। सबसे प्राचीन ऐतिहासिक और दार्शनिक परंपरा में, अराजकता को एक सर्वव्यापी और उत्पादक सिद्धांत के रूप में समझा जाता था। प्राचीन विश्वदृष्टि में, निराकार और समझ से बाहर अराजकता रचनात्मक शक्ति से संपन्न है और पदार्थ की प्राथमिक निराकार स्थिति और दुनिया की प्राथमिक शक्ति का प्रतीक है।

वैज्ञानिक अनुसंधान के वर्तमान स्तर ने अराजकता सिद्धांत को इस दावे पर आधारित किया है कि जटिल प्रणालियाँ प्रारंभिक स्थितियों पर अत्यधिक निर्भर हैं, और पर्यावरण में छोटे परिवर्तन अप्रत्याशित परिणाम पैदा कर सकते हैं।

स्टीफन मान अमेरिकी राष्ट्रीय हितों के ढांचे सहित "अराजकता प्रबंधन" के भूराजनीतिक सिद्धांत के विकास में एक प्रमुख व्यक्ति हैं। स्टीफन मान (जन्म 1951) ने 1973 में ओबेरलिन कॉलेज से स्नातक (जर्मन में बीए) किया, 1974 में कॉर्नवाल विश्वविद्यालय (न्यूयॉर्क) से जर्मन साहित्य में एमए किया, और 1976 से राजनयिक सेवा में हैं। उन्होंने अपना करियर जमैका में अमेरिकी दूतावास के एक कर्मचारी के रूप में शुरू किया। फिर उन्होंने मॉस्को में और वाशिंगटन में स्टेट डिपार्टमेंट में सोवियत मामलों के कार्यालय में काम किया, स्टेट डिपार्टमेंट ऑपरेशंस सेंटर (24 घंटे का संकट केंद्र) में काम किया, और 1991 से 1992 तक भी काम किया। - रक्षा सचिव के कार्यालय में, रूस और पूर्वी यूरोप के मुद्दों को कवर करते हुए। 1985-1986 में कोलंबिया विश्वविद्यालय में हैरिमन इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड सोवियत स्टडीज़ में फेलो थे (जहाँ उन्होंने राजनीति विज्ञान में मास्टर डिग्री प्राप्त की)। वह माइक्रोनेशिया (1986-1988), मंगोलिया (1988) और आर्मेनिया (1992) के पहले अमेरिकी प्रभारी डी'एफ़ेयर थे। 1991 में, उन्होंने वाशिंगटन में नेशनल वॉर कॉलेज से सम्मान के साथ स्नातक की उपाधि प्राप्त की। 1992-1994 में। श्रीलंका में उप राजदूत थे। 1995-1998 में अमेरिकी विदेश विभाग में भारत, नेपाल और श्रीलंका डिवीजन के निदेशक के रूप में कार्य किया। 1998 से मई 2001 तक, उन्होंने तुर्कमेनिस्तान में अमेरिकी राजदूत के रूप में कार्य किया। मई 2001 से स्टीफन मान कैस्पियन बेसिन के देशों के लिए अमेरिकी राष्ट्रपति के विशेष प्रतिनिधि रहे हैं। वह इस क्षेत्र में अमेरिकी ऊर्जा हितों के मुख्य प्रतिनिधि हैं, एबीटीडी परियोजना (अक्टौ-बाकू-त्बिलिसी-सेहान तेल पाइपलाइन) के पैरवीकार हैं।

नेशनल वॉर कॉलेज में अपने अध्ययन के परिणामों के आधार पर, स्टीफन मान ने 1992 में एक लेख तैयार किया, जिसे सैन्य-राजनीतिक समुदाय में बड़ी प्रतिध्वनि मिली: "अराजकता सिद्धांत और रणनीतिक विचार।" यह अमेरिकी सेना की मुख्य व्यावसायिक पत्रिका (मान, स्टीवन आर. कैओस थ्योरी एंड स्ट्रैटेजिक थॉट // पैरामीटर्स (यूएस आर्मी वॉर कॉलेज क्वार्टरली), वॉल्यूम XXII, ऑटम 1992, पीपी. 54-68) में प्रकाशित हुआ था।

इस लेख में, एस. मान निम्नलिखित बातें कहते हैं: "हम एक भ्रामक लक्ष्य के रूप में स्थिरता की ओर भागने के बजाय अराजकता और पुनर्संगठन को अवसरों के रूप में देखने से बहुत कुछ सीख सकते हैं..."। "अंतर्राष्ट्रीय वातावरण एक अराजक व्यवस्था का एक उत्कृष्ट उदाहरण है... 'स्व-संगठित आलोचनात्मकता'... विश्लेषण के साधन के रूप में इसके अनुरूप है... दुनिया का अराजक होना तय है क्योंकि मानव राजनीति के विविध अभिनेता इसमें शामिल हैं एक गतिशील प्रणाली... के अलग-अलग लक्ष्य और मूल्य होते हैं।" “राजनीतिक रूप से महत्वपूर्ण प्रणालियों में प्रत्येक अभिनेता संघर्ष की ऊर्जा पैदा करता है... जो यथास्थिति में बदलाव को उकसाता है, इस प्रकार एक महत्वपूर्ण स्थिति के निर्माण में भाग लेता है... और कोई भी स्थिति मामलों की स्थिति को अपरिहार्य विनाशकारी पुनर्गठन की ओर ले जाती है। ”

मान की प्रस्तुत थीसिस से जो मुख्य विचार निकलता है वह है व्यवस्था को "राजनीतिक आलोचनात्मकता" की स्थिति में स्थानांतरित करना। और फिर, कुछ शर्तों के तहत, यह अनिवार्य रूप से खुद को अराजकता और "पुनर्गठन" की प्रलय में डुबो देगा। उनके लेख के संदर्भ में, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि प्रश्न में दृष्टिकोण का उपयोग सामाजिक निर्माण और असामाजिक विनाश और भू-राजनीतिक हेरफेर दोनों के लिए किया जा सकता है।

एस. मान की रिपोर्ट से यह बिल्कुल स्पष्ट है कि न केवल वैज्ञानिक और वैचारिक सोच स्पष्ट है, बल्कि अमेरिकी राष्ट्रीय सुरक्षा का लक्ष्य भी स्पष्ट है। लेख में, मान लिखते हैं: “संचार में अमेरिकी लाभ और वैश्विक यात्रा के बढ़ते अवसरों के साथ, वायरस (हम “वैचारिक छूत” के बारे में बात कर रहे हैं) स्वयं स्थायी हो जाएगा और अराजक तरीके से फैल जाएगा। इसलिए, हमारी राष्ट्रीय सुरक्षा की सर्वोत्तम गारंटी होगी..." और आगे: “दीर्घकालिक विश्व व्यवस्था बनाने का यही एकमात्र तरीका है। यदि हम दुनिया भर में इस तरह के वैचारिक परिवर्तन को प्राप्त करने में विफल रहते हैं, तो हमें विनाशकारी पुनर्संरेखण के बीच छिटपुट शांति के समय के लिए छोड़ दिया जाएगा। यहां "विश्व व्यवस्था" के बारे में मान के शब्द "राजनीतिक शुद्धता" के लिए एक श्रद्धांजलि हैं। क्योंकि उनकी रिपोर्ट विशेष रूप से अराजकता की बात करती है, जिसमें "अमेरिकी राष्ट्रीय सुरक्षा की सर्वोत्तम गारंटी" के बारे में मान के शब्दों को देखते हुए, केवल अमेरिका के पास "नियंत्रित गंभीरता" के महासागर में "व्यवस्था के द्वीप" के रूप में जीवित रहने का अवसर होगा या वैश्विक अराजकता.