СИЛОВОЕ ПОЛЕ - часть пространства (ограниченная или неограниченная), в каждой точке к-рой на помещённую туда материальную частицу действует определённая по численной величине и направлению сила, зависящая только от координат х, у, z этой точки. Такое С. п. наз. стационарным; если сила поля зависит и от времени, то С. п. наз. нестационарным; если сила во всех точках С. п. имеет одно и то же значение, т. е. не зависит ни от координат, ни от времени, С. п. наз. однородным.

Стационарное С. п. может быть задано ур-ниями

где F x , F y , F z - проекции силы поля F.

Если существует такая ф-ция U(x, у , z), называемая силовой ф-цией, что элементарная работа сил поля равна полному дифференциалу этой ф-ции, то С. п. наз. потенциальным. В этом случае С. п. задаётся одной ф-цией U(x, у, z ), а сила F может быть определена через эту ф-цию равенствами:

или . Условие существования силовой ф-ции для данного С. п. состоит в том, что

или . При перемещении в потенциальном С. п. из точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 )в точку М 2 (х 2 , у 2 , z 2) работа сил поля определяется равенством и не зависит от вида траектории, по к-рои перемещается точка приложения силы.

Поверхности U(x, у , z) = const, на к-рых ф-ция сохраняет пост. значение, наз. поверхностями уровня. Сила в каждой точке поля направлена по нормали к проходящей через эту точку поверхности уровня; при перемещении вдоль поверхности уровня работа сил поля равна нулю.

Примеры потенциального С. п.: однородное поле тяжести, для к-рого U = -mgz , где т - масса движущейся в поле частицы, g - ускорение силы тяжести (ось z направлена вертикально вверх); ньютоново поле тяготения, для к-рого U = km/r , где r = - расстояние от центра притяжения, k - постоянный для данного поля коэффициент. Вместо силовой ф-ции в качестве характеристики потенциального С. п. можно ввести потенциальную энергию П, связанную с U зависимостью П(х, у, z )= = -U(x, у , z). Изучение движения частицы в потенциальном С. п. (при отсутствии других сил) существенно упрощается, т. к. в этом случае имеет место закон сохранения механич. энергии, позволяющий установить прямую зависимость между скоростью частицы и её положением в С. п. с. м. Тарг . СИЛОВЫЕ ЛИНИИ - семейство кривых, характеризующих пространственное распределение векторного поля сил; направление вектора поля в каждой точке совпадает с касательной к С. л. Т. о., ур-ния С. л. произвольного векторного поля А (х, у , z) записываются в виде:

Плотность С. л. характеризует интенсивность (величину) силового поля. Область пространства, ограниченная С. л., пересекающими к--л. замкнутую кривую, наз. силовой трубкой. С. л. вихревого поля замкнуты. С. л. потенциального поля начинаются на источниках поля и заканчиваются на его стоках (источниках отрицат. знака).

Понятие С. л. введено М. Фарадеем при исследовании магнетизма, а затем получило дальнейшее развитие в работах Дж. К. Максвелла по электромагнетизму. Согласно представлениям Фарадея и Максвелла, в пространстве, пронизываемом С. л. электрич. и магн. полей, существуют механич. напряжения, соответствующие натяжению вдоль С. л. и давлению поперёк них. Математически эта концепция выражена в Максвелла тензоре натяжений эл--магн. поля.

Наряду с использованием понятия С. л. чаще говорят просто о линиях поля: напряжённости электрич. поля Е , индукции магн. поля В и т. п., не делая спец. акцента на отношение этих нолей к силам.

Полем сил называют область пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует сила, закономерно меняющаяся от точки к точке, например поле силы тяжести Земли или поле сил сопротивления в потоке жидкости (газа). Если сила в каждой точке силового поля не зависит от времени, то такое поле называют стационарным . Ясно, что силовое поле, стационарное в одной системе отсчета, в другой системе может оказаться и нестационарным. В стационарном силовом поле сила зависит только от положения частицы.

Работа, которую совершают силы поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 , зависит, вообще говоря, от пути. Однако, среди стационарных силовых полей имеются такие, в которых эта работа не зависит от пути между точками 1 и 2 . Этот класс полей, обладая рядом важнейших свойств, занимает особое место в механике. К изучению этих свойств мы и перейдем.

Поясним сказанное на примере следящей силы. На рис. 5.4 изображено тело ABCD, в точке О которого приложена сила , неизменно связанная с телом.

Переместим тело из положения I в положение II двумя способами. Выберем вначале в качестве полюса точку О (рис. 5.4а)) и повернем тело вокруг полюса на угол π/2 противоположно направлению вращения часовой стрелки. Тело займет положение A"B"C"D". Сообщим теперь телу поступательное перемещение в вертикальном направлении на величину ОО". Тело займет положение II (A"B"C"D"). Работа силы на совершенном перемещении тела из положения I в положение II равна нулю. Вектор перемещения полюса представлен отрезком ОО".

При втором способе выберем в качестве полюса точку K рис. 5.4б) и повернем тело вокруг полюса на угол π/2 против движения часовой стрелки. Тело займет положение A"B"C"D" (рис. 5.4б). Теперь переместим тело вертикально вверх с вектором перемещения полюса KK", после чего дадим телу горизонтальное перемещение влево на величину K"K". В результате тело займет положение II, такое же, как на позиции, рис.5.4а )рисунка 5.4. Однако теперь вектор перемещения полюса будет иным, чем в первом способе, а работа силы при втором способе перемещения тела из положения I в положение II равна А = F К"К", т. е. отлична от нуля.

Определение : стационарное силовое поле, в котором работа силы поля на пути между двумя любыми точками не зависит от формы пути, а зависит только от положения этих точек, называют потенциальным, а сами силы – консервативными.

Потенциалом таких сил (потенциальной энергией )называется работа, совершенная ими на перемещениях тела из конечного положения в начальное, причем начальное положение может быть выбрано произвольно. Это означает, что потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной.

Если это условие не выполняется, то силовое поле не является потенциальным, а силы поля называются неконсервативными .

В реальных механических системах всегда имеются силы, работа которых при действительном движении системы отрицательна (например, силы трения). Такие силы называются диссипативными. Они являются частным видом неконсервативных сил.

Консервативные силы обладают рядом замечательных свойств, для выявления которых введем понятие силового поля. Силовым полем называется пространство (или его часть ), в котором на материальную точку, помещенную в каждую точку этого поля, действует некоторая сила.

Покажем, что в потенциальном поле работа сил поля на любом замкнутом пути равна нулю. Действительно, любой замкнутый путь (рис. 5.5) можно разбить произвольно на две части, 1а2 и 2b1 . Так как поле потенциально, то, по условию, . С другой стороны, очевидно, что . Поэтому

что и требовалось доказать.

Обратно, если работа сил поля на любом замкнутом пути равна нулю, то работа этих сил на пути между произвольными точками 1 и 2 от формы пути не зависит, т. е. поле потенциально. Для доказательства возьмем два произвольных пути 1а2 и 1b2 (см. рис. 5.5). Составим из них замкнутый путь 1а2b1 . Работа на этом замкнутом пути по условию равна нулю, т. е. . Отсюда . Но , поэтому

Таким образом, равенство нулю работы сил поля на любом замкнутом пути есть необходимое и достаточное условие независимости работы от формы пути, и может считаться отличительным признаком любого потенциального поля сил.

Поле центральных сил. Всякое силовое поле вызывается действием определенных тел. Сила, действующая на частицу А в таком поле, обусловлена взаимодействием этой частицы с данными телами. Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные по прямой, соединяющей эти частицы, называют центральными. Примером последних являются силы гравитационные, кулоновские и упругие.

Центральную силу, действующую на частицу А со стороны частицы В , можно представить в общем виде:

где f (r ) - функция, зависящая при данном характере взаимодействия только от r - расстояния между частицами; - единичный вектор, задающий направление радиуса-вектора частицы А относительно частицы В (рис. 5.6).

Докажем, что всякое стационарное поле центральных сил потенциально .

Для этого рассмотрим сначала работу центральных сил в случае, когда силовое поле вызвано наличием одной неподвижной частицы В . Элементарная работа силы (5.8) на перемещении есть . Так как - проекция вектора на вектор , или на соответствующий радиус-вектор (рис. 5.6), то . Работа же этой силы по произвольном пути от точки 1 до точки 2

Полученное выражение зависит, только от вида функции f (r ), т. е. от характера взаимодействия, и от значений r 1 и r 2 начального и конечного расстояний между частицами А и В . От формы пути оно никак не зависит. А это значит, что данное силовое поле потенциально.

Обобщим полученный результат на стационарное силовое поле, вызванное наличием совокупности неподвижных частиц, действующих на частицу А с силами , каждая из которых является центральной. В этом случае работа результирующей силы при перемещении частицы А из одной точки в другую равна алгебраической сумме работ отдельных сил. А так как работа каждой из этих сил не зависит от формы пути, то и работа результирующей силы от нее также не зависит.

Таким образом, действительно, любое стационарное поле центральных сил потенциально.

Потенциальная энергия частицы. То обстоятельство, что работа сил потенциального поля зависит только от начального и конечного положений частицы, дает возможность ввести чрезвычайно важное понятие потенциальной энергии.

Представим себе, что мы перемещаем частицу в потенциальном поле сил из разных точек Р i в фиксированную точку О . Так как работа сил поля не зависит от формы пути, то остается зависимость ее только от положения точки Р (при фиксированной точке О ). А это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиус-вектора точки Р . Обозначив, эту функцию , запишем

Функцию называют потенциальной энергией частицы в данном поле.

Теперь найдем работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 (рис. 5.7). Так как работа не зависит от пути, возьмем путь проходящий через точку 0. Тогда работа на пути 1 02 может быть представлена в виде

или с учетом (5.9)

Выражение, стоящее справа, есть убыль* потенциальной энергии, т. е. разность значений потенциальной энергии частицы в начальной и конечной точках пути.

_________________

* Изменение какой-либо величины X можно характеризовать либо ее приращением, либо убылью. Приращением величины X называют разность конечного (X 2 ) и начального (Х 1 ) значений этой величины:

приращение ΔХ = Х 2 - Х 1 .

Убылью величины X называют разность ее начального (Х 1 ) и конечного (Х 2 ) значений:

убыль Х 1 - Х 2 = - ΔХ ,

т. е. убыль величины X равна ее приращению, взятому с обратным знаком.

Приращение и убыль - величины алгебраические: если Х 2 > X 1 , то приращение положительно, а убыль отрицательна, и наоборот.

Таким образом, работа сил поля на пути 1 - 2 равна убыли потенциальной энергии частицы.

Очевидно, частице, находящейся в точке 0 поля, всегда можно приписать любое наперед выбранное значение потенциальной энергии. Это соответствует тому обстоятельству, что путем измерения работы может быть определена лишь разность потенциальных энергий в двух точках поля, но не ее абсолютная величина. Однако как только фиксировано значение

потенциальной энергии в какой-либо точке, значения ее во всех остальных точках поля однозначно определяются формулой (5.10).

Формула (5.10) дает возможность найти выражение для любого потенциального поля сил. Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути между двумя точками, и представить ее в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциальная энергия .

Именно так и было сделано при вычислении работы в полях упругой и гравитационной (кулоновской) сил, а также в однородном поле тяжести [см. формулы (5.3) - (5.5)]. Из этих формул сразу видно, что потенциальная энергия частицы в данных силовых полях имеет следующий вид:

1) в поле упругой силы

2) в поле точечной массы (заряда)

3) в однородном поле тяжести

Еще раз подчеркнем, что потенциальная энергия U - это функция, которая определяется с точностью до прибавления некоторой произвольной постоянной. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно, ибо во все формулы входит только разность значений U в двух положениях частицы. Поэтому произвольная постоянная, одинаковая для всех точек поля, выпадает. В связи с этим ее обычно опускают, что и сделано в трех предыдущих выражениях.

И еще одно важное обстоятельство, о котором не следует забывать. Потенциальную энергию, строго говоря, следует относить не к частице, а к системе взаимодействующих между собой частицы и тел, вызывающих силовое поле. При данном характере взаимодействия потенциальная энергия взаимодействия частицы с данными телами зависит только от положения частицы относительно этих тел.

Связь между потенциальной энергией и силой . Согласно (5.10), работа силы потенциального поля равна убыли потенциальной энергии частицы, т. е. А 12 = U 1 - U 2 = - (U 2 - U 1). При элементарном перемещении последнее выражение имеет вид dА = - dU , или

F l dl= - dU. (5.14)

т. е. проекция силы поля в данной точке на направление перемещения равна с обратным знаком частной производной потенциальной энергии по данному направлению.

, то с помощью формулы (5.16) мы имеем возможность восстановить поле сил .

Геометрическое место точек в пространстве, в которых потенциальная энергия U имеет одно и то же значение, определяет эквипотенциальную поверхность. Ясно, что каждому значению U соответствует своя эквипотенциальная поверхность.

Из формулы (5.15) следует, что проекция вектора на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. Это значит, что вектор нормален к эквипотенциальной поверхности в данной точке. Кроме того, знак минус в (5.15) означает, что вектор направлен в сторону уменьшения потенциальной энергии. Сказанное поясняет рис. 5.8, относящийся к двумерному случаю; здесь изображена система эквипотенциалей, причем U 1 < U 2 < U 3 < … .

Кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются также взаимодействия между телами, удаленными друг от друга

Кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются также взаимодействия между телами, удаленными друг от друга. Например, взаимодействие между Солнцем и Землей, Землей и Луной, Землей и телом, поднятым над ее поверхностью, взаимодействие между наэлектризованными телами. Такие взаимодействия осуществляются посредством физических полей , которые представляют собой особую форму материи. Каждое тело создает в окружающем его пространстве особое состояние, называемое силовым полем. Это поле проявляет себя в действии сил на другие тела. Например, Земля создает гравитационное поле. В нем на каждое тело массы m в каждой точке вблизи поверхности Земли действует сила - mg.

Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалась частица, а определяется только начальным и конечным положением частицы, называются консервативными .

Покажем, что работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю.

Рассмотрим произвольный замкнутый путь. Разобьем его произвольно выбранными точками 1 и 2 на два участка: I и II. Работа на замкнутом пути равна:

(18 .1 )

Рис.18.1. Работа консервативных сил на замкнутом пути

Изменение направления движения по участку II на обратное сопровождается заменой всех элементарных перемещений dr на (-dr), из-за чего изменяет знак на обратный. Тогда:

(18 .2 )

Теперь, подставив (18.2.) в (18.1.) , получаем, что А=0, т.е. вышеприведенное утверждение нами доказано. Другое определение консервативных сил можно сформулировать так: консервативные силы, это силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.

Все силы, не являющиеся консервативными, называются неконсервативными . К неконсервативным силам относятся силы трения и сопротивления.

Если силы, действующие на частицу, во всех точках поля одинаковы по модулю и направлению, то поле называется однородным.

Поле, не изменяющееся со временем, называется стационарным . В случае однородного стационарного поля: F=const.

Утверждение: силы, действующие на частицу в однородном стационарном поле, консервативны.

Докажем это утверждение. Так как поле однородно и стационарно, то F=const. Возьмем в этом поле две произвольные точки 1 и 2 (рис.18.2.) и рассчитаем работу, совершаемую над частицей при ее перемещении из точки 1 в точку 2.

18.2. Работа сил в однородном стационарном поле на пути от точки 1 к точке 2

Работа сил, действующих на частицу в однородном стационарном поле, равна:

где r F - проекция вектора перемещения r 12 на направление действия силы, r F определяется только положениями точек 1 и 2, и не зависит от формы траектории. Тогда, работа силы в этом поле не зависит от формы пути, а определяется лишь положениями начальной и конечной точек перемещения, т.е. силы однородного стационарного поля консервативны.

Вблизи поверхности Земли поле силы тяжести является однородным стационарным полем и работа силы mg равна:

(18 .4 )

где (h 1 -h 2) - проекция перемещения r 12 на направление силы, сила mg направлена вертикально вниз, сила тяжести консервативна.

Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами, и направленные по прямой, проходящей через эти частицы, называются центральными. Примерами центральных сил являются: кулоновские, гравитационные, упругие.

силовое поле

часть пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует определенная по величине и направлению сила, зависящая от координат этой точки, а иногда и от времени. В первом случае силовое поле называют стационарным, а во втором - нестационарным.

Силовое поле

часть пространства (ограниченная или неограниченная), в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует определённая по величине и направлению сила, зависящая или только от координат x, у, z этой точки, или же от координат x, у, г и времени t. В первом случае С. п. называется стационарным, а во втором ≈ нестационарным. Если сила во всех точках С. п. имеет одно и то же значение, т. е. не зависит ни от координат, ни от времени, то С. п. называется однородным. С. п., в котором работа сил поля, действующих на перемещающуюся в нём материальную частицу, зависит только от начального и конечного положения частицы и не зависит от вида её траектории, называется потенциальным. Эту работу можно выразить через потенциальную энергию частицы П (х, у, z) равенством А = П (x1, y1, z

≈ П (x2, y2, z

Где x1, y1, z1 и x2, y2, z2 ≈ координаты начального и конечного положений частицы соответственно. При движении частицы в потенциальном С. п. под действием только сил поля имеет место закон сохранения механической энергии, позволяющий установить зависимость между скоростью частицы и сё положением в С. п.

Примеры потенциального С. п.: однородное поле силы тяжести, для которого П = mgz, где т ≈ масса частицы, g ≈ ускорение силы тяжести (ось z направлена вертикально вверх); ньютоново поле тяготения, для которого П = ≈ fm/r, где r ≈ расстояние частицы от центра притяжения, f ≈ постоянный для данного поля коэффициент.

Технически различают:

• стационарные силовые поля , величина и направление которых могут зависеть исключительно от точки пространства (координат x, у, z), и
• нестационарные силовые поля , зависящие также от момента времени t.

• однородное силовое поле , для которого сила, действующая на пробную частицу, одинакова во всех точках пространства и

• неоднородное силовое поле , не обладающее таким свойством.

Наиболее простым для исследования является стационарное однородное силовое поле, но оно же представляет собой и наименее общий случай.

Силовое поле

Силовое поле - многозначный термин, употребляемый в следующих значениях:

• Силовое поле - векторное поле сил в физике;
• Силовое поле - некий невидимый барьер, основная функция которого - защита некоторой области или цели от внешних или внутренних проникновений.

Силовое поле (фантастика)

Силовое поле или силовой щит или защитный щит - широко распространенный термин в фантастической и научно-фантастической литературе, а также в литературе жанра фэнтэзи, который обозначает некий невидимый барьер, основная функция которого - защита некоторой области или цели от внешних или внутренних проникновений. Эта идея может базироваться на концепции векторного поля. В физике этот термин также имеет несколько специфических значений (см. Силовое поле).

Силовым полем называется физическое пространство, удовлетворяющее тому условию, что на точки механической системы, находящейся в этом пространстве, действуют силы, зависящие от положения этих точек или от положения точек и времени (но не от их скоростей).

Силовое поле , силы которого не зависят от времени, называется стационарным (примерами силового поля могут служить поле силы тяжести, электростатическое поле, поле силы упругости ).

Потенциальное силовое поле.

Стационарное силовое поле называется потенциальным , если работа сил поля, действующих на механическую систему, не зависит от формы траекторий ее точек и определяется только их начальным и конечным положениями.Эти силы называются силами, имеющими потенциал, или консервативными силами.

Докажем, что приведенное условие выполняется, если существует однозначная функция координат:

называемая силовой функцией поля, частные производные от которой по координатам любой точки M i (i=1, 2...n) равны проекциям приложенной к этой точке силы на соответствующие оси, т. е

Элементарную работу силы, приложенной к каждой точке, можно определить по формуле:

Элементарная работа сил, приложенных ко всем точкам системы, равна:

Пользуясь формулами получаем:

Как видно из этой формулы, элементарная работа сил потенциального поля равна полному дифференциалу силовой функции.Работа сил поля на конечном перемещении механической системы равна:

т. е. работа сил, действующих на точки механической системы в потенциальном поле, равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях системы и не зависит от формы траекторий точек этой системы. Положениях системы и не зависит от формы траекторий точек этой системы. Из этого следует, что силовое поле, для которого существует силовая функция, действительно является потенциальным .