Найдем функцию распределения случайной величины Х , подчиненной нормальному закону распределения:
сделаем в интеграле замену и приведем его к виду:
.
Интеграл не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения или . Выразим функцию через функцию Лапласа Ф(х):
.
Вероятность попадания случайной величины Х на участок (α, β) выражается формулой:
.
С помощью последней формулы можно оценить вероятность отклонения нормальной случайной величины от своего математического ожидания на заранее заданную сколь угодно малую положительную величину ε:
.
Пусть , тогда и . При t =3 получим , т.е. событие, заключающееся в том, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания, будет меньше , является практически достоверным.
В этом состоит правило трех сигм : если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина отклонения ее значений от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
Задача. Пусть диаметр изготовляемой цехом детали является случайной величиной, распределенной нормально, m = 4,5 см, см. Найти вероятность того, что размер диаметра наудачу взятой детали отличается от ее математического ожидания не более, чем на 1 мм.
Решение
. Данная задача характеризуется следующими значениями параметров, определяющих искомую вероятность: , 
, Ф(0,2)=0,0793,
Контрольные вопросы
1. Какое распределение вероятностей называется равномерным?
2. Какой вид имеет функция распределения случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [а; b ]?
3. Как вычислить вероятность попадания значений равномерно распределенной случайной величины в заданный промежуток?
4. Как определяется показательное распределение случайной величины?
5. Какой вид имеет функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону?
6. Какое распределение вероятностей называется нормальным?
7. Какими свойствами обладает плотность нормального распределения? Как влияют параметры нормального распределения на вид графика плотности нормального распределения?
8. Как вычислить вероятность попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток?
9. Как вычислить вероятность отклонения значений нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания?
10. Сформулируйте правило «трех сигма»?
11. Чему равны математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по равномерному закону на отрезке [а; b ]?
12. Чему равны математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром λ?
13. Чему равны математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону с параметрами m и ?
Контрольные задания
1. Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [−3, 5]. Найти плотность распределения и функцию распределения Х . Построить графики обеих функций. Найти вероятности и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение Х .
2. Автобусы маршрута №21 идут регулярно с интервалом 10 мин. Пассажир выходит на остановку в случайный момент времени. Рассматривается случайная величина Х − время ожидания пассажиром автобуса (в мин.). Найти плотность распределения и функцию распределения Х . Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что пассажиру придется ждать автобуса не более пяти минут. Найти среднее время ожидания автобуса и дисперсию времени ожидания автобуса.
3. Установлено, что время ремонта видеомагнитофона (в днях) есть случайная величина Х , распределенная по показательному закону. Среднее значение времени ремонта видеомагнитофона равно 10 дням. Найти плотность распределения и функцию распределения Х . Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что на ремонт видеомагнитофона потребуется не менее 11 дней.
4. Изобразите графики плотности и функции распределения случайной величины Х , распределенной по нормальному закону с параметрами m = = − 2 и = 0,2.
ФОРМЫ ЗАДАНИЯ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
ФОРМЫ ЗАДАНИЯ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1). Таблица (ряд)распределения - простейшая форма задания закона распределения дискретных случайных величин.
Так как в таблице перечислены все возможные значения случайной величины.
2). Многоугольник распределения . При графическом изображении ряда распределения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие им вероятности. Затем наносят точки и соединяют их прямолинейными отрезками. Полученная фигура -многоугольник распределения - также является формой задания закона распределения дискретной случайной величины.
3). Функция распределения - вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее некоторого заданного х , т.е
| . |
С геометрической точки зрения можно рассматривать как вероятность попадания случайной точки Х на участок числовой оси, расположенный левее фиксированной точки х.
2) ; ;
Задача 2.1. Случайная величина Х - число попаданий в мишень при 3‑х выстрелах (см. задачу 1.5). Построить ряд распределения, многоугольник распределения, вычислить значения функции распределения и построить её график.
Решение :
1) Ряд распределения случайной величины Х представлен в таблице
| При | , |
| При | , |
| При | , |
| При | |
| при | . |
Откладывая по оси абсцисс значения х, а по оси ординат - значения и выбрав определённый масштаб, получим график функции распределения (рис. 2.2). Функция распределения дискретной случайной величины имеет скачки (разрывы) в тех точках, в которых случайная величина Х принимает конкретные значения, указанные в таблице распределения. Сумма всех скачков функции распределения равна единице.
Рис. 2.2 - Функция распределения дискретной величины
1). Функция распределения .
Для непрерывной случайной величины график функции распределения (рис. 2.3) имеет форму плавной кривой.
Свойства функции распределения:
в) , если .
Рис. 2.3 - Функция распределения непрерывной величины
2). Плотность распределения определяется как производная от функции распределения, т.е.
| . |
Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины , называется кривой распределения (рис. 2.4).
Свойства плотности:
а) , т.е. плотность есть неотрицательная функция;
б) , т.е. площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, всегда равна 1.
Если все возможные значения случайной величины Х заключены в пределах от a до b , то второе свойство плотности примет вид:
Рис. 2.4 - Кривая распределения
На практике часто оказывается необходимым знать вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключённое в некоторых пределах, например, от a до b. Искомая вероятность для дискретной случайной величины Х определяется по формуле
так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю: .
Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х на интервал (a,b) определяется также выражением:
Задача 2.3. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти плотность , а также вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале .
Решение :
2. Вероятность попадания случайной величины Х в интервал определяем по формуле. Принимая и , находим
Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины , подчиненной нормальному закону с параметрами , на участок от до . Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой
где - функция распределения величины .
Найдем функцию распределения случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами . Плотность распределения величины равна:
.
(6.3.2)
Отсюда находим функцию распределения
. (6.3.3)
Сделаем в интеграле (6.3.3) замену переменной
и приведем его к виду:
(6.3.4)
Интеграл (6.3.4) не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения или (так называемый интеграл вероятностей), для которого составлены таблицы. Существует много разновидностей таких функций, например:
;
и т.д. Какой из этих функций пользоваться – вопрос вкуса. Мы выберем в качестве такой функции
. (6.3.5)
Нетрудно видеть, что эта функция представляет собой не что иное, как функцию распределения для нормально распределенной случайной величины с параметрами .
Условимся называть функцию нормальной функцией распределения. В приложении (табл. 1) приведены таблицы значений функции .
Выразим функцию распределения (6.3.3) величины с параметрами и через нормальную функцию распределения . Очевидно,
.
(6.3.6)
Теперь найдем вероятность попадания случайной величины на участок от до . Согласно формуле (6.3.1)
Таким образом, мы выразили вероятность попадания на участок случайной величины , распределенной по нормальному закону с любыми параметрами, через стандартную функцию распределения , соответствующую простейшему нормальному закону с параметрами 0,1. Заметим, что аргументы функции в формуле (6.3.7) имеют очень простой смысл: есть расстояние от правого конца участка до центра рассеивания, выраженное в средних квадратических отклонениях; - такое же расстояние для левого конца участка, причем это расстояние считается положительным, если конец расположен справа от центра рассеивания, и отрицательным, если слева.
Как и всякая функция распределения, функция обладает свойствами:
3. - неубывающая функция.
Кроме того, из симметричности нормального распределения с параметрами относительно начала координат следует, что
Пользуясь этим свойством, собственно говоря, можно было бы ограничить таблицы функции только положительными значениями аргумента, но, чтобы избежать лишней операции (вычитание из единицы), в таблице 1 приложения приводятся значения как для положительных, так и для отрицательных аргументов.
На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно центра рассеивания . Рассмотрим такой участок длины (рис. 6.3.1). Вычислим вероятность попадания на этот участок по формуле (6.3.7):
Учитывая свойство (6.3.8) функции и придавая левой части формулы (6.3.9) более компактный вид, получим формулу для вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону на участок, симметричный относительно центра рассеивания:
.
(6.3.10)
Решим следующую задачу. Отложим от центра рассеивания последовательные отрезки длиной (рис. 6.3.2) и вычислим вероятность попадания случайной величины в каждый из них. Так как кривая нормального закона симметрична, достаточно отложить такие отрезки только в одну сторону.
По формуле (6.3.7) находим:
(6.3.11)
Как видно из этих данных, вероятности попадания на каждый из следующих отрезков (пятый, шестой и т.д.) с точностью до 0,001 равны нулю.
Округляя вероятности попадания в отрезки до 0,01 (до 1%), получим три числа, которые легко запомнить:
0,34; 0,14; 0,02.
Сумма этих трех значений равна 0,5. Это значит, что для нормально распределенной случайной величины все рассеивания (с точностью до долей процента) укладывается на участке .
Это позволяет, зная среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание случайной величины, ориентировочно указать интервал её практически возможных значений. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен в математической статистике под названием «правило трех сигма». Из правила трех сигма вытекает также ориентировочный способ определения среднего квадратического отклонения случайной величины: берут максимальное практически возможное отклонение от среднего и делят его на три. Разумеется, этот грубый прием может быть рекомендован, только если нет других, более точных способов определения .
Пример 1. Случайная величина , распределенная по нормальному закону, представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния. При измерении допускается систематическая ошибка в сторону завышения на 1,2 (м); среднее квадратическое отклонения ошибки измерения равно 0,8 (м). Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1,6 (м).
Решение. Ошибка измерения есть случайная величина , подчиненная нормальному закону с параметрами и . Нужно найти вероятность попадания этой величины на участок от до . По формуле (6.3.7) имеем:
Пользуясь таблицами функции (приложение, табл. 1), найдем:
;
,
Пример 2. Найти ту же вероятность, что и в предыдущем примере, но при условии, что систематической ошибки нет.
Решение. По формуле (6.3.10), полагая , найдем:
.
Пример 3. По цели, имеющей вид полосы (автострада), ширина которой равна 20 м, ведется стрельба в направлении, перпендикулярном автостраде. Прицеливание ведется по средней линии автострады. Среднее квадратическое отклонение в направлении стрельбы равно м. Имеется систематическая ошибка в направлении стрельбы: недолет 3 м. Найти вероятность попадания в автостраду при одном выстреле.
Дисперсия нормальной случайной величины.
Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины.
Она характеризует степень разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания, т.е. ширину диапазона значений.
Расчетные формулы:
Дисперсия может быть вычислена через второй начальный момент:
(6.10)
Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия СВ (как дискретной, так и непрерывной) есть неслучайная (постоянная) величина.
Дисперсия СВ имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядности характеристики рассеивания пользуются величиной, размерность которой совпадает с размерностью СВ.
Средним квадратическим отклонением (СКО) СВ X называется характеристика
. (6.11)
СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризует ширину диапазона значений СВ.
Свойства дисперсии
Дисперсия постоянной величины с равна нулю.
Доказательство: по определению дисперсии
При прибавлении к случайной величине Х неслучайной величины с ее дисперсия не меняется.
D [X +c ] = D [X ].
Доказательство: по определению дисперсии
(6.12)
3. При умножении случайной величины Х на неслучайную величину с ее дисперсия умножается на с 2 .
Доказательство: по определению дисперсии
. (6.13)
Для среднего квадратичного отклонения это свойство имеет вид:
(6.14)
Действительно, при ½С½>1 величина сХ имеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем величина Х. Следовательно, эти значения рассеяны вокруг математического ожидания М
[сХ
] больше, чем возможные значения Х
вокруг М
[X
], т.е. 
. Если 0<½с½<1, то 
.
Правило 3s. Для большинства значений случайной величины абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, или, другими словами, практически все значения СВ находятся в интервале:
[ m - 3s ; m + 3 s; ].(6.15)
Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Как уже было установлено, вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах:
.
Для нормально распределенной случайной величины соответственно получим:
.
Преобразуем последнее выражение, введя новую переменную 
. Следовательно, показатель степени выражения, стоящего под интегралом преобразуется в:
.
Для замены переменной в определенном интеграле еще необходимо заменить дифференциал и пределы интегрирования, предварительно выразив переменную из формулы замены:
;
;
– нижний предел интегрирования;
– верхний предел интегрирования;
(для нахождения пределов интегрирования по новой переменной в формулу замены переменной были подставлены и – пределы интегрирования по старой переменной ).
Подставим все в последнюю из формул для нахождения вероятности:
где 
– функция Лапласа.
Вывод: вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна:
,
где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.
23. Распределения «хи-квадрат», Стьюдента и Фишера
С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые в настоящее время часто используются при статистической обработке данных. В дальнейших разделах книги много раз встречаются эти распределения.
Распределение Пирсона (хи - квадрат) – распределение случайной величины
где случайные величины X 1 , X 2 ,…, X n независимы и имеют одно и тоже распределение N (0,1). При этом число слагаемых, т.е. n , называется «числом степеней свободы» распределения хи – квадрат.
Распределение хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных .
Распределение t Стьюдента – это распределение случайной величины
где случайные величины U и X независимы, U имеет распределение стандартное нормальное распределение N (0,1), а X – распределение хи – квадрат с n степенями свободы. При этом n называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента.
Распределение Стьюдента было введено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, работавшем на фабрике, выпускающей пиво. Вероятностно-статистические методы использовались для принятия экономических и технических решений на этой фабрике, поэтому ее руководство запрещало В. Госсету публиковать научные статьи под своим именем. Таким способом охранялась коммерческая тайна, «ноу-хау» в виде вероятностно-статистических методов, разработанных В. Госсетом. Однако он имел возможность публиковаться под псевдонимом «Стьюдент». История Госсета - Стьюдента показывает, что еще сто лет назад менеджерам Великобритании была очевидна большая экономическая эффективность вероятностно-статистических методов.
В настоящее время распределение Стьюдента – одно из наиболее известных распределений среди используемых при анализе реальных данных. Его применяют при оценивании математического ожидания, прогнозного значения и других характеристик с помощью доверительных интервалов, по проверке гипотез о значениях математических ожиданий, коэффициентов регрессионной зависимости, гипотез однородности выборок и т.д. .
Где 
- интегральная функция Лапласа
, задается таблично.
Из свойств определенного интеграла Ф(-х )= - Ф(х ), т.е. функция Ф(х ) – нечетная.
Отсюда выводятся следующие (производные) формулы:
Полагая: а) d=s
Правило трех сигм (3s): практически достоверно, что при однократном испытании, отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания не превышает утроенного средне-квадратического отклонения.
Задача : Предполагается, что масса вылавливаемых в пруду зеркальных карпов есть случайная величина Х , имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием a =375 г. и средним квадратическим отклонением s = 25 г. Требуется определить:
А) Вероятность, что масса случайно выловленного карпа окажется не менее a=300 г. и не более b=425 г.
Б) Вероятность, что отклонение указанной массы от среднего значения (математического ожидания) по абсолютной величине будет меньше d= 40 г.
В) По правилу трех сигм найти минимальную и максимальную границы предполагаемой массы зеркальных карпов.
Решение :
А) 
Вывод : Примерно 98% карпов, плавающих в пруду, имеют массу не менее 300 г. и не более 425 г.
Б) 
Вывод : Примерно 89% имеют массу от a-d = 375- 40 = 335 г. до a +d = 375 + 40 = 415 г.
В) По правилу трех сигм:
Вывод : Масса практически всех карпов (примерно 100%) заключена в интервале от 300 до 450 грамм.
Задачи для самостоятельного решения
1. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8. Какова вероятность, что при трех выстрелах мишень будет поражена ровно два раза? Хотя бы два раза?
2. В семье четверо детей. Принимая рождения мальчика и девочки как равновероятные события, оценить вероятность, что в семье две девочки. Три девочки и один мальчик. Составить закон распределения для случайной величины Х , соответствующей возможному количеству девочек в семье. Рассчитать характеристики: М (Х ), s.
3. Игральную кость подбрасывают три раза. Какова вероятность, что «6» выпадет один раз? Не более одного раза?
4. Случайная величина Х равномерно распределена на интервале . Какова вероятность попадания случайной величины Х на интервал ?
5. Предполагается, что рост людей (для определенности – взрослых, мужчин), проживающих в некоторой местности, подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием а =170 см и среднеквадратическим отклонением s=5 см. Какова вероятность, что рост случайно выбранного человека:
А) окажется не более 180 см и не менее 165 см?
Б) отклоняется от среднего по абсолютной величине не более чем на 10 см?
В) по правилу «трех сигм» оценить минимально и максимально возможный рост человека.
Контрольные вопросы
1. Как записывается формула Бернулли? Когда она применяется?
2. Что представляет собой биномиальный закон распределения?
3. Какая случайная величина называется равномерно распределенной?
4. Какой вид имеют интегральная и дифференциальная функции распределения для случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a , b ]?
5. Какая случайная величина имеет нормальный закон распределения?
6. Как выглядит кривая плотности нормального распределения?
7. Как найти вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал?
8. Как формулируется правило «трех сигм»?
Введение в теорию случайных процессов
Случайной функцией называют функцию, значение которой при каждом значении независимой переменной является случайной величиной.
Случайным (или стохастическим) процессом называют случайную функцию, для которой независимой переменной является время t .
Иначе говоря, случайный процесс – это случайная величина, изменяющаяся во времени. Случайный процесс X (t ) на является определенной кривой, он является множеством или семейством определенных кривых x i (t) (i = 1, 2, …, n ), получаемых в результате отдельных опытов. Каждую кривую этого множества называют реализацией (или траекторией) случайного процесса.
Сечением случайного процесса называют случайную величину X (t 0), соответствующую значению случайного процесса в некоторый фиксированный момент времени t = t 0 .