Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова
дополнительное вступительное испытание по математике
Варианты 2014 года
Задача 1 .
Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением:
Задача 2 .
Найдите максимальное значение функции:
а) log 1/2 (x 2 - 6x + 17)
б) log 1/3 (x 2 + 4x + 31)
а) log 1/2 (x 2 - 8x + 20)
а) log 1/3 (x 2 + 10x + 34)
Задача 3 .
Найдите все положительные х, удовлетворяющие неравенству:
а) х 3х+7 > х 12 .
б) х -5х-7 < х -7 .
в) х 4х-5 > х -2 .
г) х -7х+5 < х -4 .
Задача 4 .
Решите уравнение:
Задача 5 .
a) Окружности W 1 и W 2 с центрами в точках О 1 и О 2 касаются внешним образом в точке А. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается W 1 и W 2 соответственно в точках В 1 и В 2 . Общая касательная к окружностям, проходящая через точку А, пересекает отрезок В 1 В 2 в точке С. Прямая, делящая угол АСО 2 пополам, пересекает прямые О 1 В 1 , О 1 О 2 , О 2 В 2 в точках D 1 , L, D 2 соответственно. Найдите отношение LD 2: O 2 D 2 , если известно, что CD 1 = CO 1 .
б) Окружности W 1 и W 2 с центрами в точках О 1 и О 2 касаются внешним образом в точке А. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается W 1 в точке В и пересекает в точке С общую касательную этих окружностей, проходящую через точку А. Прямая, делящая угол АСО 1 пополам, пересекает прямые О 1 О 2 , ВО 1 в точках L и D соответственно. Найдите СО 2 , если известно, что LO 1 = 2, а прямые СО 2 и DO 2 перпендикулярны.
в) Окружности W 1 и W 2 с центрами в точках О 1 и О 2 касаются внешним образом в точке А. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается W 1 и W 2 соответственно в точках В 1 и В 2 . Общая касательная к окружностям, проходящая через точку А, пересекает отрезок В 1 В 2 в точке С. Прямая, делящая угол АСО 2 пополам, пересекает прямые О 1 В 1 , О 1 О 2 , О 2 В 2 в точках D 1 , L, D 2 соответственно. Найдите отношение СD 1: СO 1 , если известно, что LD 2 = O 2 D 2 .
г) Окружности W 1 и W 2 с центрами в точках О 1 и О 2 касаются внешним образом в точке А. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается W 1 в точке В и пересекает в точке С общую касательную этих окружностей, проходящую через точку А. Прямая, делящая угол АСО 1 пополам, пересекает прямые О 1 О 2 , ВО 1 в точках L и D соответственно. Найдите LО 1 , если известно, что CO 2 = 2, а прямые СО 2 и DO 2 перпендикулярны.
Задача 6 .
Найдите все положительные х , у , удовлетворяющие системе уравнений:
Найдите все х , у на интервале (0, π/2), удовлетворяющие системе уравнений:
Задача 7 .
а) В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 1. Высота призмы равна . Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями боковых граней.
б) В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 1. Высота призмы равна . Найдите расстояние между большой диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.
в) В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 2. Высота призмы равна . Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями боковых граней.
г) В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 1. Высота призмы равна . Найдите расстояние между большой диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.
Задача 8 .
Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из функций:
Как видите, задачи, безусловно, решаемые, но требующие очень серьезной математической подготовки и изрядного опыта в решении задач высокого уровня сложности.
Конечно, "с нуля" подготовиться к такому экзамену за полтора месяца невозможно. Однако для абитуриента, обладающего достаточным базовым уровнем знаний по математике (а кто еще будет поступать на такие серьезные факультеты?), целенаправленная подготовка к дополнительному вступительному испытанию может быть очень и очень полезна. Логика такого экзамена очень сильно отличается от ЕГЭ, и готовить к нему надо по совершенно другой методике. Задачи требуют более объемных преобразований и предполагают больше логических разветвлений в ходе решения.
Попробуем разобрать некоторые задачи:
Задача № 1 .
Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением.
Абитуриенты исторического факультета, поступающие для обучения на направление "История", проходят письменное дополнительное вступительное испытание (ДВИ), а поступающие на направление "История искусств" - вступительное испытание творческой направленности, состоящее из письменной и устной части.
Cроки проведения вступительных испытаний для поступающих на исторический факультет МГУ объявляются после начала работы приемной комиссии и указываются в "Календаре абитуриента " и на сайте Центральной приемной комиссии МГУ .
Формы проведения дополнительного вступительного испытания и вступительного испытания творческой направленности устанавливается Центральной приемной комиссией МГУ и становятся известными в день проведения вступительных испытаний.
Результаты этих вступительных испытаний суммируются с баллами по ЕГЭ и баллами за индивидуальные достижения. Итоговое значение составляют общий балл, на основании которого абитуриент участвует в конкурсе.
Дополнительное вступительное испытание (ДВИ) по истории проводится в МГУ централизованно - в один и тот же день для абитуриентов всех факультетов.
Каждый из факультетов МГУ организует на своей площадке ДВИ для тех абитуриентов, у которых данный факультет является базовым. Базовым является тот факультет МГУ, на который абитуриент подал документы первым по времени среди всех факультетов с одним и тем же ДВИ.
Консультация перед ДВИ проводится в предыдущий день в 16:00 для абитуриентов всех факультетов в аудиториях Шуваловского корпуса МГУ .
Результаты оцениваются по 100-балльной шкале и засчитываются на всех факультетах МГУ, на которых в качестве ДВИ сдается история в виде письменного экзамена.
В день проведения экзамена абитуриентам исторического факультета следует заблаговременно (не позднее, чем за час до начала экзамена) собраться перед центральным входом в Шуваловский корпус (Ломоносовский проспект, д.27, к.4).
Начало экзамена - в 10:00 . Продолжительность экзамена - 4 астрономических часа (240 минут) .
Абитуриентам, подававшим заявление по почте, необходимо заранее (как минимум, за день-два до экзамена) получить в приемной комиссии исторического факультета пропуск на экзамен.
Распределение абитуриентов по аудиториям осуществляют сотрудники приемной комиссии. Абитуриенты, опоздавшие к началу экзамена, в аудиторию не допускаются.
- паспорт,
- несколько ручек синего или черного цвета (следует внимательно отнестись к тому, чтобы вся работа была написана одинаковыми чернилами),
- нахождение в аудитории с сотовыми телефонами, карманными компьютерами, электронными словарями, коммуникационными устройствами и иным радиоэлектронным оборудованием, даже если это оборудование находится в выключенном состоянии;
- выносить из аудитории экзаменационные материалы;
- разговаривать между собой;
- обмениваться между собой любыми материалами и предметами
- произвольно выходить из аудитории и перемещаться по зданию без сопровождения сотрудника приемной комиссии
- В случае нарушения этих правил абитуриент удаляется с экзамена, а его работа не проверяется
.
Выходить в туалет можно только в сопровождении сотрудника приемной комиссии, не ранее чем через час после начала экзамена и не позднее чем за час до его окончания.
В день проведения экзамена родители в корпус не допускаются.
Порядок проведения
устной части дополнительного вступительного испытания
творческой направленности
для поступающих на направление "История искусств
"
Абитуриенты направления "История искусств" сдают устную часть дополнительного вступительного испытания творческой направленности в аудитории на 6 этаже Шуваловского корпуса МГУ . Начало экзамена - в 10:00.
В день проведения экзамена абитуриентам следует заблаговременно (не позднее, чем в 9:30) собраться перед центральным входом в Шуваловский корпус (Ломоносовский проспект, д.27, к.4).
Лица, не явившиеся на экзамен по уважительной причине (болезнь или иные обстоятельства, подтвержденные документально), допускаются к его сдаче в резервный день.
Сотрудники приемной комиссии сначала собирают абитуриентов в аудиторию для ожидания очереди на экзамен, а затем, по мере завершения ответов ранее пришедших абитуриентов, сопровождают их в экзаменационную аудиторию.
Для участия в экзамене необходимо иметь при себе следующие документы:
- паспорт,
- пропуск, выданный при подаче документов.
Помимо названных документов абитуриенты могут принести с собой в экзаменационную аудиторию следующие предметы:
- ручку синего или черного цвета для заполнения "Листа устного ответа",
- минеральную негазированную воду в прозрачной пластиковой бутылке объемом не более 0,6 л.
Категорически запрещается нахождение в аудитории с сотовыми телефонами, карманными компьютерами, электронными словарями, коммуникационными устройствами и иным радиоэлектронным оборудованием, даже если это оборудование находится в выключенном состоянии. В случае нарушения абитуриентом этого правила он удаляется из экзаменационной аудитории.
Во время экзамена от абитуриента требуется дать устный ответ на один вопрос по истории искусства, указанный в выбранном билете и сопровождающем его конверте с иллюстративным материалом. После предварительной подготовки с использованием "Листа устного ответа" абитуриент демонстрирует свои знания членам экзаменационной комиссии под видеозапись, ведущуюся в аудитории.
Максимальная оценка устной части вступительного испытания творческой направленности составляет 30 баллов. Полученный балл суммируется с оценкой за письменную часть (максимально -70 баллов), и на этом основании выставляется общая итоговая оценка на за вступительное испытание в целом (максимальная оценка - 100 баллов).
Даты и время объявления результатов и показа письменных работ сообщаются абитуриентам в аудитории при проведении вступительных испытаний, а также публикуются в "Календаре абитуриента " на сайте исторического факультета.
Минимальное количество баллов, подтверждающее успешное прохождение проводимых МГУ вступительных испытаний и вступительных испытаний творческой направленности устанавливается на уровне минимального количества баллов, необходимого для поступления на обучение по программам бакалавриата и установленного федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по контролю и надзору в сфере образования.
Многие знают, что для поступления в МГУ обычных баллов ЕГЭ недостаточно. Здесь мы поговорим о том, что такое «ДВИ» или «дополнительные вступительные испытания». Такие испытания проходят по различным предметам. Нас интересует, конечно, математика.
В качестве ДВИ её сдают при поступлении на 17 из 64 направлений МГУ. Это механико-математический факультет, факультет вычислительной математики и кибернетики, геологический факультет, факультет наук о материалах, экономический факультет, факультет биоинженерии и биоинформатики, направление «Прикладная математика и физика» на факультете фундаментальной физико-химической инженерии, направление «Экономика» Высшей школы государственного аудита, «Менеджмент» Высшей школы современных социальных наук, все направления, кроме «Политологии» факультета государственного управления, а также Высшая школа бизнеса и Московская школа экономики.
За 4 часа абитуриенты должны решить несколько заданий. В последние годы это обычно восемь задач, первые четыре из которых являются более лёгкими, а последние четыре – весьма сложными, представляющими значительную трудность даже для выпускников спецшкол, по этим задачам идёт конкурс на математические направления. Результаты экзамена оцениваются в 100-балльной шкале. Причём 100 баллов может ставиться не только за все 8, но и за 7 (а в некоторые годы ставилось и за 6) правильно решенных задач. Это связано с тем, что все 8 задач решают исключительно редко, на это обычно способны лишь единицы среди тысяч абитуриентов, этих единиц можно смело назвать уникумами.
Чтобы при достаточно высоких результатах ЕГЭ гарантированно поступить на бюджетные места большинства из названных факультетов, надо написать ДВИ на 75-80 баллов.
Рассмотрим результаты недавнего ДВИ МГУ (данные взяты с сайта Московского государственного университета, страницы http://pk.cmc.msu.ru/node/1063 и http://pk.cmc.msu.ru/sites/pk.cmc.msu.ru/files/dvi_sayt_0.pdf).
Среди всех абитуриентов МГУ дополнительный вступительный экзамен по математике сдавали 3732 человека. Из них: на «2» сдали 340 человек, на «30» - 125, на «35» - 154, «40» - 125, на «45» - 134, на «50» - 436, на «55» - 456, «60» - 801, «65» - 572, «70» - 222, «75» - 105, «80» - 85, «85» - 89, «90» - 46, «95» - 30, «100» - 12.
Т.е. мы видим, что только 10-15% абитуриентов, имеющих высокие баллы за ЕГЭ, написав ДВИ по математике, без сомнения, имели реальные шансы поступить на бюджетные места, причём на 80 и более баллов написали математику лишь 7% абитуриентов (на максимальный балл – 0,3%).
Результаты ДВИ МГУ по математике
Теперь рассмотрим результаты ДВИ среди абитуриентов факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК). На этот престижный факультет идут люди исключительно после специальной математической подготовки (учёбы в спецшколах, занятий на курсах и с репетиторами).
Среди поступающих на ВМК МГУ было 128 человек, получивших высший балл по результатам олимпиад, а среди тех 751, кто писал ДВИ при поступлении, результаты следующие:
«2»-17, «30» - 5, «35» - 9, «40» - 9, «45» - 11, «50» - 47, «55» - 74, «60» - 166, «65» - 184, «70» - 73, «75» - 45, «80» - 36, «85» - 35, «90» - 16, «95» - 16, «100» - 8 (т.е. мы видим, что две трети абитуриентов, написавших ДВИ на 100 баллов, подавали документы именно на ВМК).
Таким образом, среди особо подготовленных абитуриентов процент реально претендующих на бюджет оказывается лишь немногим выше: 15-20% (причём 70-75 баллов могут позволить себе только ребята с великолепно сданным ЕГЭ, ведь проходной балл на ВМК очень высокий). И даже среди такой элиты – лишь 1% сдавших ДВИ на максимальный балл.
Результаты ДВИ факультета ВМК МГУ по математике
Итак, мы видим, что сдать ДВИ по математике в МГУ оказывается не так уж просто, и к нему требуется особая подготовка.
Многие из выпускников «Математушки» поступили на выбранные факультеты МГУ по результатам олимпиад (победы на «Ломоносове», олимпиаде «Покори Воробьевы горы» и других математических соревнованиях среди обучавшихся в «Математушке» не редкость).
Однако некоторые из выпускников все-таки сдавали дополнительные вступительные испытания и выглядели на них более чем достойно. Возьмём результаты последних лет, когда уже было введено ЕГЭ и ДВИ стали проходить по одному предмету по существующей сейчас схеме.
В этом году новые старшеклассники готовятся покорять «математические горизонты».